选择必修第二册 第四章 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时）课件（23页ppt）

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选择必修2
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握等比数列前n项和公式． 1.数学运算素养和逻辑推理素养.
2.会解等比数列的前n项和公式的简单应用问题. 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.熟练掌握等比数列前n项和公式的性质及其应用. 3.逻辑推理素养和数学运算素养.
温故知新
1.等比数列的的前n项和.
2.等比数列的前n项和推导方法：错位相减法
3.等比数列的前n项和的简单运用（知三求二问题）.
4.等比数列的前n项和的性质.
.
新知探究
第1个正方形边长5cm；第2个正方形边长cm;第3个正方形边长为cm;…,
设第k个正方形面积为a2，则第k+1个正方形,面积为.
【例1】如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
⑴求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;
⑵如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些
正方形的面积之和将趋近于多少
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
设第k个正方形边长为a，则第k+1个正方形边长为.
新知探究
解：
设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…,an，…,则
∴前10个正方形的面积之和为.
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
⑴.
a1=25.
∴.
因此，数列{an}是25为首项，为公比的等比数列.
【例1】如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
⑴求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;
⑵如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面
积之和将趋近于多少
设数列{an}的前n项和为Sn，
新知探究
解：
∴所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
⑵当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+…+an+…，而
.
【例1】如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
⑴求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;
⑵如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面
积之和将趋近于多少
随着的n无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50.
结论：设等比数列{an}的公比为q，当|q|<1时，该数列成为无穷递缩数列.
无穷等比递缩数列的所有项的和S=.
初试身手
⑴当它第6次着地时，经过的总路程是
1.一个乒乓球从1m高的高度自由下落，每次下落的高度都是原来的0.61倍.(P40练习)
⑴当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1cm)
⑵至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm
∴Sn=100+2(100×0.61+100×0.612+…+100×0.61n-1)
解：
=100+200(0.61+0.612+…+0.615)
=100+≈386(cm).
S6=100+2(100×0.61+100×0.612+…+100×0.615)
⑵设第n次着地时，它经过的总路程为400cm,
解得n≈7.5.
=100+.
由题意，得100+=400.
整理，得0.61n-1≈0.04,
∴至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到400cm
知新探究
【例2】去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
=20, =6+1.5
=.
设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则
=
知新探究
【例2】去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：
=.
=.
=
=420×1.05n-n2-.
当n=5时，S5=63.5
∴从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
裂项分组法
初试身手
⑴每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1=125，q=1.5.
2.某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％.则
⑴该市在2028年应该投入电力型公交车多少辆？
⑵到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
∵Sn>(Sn+10000)×，
解：
Sn=，
∴2028年应投入的数量为a7=a1q6==148(辆).
⑵设数列{an}的前n项和为Sn，则
∴Sn>5000,
解得n>7.
∴到2029年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的.
知新探究
【例3】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,….
⑴写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
⑵将⑴中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
⑶求S10= c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1).
分析：⑴可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；⑵这是待定系数法的应用，可以将它还原为⑴中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；
cn+1=1.08cn-100, ①
⑵将cn+1－k = r(cn－k)化成
⑴由题意，得c1=1200，并且
cn+1=rcn-rk+k. ②
∴⑴中的递推公式可化为cn+1－1250=1.08(cn－1250).
解：
比较①②的系数，可得，
解得r=1.08,k=1250.
知新探究
【例3】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,….
⑴写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
⑵将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
⑶求S10= c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1).
解：
⑶由⑵可得,数量{cn－1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列.则
(c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+…＋(c10-1250)
=，
∴S10= c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1250×10-724.3=11775.7≈11776.
分析：⑶利用⑵的结论可得出解答.
知新探究
拓展：对于例3中的数列{cn}，能否利用⑵中的结论求出{cn}的通项公式和前n项和公式？如果能，请求出.
解：
由⑵可得,数量{cn－1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列.则
cn－1250=-50×1.08n-1，
∴cn=-50×1.08n-1+1250.
∴Sn=c1＋c2＋c3＋…＋cn.
=-50×(1+1.08+1.082+…+1.08n-1)+1025n
=
∴Sn=625×1.08n+1250n-625.
注意：这种求数列通项公式和前n项和公式的方法叫做辅助数列法.
初试身手
⑴证明：∵a1=1,an+1=2an+1(n∈N )，
3.已知数列{an}满足：a1=1,an+1=2an+1(n∈N ).
⑴求证：数列{an+1}是等比数列；
⑵求数列{an}的通项公式；
⑶求数列{an}的前n项和公式Sn.
解：
即=2,
∴a1+1=2，an+1+1=2an+1+1=2(an+1),
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
⑵由⑴可得
an+1=2×2n-1=2n,
∴an=2n-1.
初试身手
⑶由⑵可得
3.已知数列{an}满足：a1=1,an+1=2an+1(n∈N ).
⑴求证：数列{an+1}是等比数列；
⑵求数列{an}的通项公式；
⑶求数列{an}的前n项和Sn.
解：
=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)
Sn=a1+a2+a3+…+an
=(2+22+23+…+2n)-n=.
∴Sn=2n+1-n-2.
知新探究
【例4】已知数列{an}满足an=,求数列{an}的前n项和Sn.
解：
∴Sn=
∵an=，
=
=.
∴Sn=.
裂项相消法
初试身手
⑴设数列{an}的公比为q,
4.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1,＝9a2a6.
⑴求数列{an}的通项公式;
⑵设bn=,求数列{}的前n项和Tn．
由＝9a2a6得.
解：
由题意可知q>0,则.
∴数列{an}的通项公式an=.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q=1.
∴.
∴a1=.
初试身手
⑵∵an=,
4.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1,＝9a2a6.
⑴求数列{an}的通项公式;
⑵设bn=,求数列{}的前n项和Tn．
解：
∴.
∴Tn＝.
∴Tn＝.
∴bn=.
=.
课堂小结
1.等比数列的的前n项和.
2.数列的前n项和求法：错位相减法
3.数列{an}的通项公式求法：辅助数列法.
4.数列的前n项和求法：裂项分组求和法.
.
5.数列的前n项和求法：裂项相消法.
作业布置
作业： P40 练习 第3题
P41 习题4.3 第8,9,11,12题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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