2024-2025学年八年级数学上册 第一章 勾股定理 基础测试卷（含答案）

第一章基础测试卷
考试时间：45分钟 满分:100分
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题
1.下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是( )
A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.3,4,5
2.如图，225、289分别表示上面两个正方形的面积，则字母A 所代表的正方形的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.64
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC=10cm,D是BC 的中点,若. 8cm,则BC的长度为( )
A.4cm B.6cm C.10cm D.12cm
4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
5.已知 则以a，b，c为三边长的三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
6.如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，两船相距( )
A.25海里
B.30海里
C.40海里
D.50海里
7.下列选项中，不能用来验证勾股定理的是( )
8.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的. AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长是( )
A.52 B.68 C.76 D.100
9.如图，有一个长、宽各为2m，高为3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点 A 爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为( )
A.3m B.4m C.5m D.6m
10.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以 Rt△ABC 的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以 Rt△ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE……依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是( )
A.2"-2 B.2n-1 C.2" D.2"+1
二、填空题
11.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的高是 .
12.一个三角形的周长为12,且三边长a,b,c满足下列关系:c=b-1,b=a—1，则这个三角形的面积为 .
13.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何.”题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高.答：折断处离地面 尺高.
14.如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小是 dm.
三、解答题
15.(本题满分4分)如图所示，数轴上点 A 所表示的数为a，求a的值.
16.(本题满分4分)如图，在 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D中任取三点，求所构成的三角形恰好是直角三角形的概率.
17.(本题满分4分)如图，已知 中， 于点D， BC 求AB的长.
18.(本题满分4分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如果 那么这个三角形是直角三角形吗 安安的解答如下：解：这个三角形不是直角三角形.理由如下：因为 所以 不是直角三角形.请问安安的解答正确吗 若不正确，请给出正确的解答过程，并画出这个直角三角形.
19.(本题满分6分)如图,四边形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=3,E为AB 上一点,AE=4,ED=5,求CD的长.
20.(本题满分6分)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7，求四边形A，B，C，D的面积之和.
21.(本题满分6分)如图，瑞瑞想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面时还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.
22.(本题满分6分)如图，有一块凹四边形土地 ABCD，其中 ，求这块四边形土地的面积.
23.(本题满分7分)如图，在 和 中， 点A，C，D依次在同一直线上，且
(1)试说明:
(2)连接AE,当 时，求AE的长.
24.(本题满分9分)如图，A，B两村在河边CD 的同侧，A，B 两村到河的距离分别为 又 现要在河边CD上建一水厂，同时分别向A，B两村输送自来水，铺设水管时工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.
25.(本题满分12分)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为 其中m>n>0,m,n是互质的奇数.
应用：当 时，求有一边长为5 的直角三角形的另外两条边长.
第一章基础测试卷
1.D 2.D 3.D 4.B 5. A 6. C 7. D 8.C 9.C 10.A
11. 12. 6 13. 14. 10
15.解：由题意知直角三角形中较长直角边边长为2-(-2)=4，
较短直角边边长为3，
所以直角三角形的斜边长为5，
即OA=5，则a=5-2=3.
解：因为从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的情况一共有 4 种,
其中△ABD,△ADC,△ABC是直角三角形，
所以构成的三角形恰好是直角三角形的概率为
解:因为 CD⊥AB 于点 D,AC=20,BC=15,DB=9,
所以在 Rt△BCD 中,
在 Rt△ACD中，
所以AD=16,所以AB=AD+DB=16+9=25.
解：安安的解答不正确.正确的解答过程如下：这个三角形是直角三角形.理由如下：因为 所以b是这个三角形的最长边.因为 所以 所以△ABC是直角三角形.画出的△ABC 如图所示.
解:因为AD=3,AE=4,ED=5,
所以AD +
所以∠A=90°,
所以 DA⊥AB.
因为
所以 DC⊥BC.
因为 BD 平分∠ABC,
所以CD=AD=3.
解：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以四边形A，B，C，D为正方形，三角形 E 为直角三角形.
设正方形A 的边长为a，正方形B 的边长为b，
正方形C的边长为c，正方形D的边长为d，
直角三角形E 的较短直角边的长为x，较长直角边的长为 y.
所以正方形A 的面积为 正方形B 的面积为 正方形C的面积为 正方形D 的面积为
由题图及勾股定理可知，
所以四边形A，B，C，D的面积之和 =49.
解：设旗杆的高度为 xm，则绳长为(x+1)m，
根据题意得
解得x=12.
所以旗杆的高度为12m.
解:连接AC,因为∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,
所以AC=5m.
因为 BC=12m,AB=13m,
所以
所以△ABC为直角三角形且∠ACB=90°,
所以 (m ),又易知
所以这块四边形土地的面积为
解:(1)因为AB∥DE,
所以∠BAC=∠D.
又因为∠B =∠DCE=90°, AC = DE,
所 以 △ABC ≌△DCE.
因 为 △ABC ≌△DCE,
所以CE=BC=5.
又因为AC=12,∠ACE=90°,
所以 AE=13.
解：如图，作点A 关于直线CD 的对称点 连接A'B 交CD 于点O，
则点O即为水厂的位置，连接AO,过点A'作 交BD 的延长线于点E，
则
所以
在 中，
所以
所以
所以总费用为 (元).
解:当n=1时,
当a=5时,
所以
因为m，n是互质的奇数，
所以m =11不合题意,舍去.
（2）当b=5时,m=5,代入①③得,a=12,c=13.
(3)当c=5时,
解得m=±3.
因为m>0,所以m=3.代入①②得a=4，b=3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.