2.2.2-直线的两点式方程 课件(共18张PPT)-2024-2025学年高二数学同步备课-人教A版(2019)选择性必修第一册

(共18张PPT)
高中数学 人教A版（2019） 选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.2.2 直线的两点式方程
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。以下是本单元的课时安排：
第二章 直线和圆的方程 课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率 2.2直线的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式
所在位置 教材第51页 教材第59页 教材第70页
新教材内容分析 直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。 在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
核心素养培养 通过直线的倾斜角和斜率的求解，通过例题直线平行与垂直的判定，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。 通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
教学主线 直线的方程的应用 学习目标
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程，培养数学抽象的核心素养．
2.会选择适当的方程形式求直线方程，提升数学运算的核心素养.
3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题，培养逻辑推理的核心素养.
重点、难点
重点：掌握直线方程的两点式及截距式
难点：会选择适当的方程形式求直线方程
（一）新知导入
某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？(精确到1 m2)
【提示】点P的位置由两个条件确定，一是A，P，B三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x与y的关系，然后利用二次函数知识探求最大值．
（二）直线的两点式方程
知识点1 两点式方程
【探究1】我们知道两点确定一条直线，如果已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，那么如何求出过这两点的直线方程？
【提示】因为x1≠x2，所以直线的斜率k＝，
由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)，又y1≠y2，
∴上式可写为＝.
于是过这两点的直线方程为.
（二）直线的两点式方程
◆直线的两点式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 = 斜率存在且不为0
【点睛】1.当两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.
2.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关.
（二）直线的两点式方程
【思考】把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两
点的坐标还有限制条件吗
【做一做】(教材P66练习1改编)过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
D
【提示】没有了。
（二）直线的两点式方程
知识点2 截距式方程
【探究2】已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？
[提示]　将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得 ＝，即 ＋＝1.
◆直线的截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0 ＝1 a≠0，b≠0
截距式方程不能表示过原点的直线，不能表示与坐标轴垂直的直线。
（二）直线的两点式方程
【做一做1】(教材P64练习1改编)过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　)
A. ＋＝0 B. +＝0 C. D. ＝1
C
【做一做2】直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
【解析】由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.
设直线l的方程为 =1,则a+b=12. ①
又直线l过点(-3,4),所以 =1. ②
由①②解得
故所求的直线方程为 =1或=1.
（三）典型例题
1.直线的两点式方程
例1.三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
【解析】　由两点式，直线AB所在直线方程为 ＝，即x＋4y＋1＝0.
同理，直线BC所在直线方程为：＝，即2x＋y－5＝0.
直线AC所在直线方程为：＝，即3x－2y＋3＝0.
（三）典型例题
【类题通法】用两点式方程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，不能用两点式．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程．
【巩固练习1】求经过下列两点的直线方程．
(1)A(3,2)，B(4,3)；
(2)A(2,1)，B(3,1)；
(3)A(2,1)，B(2，－1)．
【解析】(1)由两点式可得直线方程为 ＝，即y＝x－1. 故所求的直线方程为x－y－1＝0.
(2)由于A、B两点的纵坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为y＝1.
(3)由于A、B两点的横坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为x＝2.
（三）典型例题
2.直线的截距式方程
例2.　 求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
【解析】法一：(1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，则直线l的斜率为k＝＝，
因此，直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.
(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为 ＋＝1.
∵直线l过点P(2,3)，∴ ＋＝1，∴a＝5，
∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
法二：由题意可知所求直线斜率存在，
则可设y－3＝k(x－2)，且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.
令y＝0，得x＝－＋2.
于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝ 或－1.
则直线l的方程为y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，
即直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
（三）典型例题
【类题通法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况.
【巩固练习2】直线l过点P(－6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
【解析】　(1)当直线在y轴上的截距为零时，直线过原点，可设直线l的方程为y＝kx，
∵直线l过点P(－6,3)．∴3＝－6k，k＝－.
∴直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.
(2)当直线在y轴上的截距不为零时，由题意可设直线l的方程为 ＋＝1，
又直线l过点P(－6,3)，∴ ＋＝1，解得b＝1.
∴直线l的方程为 ＋y＝1.即x＋3y－3＝0.
综上所述，所求直线l的方程为x＋2y＝0或x＋3y－3＝0.
（四）操作演练 素养提升
1.在x、y轴上的截距分别为－3,4的直线方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
2.过点(5,2) ，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程为(　　)
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
3.直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，且点(1 010，b)在l上，则b的值为(　　)
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021
4.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(　　)
A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0
答案：1.A 2.B 3.D 4.A
（五）课堂小结
知识总结
学生反思
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
作业布置
完成教材—— 第64页 练习 第1，2，3题
第67 页 习题2.1 第4,6，7题
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。
谢 谢 ~~
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