2024-2025学年北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（含答案）

北京市对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．为减函数 B．的值域为
C．为奇函数 D．的定义域为R
6．函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（　　）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（ ）
x 0 1 2
2 1 0
A． B．
C． D．
9．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若命题，，则的否定为
12．函数的定义域是 ．
13．已知，则的最小值为 ，此时x的值为 .
14．已知函数，若，则 .
15．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．已知集合，，．
(1)求，；
(2)若，求实数m的取值范围．
17．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．
18．己知函数（且）．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并用定义证明；
(3)时，求使成立的x的取值范围．
19．计算：
(1)
(2)
(3)，，试用表示．
20．已知二次函数的最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围．
21．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C B D A A D D
11．，
12．
13． . .
14．16或-2
15．①③
16．（1）或；
，
或，
所以，
或；
（2）若，
当时，符合题意，则，即；
当时，
则，解得，
综上所述，.
17．（1）根据题意，得，
由得，即，
解得：或，
故不等式的解集为或.
（2）由题意得，的解集为，
当时，不等式可化为，解得，即的解集为，不符合题意，舍去；
当时，在开口向上，且与轴没有交点时，的解集为，
所以，解得，即，
综上：，
故实数的取值范围为.
18．（1）；
（2）奇函数，证明如下：
由题意，解得，
所以函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数；
（3）当时，函数在上是减函数，
由，得，
所以，解得，
所以使成立的x的取值范围为.
19．（1）原式
；
（2）原式；
（3）因为，所以
则.
20．（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为，
又由最小值为，可设，
又，即，解得，
所以函数的解析式为.
（2）因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设函数，，
则在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为，
∴，
故实数的取值范围为：.
21．（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又，
是倒函数，
对于，定义域为，
故当时，，不符合倒函数的定义，
所以不是倒函数；
（2）因为，又是上的倒函数，
所以，所以，
故，
充分性：当时，且，又在上是严格增函数，
所以，，
所以，，故.
必要性：当时，
有
，
又恒大于0，所以，
因为，所以，
因为在上是严格增函数．所以，即有成立.
综上所述：是的充要条件．
答案第1页，共2页
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