6.2黄金分割（含答案）

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6.2黄金分割
一、填空题
1．若点C是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，则AC的长约是　 　．（精确到0.1cm）
2．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则　 　．（结果保留根号）
3．鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为　 　cm.（结果保留根号）
4．如图，矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给人以美感．若黄金矩形的宽为2cm，则长为　 　cm．
5．已知点C是线段AB的黄金分割点，（AC>BC）若AB=2cm，则AC=　 　cm．
6．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 ，连接BB′，若AB＝2，则线段 的长度为　 　.
二、单选题
7．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）
A． B． C． D．
8．在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到.参考数据：)（　　）.
A． B． C． D．
9．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（　　）
A． B．
C． 或 D．不能确定
10．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（　　）．
A． B． C． D．3
11．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如果P是线段的黄金分割点，并且，，那么的长度为（　　）
A． B． C． D．
13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）cm．
A． B． C． D．
14．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：
①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是（　　）
A．3.09cm B．3.82cm C．6.18cm D．7.00cm
16．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1 与S2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．1
三、解答题
17．（1）已知，，若b是a，c的比例中项，求b的值；
（2）如图，点C是线段的黄金分割点，已知，求的长．
18．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）
参考数据：，，
19．小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（）的某一部分（）与另一部分（）之比，如果正好等于另一部分（）同整个线段（）的比（即），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（）的点称为线段的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台上，主持人从点到点走多少米，他的站台最得体？（取）
20．如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果，那么称为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：
（1）研究小组猜想：在中，若为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗 为什么
（2）三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线” 请说明理由.
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交AB于点，再过点作直线，交AC于点，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是的“黄金分割线”.请说明理由.
四、计算题
21．先化简，再求值：，其中x为黄金分割比．
答案解析部分
1．【答案】12.4cm或7.6cm.
【知识点】黄金分割
2．【答案】
【知识点】黄金分割
3．【答案】
【知识点】黄金分割
4．【答案】
【知识点】矩形的性质；黄金分割
5．【答案】
【知识点】黄金分割
6．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
7．【答案】A
【知识点】黄金分割
8．【答案】B
【知识点】黄金分割
9．【答案】C
【知识点】黄金分割
10．【答案】A
【知识点】黄金分割
11．【答案】A
【知识点】黄金分割
12．【答案】C
【知识点】黄金分割
13．【答案】B
【知识点】黄金分割
14．【答案】A
【知识点】切线的判定；黄金分割
15．【答案】C
【知识点】黄金分割
16．【答案】D
【知识点】黄金分割
17．【答案】（1）；（2）
【知识点】比例的性质；黄金分割
18．【答案】1.24米．
【知识点】黄金分割
19．【答案】解：设米，则米，
根据题意得：当，即，
解得：（舍去），，
米，
此时主持人从A点到B点走8米；
当，即，
，
解得：，（舍去），
米，
此时主持人从A点到B点走12米；
综上：主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
20．【答案】（1）解：对.理由：设中边AB上的高为，则，
.又为AB边的黄金分割点，
，即直线CD是的“黄金分割线”
（2）解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，
三角形的中线不是该三角形的“黄金分割线”
（3）解：
和的公共边CE上的高相等，
，
设直EF与CD交于点G，
则S△DGE=S△FGC，
∴S△ADC=S四边形AFGD=S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC.
又∵，
∴，
∴直线EF也是△ABC的“黄金分割线”.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；黄金分割
21．【答案】，
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；黄金分割
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