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专项六:百分数(一)(考点清单+易错易混点+专练)
知识点一、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
注意:百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比。
1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。百分数的分子可以是小数,分数的分子只可以是整数。
注意:
百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。
“%”的两个0要小写,不要与百分数前面的数混淆。一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
一般出粉率在70%、80%,出油率在30%、40%。
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:
小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:
小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:
先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:
分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
(5)小数化分数:
把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
(6)分数化小数:分子除以分母。
知识点二、百分数应用题
1、求常见的百分率
如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几:(甲-乙)÷乙
求乙比甲少百分之几:(甲-乙)÷甲
3、求一个数的百分之几是多少。
一个数(单位“1”)×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数。
部分量÷百分率=一个数(单位“1”)
5、折扣、打折的意义:几折就是十分之几也就是百分之几十
折扣、成数=几分之几、百分之几、小数
八折=八成=十分之八=百分之八十=0.8
八五折=八成五=十分之八点五=百分之八十五=0.85
五折=五成=十分之五=百分之五十=0.5=半价
6、利率
(1)存入银行的钱叫做本金。
(2)取款时银行多支付的钱叫做利息。
(3)利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%
注:国债和教育储蓄的利息不纳税
7、百分数应用题型分类
(1)求甲是乙的百分之几——
(甲÷乙)×100%= ×100% =百分之几
(2)求甲比乙多百分之几——
(甲-乙)÷乙×100%
(3)求甲比乙少百分之几——
(乙-甲)÷乙×100%
知识点三、整数、分数、百分数应用题结构类型
(一)求甲是乙的几倍(或几分之几或百分之几)的应用题。
解法:甲数除以乙数
例:校园里有杨树40棵,柳树有50棵,杨树的棵树占柳树的百分之几?(或几分之几?)
(二)求甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少的应用题。
解答分数应用题,首先要确定单位“1”,在单位“1”确定以后,一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应,这种关系叫“量率对应”,这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍(几分之几或百分之几)是多少用乘法,单位“1”×分率=对应数量
已知甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少,求甲数(即求标准量或单位“1”)的应用题。
1. 百分数的基本概念
易混点:学生可能对百分数与小数、分数之间的关系理解不清晰。
正确做法:强调百分数是一种特殊的分数形式,它总是以100为分母。例如,50%可以写作或0.5。同时,要让学生掌握百分数、小数和分数之间相互转换的方法。
2. 百分数的读法和写法
易错点:学生可能在书写百分数时忘记添加百分号“%”,或者在读取百分数时错误地读作普通数字。
正确做法:明确百分数的书写格式是在数值后面加上百分号“%”。例如,37%应该读作“百分之三十七”。
3. 百分数的应用
易错点:解决实际问题时,学生可能难以准确地将题目条件转化为数学表达式。
正确做法:
教导学生如何识别题目中的关键信息,如原价、折扣率等,并根据这些信息设置合适的计算公式。
通过实例讲解,比如打折销售、利息计算等问题,帮助学生更好地理解百分数的实际应用。
4. 计算含百分数的问题
易错点:在进行百分数相关的计算时,学生可能会出现计算错误,特别是在涉及多个步骤的复合运算中。
正确做法:
强调在进行任何百分数运算之前先将百分数转换成小数或分数形式,这样更容易进行计算。
比如,计算一个商品打8折后的价格,可以先将80%转换为0.8,然后用原价乘以0.8得到折扣后价格。
5. 百分数与增长率/减少率
易混点:学生可能不清楚如何使用百分数来表示增长或减少的比率。
正确做法:
解释增长率是指增加的部分占原数量的比例,而减少率则是减少的部分占原数量的比例。
举例说明,如果某商品的价格从100元涨到120元,则增长率为。
6. 实际应用题的解题技巧
易错点:面对复杂的应用题,学生可能不知道从何入手。
正确做法:
鼓励学生采用分步解决问题的方法,先明确题目要求,再逐步列出所需计算的步骤。
使用图表或线段图辅助理解题意,有助于直观展示问题的关键要素。
一、选择题
1.往含糖率为25%的糖水中,加入糖20克,水30克后,现在糖水的含糖率( )25%。
A.等于 B.小于 C.大于
2.某校男生人数与女生人数的比是3∶2,男生人数占全校人数的( )。
A.150% B.67% C.60% D.40%
3.一件皮衣,去年11月的价格是1888元,12月的价格比11月涨了10%,今年1月的价格比去年12月降了10%。今年1月的价格和去年11月比,是( )。
A.降了 B.涨了 C.不变的
4.100kg增加20%后,再减少20%,结果是( )kg。
A.100 B.80 C.76 D.96
5.某品牌的衣服促销降价10%后,又遇到“双十一”活动再降价10%,现价是原价的( )。
A.80% B.81% C.90%
6.果园有梨树25棵,桃树有30棵,桃树比梨树多百分之几?正确的列式是( )
A.(30﹣25)÷30 B.(30﹣25)÷25 C.(30+25)÷30 D.(30+25)÷30
二、填空题
7.10吨的是( )吨,16吨比20吨少( )%。
8.某校六年级二班昨天实到48人,缺席2人,出勤率是( )。
9.六(1)班女生人数是男生的80%,那么男生人数与女生人数的比是( ),女生比男生少。
10.足球队男生比女生多40%,男、女生人数的比是( ).
11.一本书200页,第一天读了25%,第二天应从( )页开始读。
12.在、0.8、0.87、87%这四个数中,最大的数是( ),最小的数是( ).
13.为了响应“绿水青山就是金山银山,推进绿色发展”的号召,浙江省某乡镇去年植树造林150公顷,今年计划植树造林比去年实际增加20%,今年实际植树造林比计划植树造林多10%,今年实际植树造林( )公顷。21*cnjy*com
三、判断题
14.某商品先降价25%,又涨价25%,现价与原价相同. ( )
15.某商品原价90元,先提价10%后,又降价了10%,现价肯定低于原价。( )
16.水果糖单价比巧克力便宜20%,那么巧克力单价比水果糖贵20%。( )
17.生产的90个零件中有10个是废品,合格率是80%。( )
18.一个工厂今年的产量比去年增产20%,表示今年的产量是去年的。( )
19.把0.6化成百分数是6%。( )
四、计算题
20.直接写得数。
(1)20×30%= (2)2÷20= (3)1-8%=
(4)15+70%= (5)(12.5+)×16= (6)(-)=
21.脱式计算,能简算的要简算。
22.解方程。
(1-35%)x=32.5 x+=
五、解答题
23.植物园的花圃里有月季花184株,比菊花多15%,花圃里有菊花多少株?
24.有一只油桶,装有半桶油,用去油的60%,又倒入12千克,这时桶里的油和原来一样多。这个桶能装油多少千克?
25.小红家七月份用电210千瓦时,八月份比七月份多用了20%,每千瓦时电费为0.54元,小红家八月份的电费为多少元?
26.从“东方红一号”到“嫦娥五号”,中国空间技术研究院研制并成功发射了300个航天器,统称为“三百星”。
第一个“百星” 第二个“百星” 第三个“百星”
完成时间(年) 41 6 3
完成第三个“百星”的时间比完成第一个“百星”缩短了百分之几?
27.一瓶洗衣液,第一周用了这瓶洗衣液的,第二周用了这瓶洗衣液的20%,还剩0.8升,这瓶洗衣液原有多少升?【版权所有:21教育】
28.乐乐三天看完一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了余下的40%,第三天看了27页。这本书一共有多少页? www.21-cn-jy.com
29.学校图书馆的科技书、文艺书和故事书共11000本,其中科技书占这三种书的20%,科技书与故事书的比是2∶3,故事书有多少本?
30.一列货运列车从甲地开往乙地,如果将车速提高20%,可以比原计划提前1小时到达,如果先以原速度行驶640千米后,再将车速提高25%,则可提前40分钟到达,求甲乙两地之间的距离及火车原来的速度。
31.为了学生暑假生活过得充实而有意义,英才实验学校让学生精心制作了暑假计划,下面是六年级学生可可的计划。寒假将至,你也制定自己的寒假计划吧!
可可每天计划40分钟完成作业,结果用了25分钟就做完了。她的作业时间缩短了百分之几?效率提高了百分之几?
参考答案:
1.C
【分析】先求出加入的20克糖和30克水混成糖水后的含糖率,再与25%比较,如果大于25%含糖率就会增加,如果小于25%含糖率就会降低。21·cn·jy·com
【详解】20÷(20+30)×100%
=20÷50×100%
=0.4×100%
=40%
40%>25%
所以现在糖水的含糖率大于25%。
故答案为:C
【点睛】此题考查的是百分率的应用,解答本题的关键是求出加入糖水的含糖率是多少。
2.C
【分析】由某校男生人数与女生人数的比是3∶2,把男生的人数看作3份,女生的人数看作2份,则全校学生的人数为(3+2)=5份,用男生的人数的份数除以全校学生人数的份数即可。2·1·c·n·j·y
【详解】3÷(3+2)
=3÷5
=60%
故答案为:C
【点睛】此题考查的是比的应用,关键是把比转化为份数,找出男生的人数的份数除以全校学生人数的份数即可。2-1-c-n-j-y
3.A
【分析】本题有两个单位“1”,将去年11月的价格看作单位“1”,12月的价格占11月的1+10%,将12月的价格看作单位“1”,今年1月的价格占12月的1-10%,根据求一个数的百分之几用乘法,求出今年1月的价格与去年11月比较即可。【出处:21教育名师】
【详解】1888×(1+10%)×(1-10%)
=1888×1.1×0.9
=1869.12(元)
1869.12<1888,今年1月的价格和去年11月比,是降了。
故答案为:A
【点睛】关键是理解单位“1”的转化,求出对应百分率。
4.D
【分析】求比一个数多(少)百分之几的数是多少,用“这个数×(1±百分之几)”,据此解答即可。
【详解】100×(1+20%)×(1-20%)
=100×1.2×0.8
=96;
故答案为:D
【点睛】熟练掌握百分数乘法的意义是解答本题的关键。
5.B
【分析】降价10%,相当于是原价的90%,最初的价格是单位“1”,算出第一次降价后的价钱,再计算第二次降价后的价钱。21教育网
【详解】
两次降价10%后,现价是原价的81%,故答案选B。
【点睛】本题也可以举例子,比如假设衣服原价100元,算出两次降价后的价钱,然后确定现价是原价的百分之几。
6.B
【详解】试题分析:果园有梨树25棵,桃树有30棵,桃树比梨树多30﹣25=5棵,根据分数的意义,用这5棵除以梨树棵数,即得桃树比梨树多百分之几.
解:(30﹣25)÷25
=5÷25
=20%
答:桃树比梨树多20%.
故选B.
【点评】完成本题要注意单位“1”的确定,将梨树棵数当作单位“1”.
7. 4 20
【分析】利用乘法求出10吨的是多少吨;先利用减法求出16吨比20吨少的部分,再利用少的部分除以20吨得到16吨比20吨少百分之几。
【详解】10×=4(吨),所以10吨的是4吨;
20-16=4(吨),4÷20=20%,所以16吨比20吨少20%。
【点睛】本题考查了分数乘法和百分数,属于基础题,认真审题列式计算即可。
8.96%
【分析】根据“出勤率=×100%”,进行解答即可。
【详解】×100%=96%
【点睛】明确出勤率的含义是解答本题的关键。
9.5∶4;
【分析】六(1)班女生人数是男生的80%=,把男生看作5份,女生看作4份,求出比即可。
【详解】
男生人数与女生人数的比是:5∶4
1-
【点睛】本题考查百分数、比的意义,解答本题的关键是掌握把百分数化成分数的计算方法。
10.7:5
【详解】略
11.51
【分析】求一个数的百分之几是多少,用乘法解答,据此用这本书的页数乘25%,求出第一天读的页数,第一天读的页数加1就是第二天应从第多少页开始读。
【详解】200×25%+1
=50+1
=51(页)
所以第二天应从第51页开始读。
12. 0.8
【详解】=0.875;87%=0.87;
0.875>0.87>0.8;
所以最大数为0.875也就是,最小数为0.8.
13.198
【分析】根据题意要把去年的植树造林面积看作是单位“1”,今年的植树的面积是去年的(1+20%),单位“1”已知用乘法,用150×(1+20%)求出今年计划植树造林的面积;再把今年计划植树造林的面积看作单位“1”,已知今年实际比计划增加10%,今年实际造林的植树面积就是今年计划造林面积的(1+10%)。单位“1”已知乘法计算,用今年计划造林面积乘(1+10%)即可求出今年实际造林的植树面积。21·世纪*教育网
【详解】
公顷
今年实际植树造林198公顷。
【点睛】本题考查了百分数的实际应用,明确求比一个数多百分之几的数是多少,用乘法计算。
14.×
【详解】假设原价为100元,则现价为100×(1-25%)×(1+25%)=93.75元
15.√
【分析】先把原价看成单位“1”,先提价10%,即提价后的价格是原价的(1+10%),单位“1”已知,用乘法求出提价后的价格;
再把提价后的价格看成单位“1”,又降价了10%,即降价后的价格是提价后价格的(1-10%),单位“1”已知,用乘法求出降价后的价格,也就是现价。最后比较现价与原价,得出结论。
【详解】90×(1+10%)×(1-10%)
=90×1.1×0.9
=99×0.9
=89.1(元)
89.1<90
现价低于原价。
原题说法正确。
故答案为:√
【点睛】本题考查百分数乘法的应用,区分两个单位“1”的不同,明确求比一个数多或少百分之几的数是多少,用乘法计算。21cnjy.com
16.×
【分析】水果糖单价比巧克力便宜20%,是把巧克力的单价看作单位“1”,则水果糖的单价为1-20%=80%,巧克力单价比水果糖贵百分之几,是把水果糖的单价看作单位“1”,用20%除以水果糖的单价,据此解答。
【详解】水果糖单价比巧克力便宜20%,是把巧克力的单价看作单位“1”,则水果糖的单价为1-20%=80%,巧克力单价比水果糖贵:
20%÷80%=25%
即水果糖单价比巧克力便宜20%,那么巧克力单价比水果糖贵25%。
故答案为:×
【点睛】此题考查的是百分数的应用,解答此题应注意两个单位“1”的不同。
17.×
【分析】产品合格率=合格产品的数量÷产品总数量×100%,据此解答。
【详解】(90-10)÷90×100%
=80÷90×100%
≈0.889×100%
=88.9%
所以,合格率是88.9%。
故答案为:×
【点睛】准确找出合格产品数量和产品总数量是计算合格率的关键。
18.√
【分析】把去年的产量看成单位“1”,那么今年的产量就是去年的(1+20%);由此判断即可。
【详解】1+20%=120%==
所以,今年的产量是去年的。
故答案为:√
【点睛】此题考查的是单位“1”的确定,解答此题的关键是找单位“1”,进一步发现比单位“1”多或少百分之几,由此解决问题。
19.×
【分析】把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。据此解答即可。
【详解】把0.6的小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号是60%,所以把0.6化成百分数是60%。原题说法错误。
故答案为:×
20.(1)6;(2)0.1;(3)0.92;
(4)15.7;(5)204;(6)
【详解】略
21.;6.5;25
【分析】,将除法改成乘法,约分后再计算;
,根据减法的性质,将后两个数先加起来再计算;
,利用乘法分配律进行简算。
【详解】
22.x=50;x=
【分析】(1-35%)x=32.5,根据等式的性质2,两边同时÷(1-35%)的差即可;
x+=,根据等式的性质1和2,两边先同时-,再同时×即可;
【详解】(1-35%)x=32.5
解:0.65x÷0.65=32.5÷0.65
x=50
x+=
解:x+-=-
x×=×
x=
23.160株
【分析】月季花的数量比菊花多15%,即将菊花的数量看作单位“1”,则月季花的数量为,求单位“1”的量,根据单位“1”的量=对应量÷对应量所占的百分率,即可算出花圃里有菊花多少株。【来源:21·世纪·教育·网】
【详解】
(株)
答:花圃里有菊花160株。
24.40千克
【分析】根据题意可知,半桶油的60%恰好是12千克,据此利用除法先求出半桶油的重量,再乘2求出一桶油的重量即可。www-2-1-cnjy-com
【详解】12÷60%×2=40(千克)
答:这个桶能装油40千克。
【点睛】本题考查了含百分数的运算,已知一个数的百分之几是多少,求这个数用除法。
25.136.08元
【分析】由题意可知,把七月份的用电量看作单位“1”,八月份的用电量占七月份的,根据求一个数的百分之几是多少,用乘法计算,求出八月份的用电量,又知每千瓦时电费为0.54元,再用八月份的用电量乘每千瓦时的电费,即可得解。21*cnjy*com
【详解】
(元)
答:小红家八月份的电费为136.08元。
26.92.68%
【分析】用完成第一个“百星"的时间与第三个“百星”的时间之差,除以完成第一个“百星”所用时间,乘100%即可。
【详解】(41-3)÷41×100%
=38÷41×100%
≈92.68%
答:完成第三个“百星”的时间比完成第一个“百星”缩短了92.68%。
【点睛】此题考查了求一个数比另一个数多(少)百分之几,用两数之差除以另一个数乘100%即可。
27.2升
【分析】把这瓶洗液的总容量看作单位“1”,第一周用了这瓶洗衣液的,第二周用了这瓶洗衣液的20%,则还剩下(1--20%),已知还剩0.8升,对应着分率(1--20%),根据量÷对应的分率=单位“1”的量,据此求出这瓶洗衣液原有多少升。
【详解】0.8÷(1--20%)
=0.8÷(1-0.4-0.2)
=0.8÷0.4
=2(升)
答:这瓶洗衣液原有2升。
【点睛】本题考查了分数、百分数复合应用题,关键是确定单位“1”,找到部分对应分率。
28.60页
【分析】把这本数的总页数看作单位“1”,第一天看了全书的25%,用1-25%,求出剩下的页数占全书的百分比,再乘40%,求出第二天看的页数占全书的百分比,再用1-第一天看的页数占全书的百分比,减去第二天看的页数占全书的百分比,求出第三天看的页数占全书的百分比,对应的是27页,求单位“1”,用第三天看的页数÷第三天看的页数占全书的百分比,即可解答。
【详解】27÷[1-25%-(1-25%)×40%]
=27÷[75%-75%×40%]
=27÷[75%-30%]
=27÷0.45
=60(页)
答:这本书一共有60页。
29.3300本
【分析】把总本数看作单位“1”,根据百分数乘法的意义,用总本数乘20%就是科技书的本数。由于科技书宇故事书的比是2∶3,则科技书是2份,故事书是3份,再把科技书的本数看作单位“1”,故事书本数是科技书本数的,根据分数乘法的意义,用科技书的本数乘,就是故事书的本数。21教育名师原创作品
【详解】11000×20%
=2200
=3300(本)
答:故事书有3300本。
30.甲乙距离:1440千米;速度:240千米/小时
【分析】车速提高20%,比原计划提前1小时到达,用1÷20%,求出提速后用的时间,再加上1,求出原计划用的时间;即1÷20%+1=6小时; 40分钟= 小时;用÷25%,求出行640千米后需要的时间,再加上,即÷25%+,求出行640千米后原来用的时间,再用原计划用的时间减去行640千米用原来用的时间,求出行640千米用的时间,再根据速度=路程÷时间,用640÷行640千米所以得时间,求出原来计划用的速度,再根据路程=速度×时间,用原来计划用的速度×原来计划用的时间,即可解答。21世纪教育网版权所有
【详解】原计划用的时间:
1÷20%+1
=5+1
=6(小时)
40分钟= 小时
行640千米后用的时间;
÷25%+
= +
=(小时)
640÷(6-)
=640÷
=640×
=240(千米/小时)
甲乙两地距离:240×6=1440(千米)
答:甲乙两地的距离是1440千米,火车原来的速度是240千米/小时。
【点睛】考查了行程问题,关键是求出火车按原计划速度到达乙地所需要的时间。
31.;
【分析】作业时间缩短百分之几,用计划时间与实际花费时间的差除以计划时间解答。每天完成的作业是工作总量是单位“1”,根据工作效率=工作总量÷工作时间,所以计划的效率是1÷40=,同理实际的效率是,求效率提高了百分之几,用实际效率与计划效率的差除以计划效率解答。【来源:21cnj*y.co*m】
【详解】计划的工作效率是1÷40=;同理实际的工作效率是1÷25=。
(40-25)÷40
=15÷40
=37.5%
()÷
=
=
=60%
答:她的作业时间缩短了37.5%,效率提高了60%。
【点睛】考查工程问题三要素之间的关系及一个数比另一个数多(少)百分之几的问题。解题关键是要搞清楚提问是关于时间还是效率的百分数问题。
考点清单
易错易混点
专项练习
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