6.4探索三角形相似的条件（含答案）

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6.4探索三角形相似的条件
一、填空题
1．已知△ABC与△DEF相似且面积比为9︰25，则△ABC与△DEF的相似比为　 　.
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为　 　
3．如图，已知它们分别交直线于点和点，如果，，那么线段的长是　 　
4．如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP=　 　．
5．若△ABC∽△A'B'C'，∠A=40°，∠C=110°，则∠B'=　 　．
6．如图，矩形的边在x轴上，，，把沿直线折叠，得到，交x轴于点E，则点D的坐标是．
二、单选题
7．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则 的值为（　　）
A． B． C． D．2
10．如图，已知直线 ，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若 ， ， ，则 的值是（　　）
A．15 B．10 C．14 D．9
11．如图，已知， ，，那么DF的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
12．如图，在 中， ， ， ，则 的值为（　　）．
A． B． C． D．
13．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，要使图中的两个直角三角形相似，则BD的长应为（　　）．
A． B．8 C．2 D．或8
14．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM=2，则线段ON的长为（　　）
A． B． C．1 D．
15．如图，在 中， ， ，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
16．中国古代数学家张爽证明勾股定理的弦图如图所示，它由四个全等的直角三角形和．一个小正方形EFGH组成，恰好拼成大正方形ABCD．作直线EG分别交AD，BC于点M， N．若图中两个正方形的面积分别是13和1，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
17．如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
（1）若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长；
（2）若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长．
18．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 上， ， .若 ， ， ，求 的长.
19．如图，在△ABC中（∠B≠∠C），AB=8 cm，BC=16 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由.
20．已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处．
（1）如图1，当时，求的面积；
（2）设，，求关于的函数关系式和定义域；
（3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长．
四、计算题
21．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC=120cm，高AD=80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.
22．阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当，时，的值为多少；
②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
23．如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°
（1）计算：求BC的长；
（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．
①求∠CC1A1的度数；
②求四边形A1BCC1的面积；
（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
答案解析部分
1．【答案】3∶5
【知识点】相似三角形的性质
2．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
3．【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】30°
【知识点】相似三角形的性质
6．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
8．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
9．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
10．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
11．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
12．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
13．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
14．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
16．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
17．【答案】(1)；(2)．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
18．【答案】解：∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
解得
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
19．【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当 ，即 时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当 ，即 时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）
（2）（）
（3）或
【知识点】函数解析式；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
21．【答案】（1）75（2）小聪的剪法不正确
【知识点】相似三角形的判定与性质
22．【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①；②
【知识点】相似三角形的判定与性质
23．【答案】（1）BC＝7（2）①∠CC1A＝90°；②；（3）①最小值为﹣；最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质
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