人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.1.2 反比例函数图象的性质（2）
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.1.2 反比例函数图象的性质（2） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 12.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-02 21:30:54 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.2 反比例函数图象的性质（2）
学习目标
1 通过图象探索反比例函数的主要性质.
2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．
老师告诉你
反比例函数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
一、知识点拨
知识点1 、反比例函数()中的比例系数的几何意义
K的几何意义 在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
基本图形面积
基本图形面积
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【新知导学】
【例1-1】．如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4
B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2
C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8
D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3
【例1-2】．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
【对应导练】
1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若，，则下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标为
B．
C．若点也在此反比例函数的图象上，则
D．若点A和点N关于原点对称，则点N在此反比例函数的另一个分支上
2．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积．
3．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
4．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．
(1)求阴影部分的面积；
(2)若四边形是平行四边形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标．
5．（1）已知函数与的图象在第二象限内交于，两点，求的面积．
（2）如图，已知函数与的图象在第一象限内交于，两点，且的面积为，求的值．
知识点2 、反比例函数解析式确定
待定系数法
（1）设所求反比例函数解析式为：
（2）找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；
（3）确定反比例函数解析式
2 .题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得|k|，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可
【新知导学】
【例2-1】．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：
出水速度（）
（）
用式子表示与的关系是 ．
【例2-2】．名师原创如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接．
(1)线段______；
(2)若双曲线经过点B和点C，则k的值为______；
(3)连接，，，若双曲线与四边形总有公共点，则m的取值范围是______．
【对应导练】
1．函数的图象可由反比例函数的图象平移得到，求的值．
2．已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是．
(1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式．
(2)求当时，x，y的值．
(3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？
3．在直角坐标系中，设．
(1)已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
(2)当时，；当时，，求k的值．．
知识点3 、反比例函数与一次函数综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）
【新知导学】
【例3-1】．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．
【对应导练】
1．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A和．
(1)求反比例函数的表达式及A点坐标；
(2)过点A作轴，垂足为D，求的面积．
2．如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点．
(1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标．
(2)请直接写出的解集．
(3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由．
3．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，
(2)求的面积、
(3)结合函数图象直接写出不等式的解集．
二、题型训练
1.利用图形分割求面积
1．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
(2)连接，求四边形的面积．
2．如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点．
(1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标；
(2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小．
3．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
利用面积确定k
4．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且．
(1)若，则的长为________，的面积为________；
(2)若点的横坐标为，且，当时，求的值．
6．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
3.一次函数与反比例函数综合
7．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集________；
(3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________．
9．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
8．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ．
12．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．
13．如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
16．如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为．
(1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，自变量的取值范围；
(3)连接、，求的面积；
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标．
19．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.2 反比例函数图象的性质（2）
学习目标
1 通过图象探索反比例函数的主要性质.
2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．
老师告诉你
反比例函数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
一、知识点拨
知识点1 、反比例函数()中的比例系数的几何意义
K的几何意义 在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
基本图形面积
基本图形面积
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【新知导学】
【例1-1】．如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4
B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2
C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8
D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3
【答案】A
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，设点，则，点,为的中点，据此即可求解．
【详解】解：设点，则，
根据反比例函数图象的对称性可知：点,为的中点
图1中阴影部分的面积为：，
图2中阴影部分的面积为：，
故选：A．
【例1-2】．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，
∴,的面积=的面积=，
∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积，
∴，
解得（负值已舍去），
∴反比例函数解析式为．
故答案为：．
【对应导练】
1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若，，则下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标为
B．
C．若点也在此反比例函数的图象上，则
D．若点A和点N关于原点对称，则点N在此反比例函数的另一个分支上
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数解析式，求反比例函数值，先根据，，轴，得到，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式为，据此可判断A；连接，证明，可得，据此可判断B；把代入反比例函数解析式求出m的值，据此可判断C；根据反比例函数的对称性即可判断D．
【详解】解：∵，，轴，
∴点A的坐标为，故A说法正确，不符合题意；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，故B说法正确，不符合题意；
∵点也在此反比例函数的图象上，
∴，故C说法错误，符合题意；
由反比例函数的对称性可知，若点A和点N关于原点对称，则点N在此反比例函数的另一个分支上，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积．
【答案】8
【分析】
本题考查了反比例函数中的几何意义，设反比例函数的解析式为，把，代入即可得出的值，再根据矩形面积是个定值，即即可得出答案．
【详解】
解：设反比例函数的解析式为，把，代入，得，
矩形的面积．
3．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
【答案】(1)点的横坐标为4；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
（1）将点的横坐标代入求解即可；
（2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2，
∴，
∴，
∴点的横坐标为4；
（2）解：设则有，
，，
∴．
4．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．
(1)求阴影部分的面积；
(2)若四边形是平行四边形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标．
【答案】(1)5
(2)
(3)点
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解；
（2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解；
（3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，，
阴影部分的面积；
（2）解：如图所示，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，即点H为的中点，
，
，，
；
（3）解：，，
∴，
在中，当时，
，，
，
点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点．
5．（1）已知函数与的图象在第二象限内交于，两点，求的面积．
（2）如图，已知函数与的图象在第一象限内交于，两点，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，联立，得出，，进而根据，即可求解．
（2）过点作轴、作轴，作轴，垂足分别为，得出的面积梯形的面积，设、两点的坐标分别为，进而联立直线与反比例数解析式，得出，根据的面积为，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
联立
解得：或
∴，
∴，
∵，
∴；
解：如图所示：过点作轴、作轴，作轴，垂足分别为
同（1）可得的面积梯形的面积，
设、点是函数上与反比例函数上的交点，设、两点的坐标分别为，
，化简为，
，
的面积梯形的面积
即
解得：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
知识点2 、反比例函数解析式确定
待定系数法
（1）设所求反比例函数解析式为：
（2）找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；
（3）确定反比例函数解析式
2 .题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得|k|，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可
【新知导学】
【例2-1】．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：
出水速度（）
（）
用式子表示与的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据表可得与成反比例函数关系，，据此即可求解，由表中数据得出与的函数关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与成反比例函数关系，，
∴，
故答案为：．
【例2-2】．名师原创如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接．
(1)线段______；
(2)若双曲线经过点B和点C，则k的值为______；
(3)连接，，，若双曲线与四边形总有公共点，则m的取值范围是______．
【答案】(1)2；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了两点间的距离公式、求反比例函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式求解即可；
（2）根据反比例函数的定义可得，解得，进而得到；
（3）分别将点、点代入反比例函数解析式分别可得和，然后根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵双曲线经过点B和点C，
∴，解得，
∴．
（3）解：将点代入，得，将点代入，得，
∴双曲线与四边形总有公共点时，
∴m的取值范围是．
【对应导练】
1．函数的图象可由反比例函数的图象平移得到，求的值．
【答案】
【分析】
本题考查了函数图象的平移，把变形成的形式，即可作出判断．
【详解】
解：，
则可看成由向上平移2个单位长度，再向左平移一个单位长度得到．
故．
2．已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是．
(1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式．
(2)求当时，x，y的值．
(3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？
【答案】(1)，；
(2)x，；
(3)，这个函数是反比例函数．
【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的定义，求解自变量或函数值，理解题意是关键．
（1）根据定义直接写出函数解析式即可；
（2）利用函数解析式分别求解即可；
（3）消去变量即可得到函数解析式，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：∵y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是，
∴，；
（2）解：当时，则，
解得x，
；
（3）解：∵，；
∴，这个函数是反比例函数．
3．在直角坐标系中，设．
(1)已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
(2)当时，；当时，，求k的值．
【答案】(1)①6；②
(2)12
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程等知识；掌握函数图象上点的坐标特征是关键．
（1）①利用待定系数法即可得出k的值；
②把代入函数的解析式即可求得n的值；
（2）利用反比例函数系数得出，解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值．
【详解】（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
知识点3 、反比例函数与一次函数综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）
【新知导学】
【例3-1】．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据反比例函数和一次函数的图象和性质依次对比即可得出答案．
【详解】解：A、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误．
故选：B．
【例3-2】．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式；
点评
（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式；
（3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可．
【详解】（1）解：点在直线，
，
，
点在第一象限，且点的纵坐标为，
将点代入直线，
，
；
（2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图，
，
，
，
由旋转可知，，
，
，，
，
设直线的函数解析式为，
，即，
直线的函数解析式为；
（3）解：如图，
，，
，
，即，
，
设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：，
，，，
，，
，解得或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键．
【对应导练】
1．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A和．
(1)求反比例函数的表达式及A点坐标；
(2)过点A作轴，垂足为D，求的面积．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
（1）把B代入求出点B，把B代入即可求解反比例函数的表达式，再联立一次函数和反比例函数解析式即可求解A；
（2）根据面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：
解得：，
∴，
设反比例函数的表达式为，
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为：
，
由得：，
解得：，
将代入，解得
；
（2）解：
2．如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点．
(1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标．
(2)请直接写出的解集．
(3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为；
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案；
（2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案；
（3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点，
，即反比例函数表达式为；
，即正比例函数表达式为；
反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点，
联立，解得或，即；
（2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示：
、，
当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或
（3）解：如图所示：
把的图象绕点顺时针旋转得到了，
直线垂直直线，
与关于原点对称，
直线是线段的垂直平分线，
当在直线上时，由垂直平分线性质可得，
若使是以为底边的等腰三角形，则，
此时是等边三角形，
在中，，，则，由勾股定理可得，
设，则，解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键．
3．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，
(2)求的面积、
(3)结合函数图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案；
（3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数过点，
，即；
将，代入，得，
点的坐标为，
将点，的坐标代入一次函数中，得，解得，
；
（2）解：在直线中，当时，，
点的坐标为，即，
；
（3）解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、，
或．
二、题型训练
1.利用图形分割求面积
1．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
(2)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)在，理由见解析
(2)
【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质及矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键
（1）根据矩形的性质及坐标与图形得出，然后确定反比例函数解析式，再由矩形的性质得出，代入进行判断即可；
（2）过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数求面积即可．
【详解】（1）解：点F在该反比例函数的图象上．理由如下：
∵，四边形为矩形．
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为
又∵点F为的交点．
∴F为的中点
∴
又∵，
∴点F在该反比例函数的图象上．
（2）如图，过点D作轴于点G．
∴四边形为矩形．
又∵，
∴，
又∵D，E在反比例函数的图象上．
．
2．如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点．
(1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标；
(2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解；
（2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为，
则，
由题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵当且仅当时等号成立，
∴当且仅当时，取得最小值，
此时点的坐标为；
（2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为，
则，
由题意，，
∴当，即时，，
即，∴四边形的周长小于四边形的周长；
当，即时，，
即，∴四边形的周长等于四边形的周长；
当，即时，，
即，∴四边形的周长大于四边形的周长．
3．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)理由见解析
(3)四边形的面积为
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．
（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；
（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；
（3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，
∴，
∴点B的坐标为：；
（2）解：把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：；
设直线的解析式为：，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
解方程组
得：或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：，
即点D为的中点；
（3）解：如图，连接，
点D为的中点，
的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
利用面积确定k
4．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值，
（1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解；
（2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，
∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：根据题意，设，
∵，
∴设点到的距离为，则，
∴，
∵点位于第三象限，即，且，
∴，则，
∴．
5．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且．
(1)若，则的长为________，的面积为________；
(2)若点的横坐标为，且，当时，求的值．
【答案】(1)；1
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，
（1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积；
（2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值．
【详解】（1）解：∵，，
∴点，
∴， ．
∵点B在反比例函数的图像上，
∴．
故答案为；1．
（2）解：∵A，B两点在函数的图像上，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
解得：或．
∵，
∴．
6．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式；
（1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可；
（2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可；
熟知反比例函数的几何意义是关键．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且
∴，
解得，
故k的值为；
（2）如图，过点作，
∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点，
∴，
∵平行于y轴，
∴点的横坐标为4，
解得，
∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为
，
故的面积为．
3.一次函数与反比例函数综合
7．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
（1）联立一次函数与反比例函数解析式，求出方程组的解得到A与B的坐标即可；
（2）由A与B交点的横坐标，以及0将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时x的范围即可；
（3）由一次函数求出y的值，确定出D坐标，即为的长，依据三角形面积=三角形面积+三角形面积，求出即可．
【详解】（1）解：联立两函数解析式得：，
解得：或，
即，；
（2）解：根据图象得：当或时，一次函数值大于反比例函数值，
∴不等式的解集为或；
（3）解：令中，得到，
即，
∴，
∴．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集________；
(3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，，，
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把两点分别代入一次函数解析式即可．
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）设，表示出，分为当时，当时，当时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：点在上，
，
∴反比例函数解析式为；
又点在上，
，
∴点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得，
解得：，
∴一次函数的解析为．
（2）解：、，
观察图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵、，
则，
当时，，
解得：，
故；
当时，，
解得：，
故；
当时，，
解得：或，
故，；
综上，，，，．
9．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或或或．
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）解：∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为都在一次函数的图像上
，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：直线与x轴交于点C，，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴
；
（3）解：当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解．
【详解】解：矩形的面积为6，
．
过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限，
．
．
故选：B．
2．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，
∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，
∵反比例函数的图象经过点，
∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
观察函数图象即可求解．
【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
故选：A．
4．已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把点代入求出的值，进而得到与的函数关系式，根据图象上的点的横纵坐标的积是定值，即进行计算即可．
【详解】解：与成反比例，
设，
把点代入得，，
反比例函数解析式为；
，
故点的坐标可能是，
故选：．
5．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，
面积等于，
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断．
【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意，
故选：D．
7．如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
；
故选：C．
8．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
如图，过C作轴于D，交于E．由是等腰直角三角形得到，设，则，设，则，，反比例函数的图象过点B，C，则，解得，则，再根据即可求解．
【详解】解：如图，过C作轴于D，交于E．
∵轴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
设，则，，
∵反比例函数的图象过点B，C，
∴，
解得，则，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，依据题意，设，，由点E和点C在反比例函数上，求出的值，得到，从而可以求出k的值，解题时要熟练掌握并能灵活运用矩形的性质是关键．
【详解】解：∵四边形是矩形， ，点为边的中点，
，
∴设，，
∵点和点在反比例函数上，
，
，
∴，
，
故答案为：．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质．过作轴于，作轴于，如图，设的坐标为，由平行四边形的面积为4，得到，得到，根据点是线段的中点，求得，，再把，代入计算即可．
【详解】解：过作轴于，作轴于，如图，
设的坐标为，则，
平行四边形的面积为4，
，，
∴，，
点是线段的中点，
∴，
反比例函数经过点和线段的中点，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形推出点的含有的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于的方程，解出即可求出的坐标，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
【详解】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点,如图所示：
点的坐标为，
，
，，
，
，，
，
，，则，
，
点、都在反比例函数上，
，即，
解得，（舍去），
点的坐标为，
．
故答案为：．
12．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．
【答案】/
【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案．
【详解】∵
∴四边形的面积为：，
故答案为：
13．如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题主要查反了比例函数中比例系数的几何意义，正确地作出辅助线成为解题的关键．
如图：过点A作y轴的垂线得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积，进而求得k的值．
【详解】解：如图：过点A作轴，连接，
∵垂直于轴于，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，即，
，，
，
，
∵，
∴．
故答案为：9．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）把代入解析式求值即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，，
∴；
∴；
（2）当时，．
15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
【答案】
【分析】直接利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，正确计算是解题的关键．
16．如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值．
【答案】
【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．
【详解】解：根据题意可知：轴，则轴于B，
∴，
解得：，
又反比例函数的图象位于第一象限，，
则． 故k的值为4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为．
(1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，自变量的取值范围；
(3)连接、，求的面积；
【答案】(1)；
(2)或；
(3)4
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）先求出得到，再根据计算即可得解．
【详解】（1）解：∵轴，垂足为M，，，
∴，
把代入反比例函数，可得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
令，则，
∴，
把，代入一次函数可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或；
（3）解：在中，令，则，即，
∴，
∴．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；
(2)点的坐标为或
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法．
（1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式是，
点在反比例函数的图象上，
，
，
一次函数的图象经过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式是；
（2）解：如图，作轴于，则，
∵，
∴
解得：，
点的坐标为或．
19．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解；
（2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：①将代入 得： ，
解得：；
∴反比例函数的表达式为： ；
∴，即：；
将、代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数与轴交于点，如图所示：
由得；
∴
∴
（2）解：设点，
，则，
解得：；
，则，
解得：或（舍）；
，则，
解得：；
综上所述：点P的坐标为或或
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.2 反比例函数图象的性质（2）
学习目标
1 通过图象探索反比例函数的主要性质.
2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．
老师告诉你
反比例函数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
一、知识点拨
知识点1 、反比例函数()中的比例系数的几何意义
K的几何意义 在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
基本图形面积
基本图形面积
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【新知导学】
【例1-1】．如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4
B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2
C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8
D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3
【例1-2】．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
【对应导练】
1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若，，则下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标为
B．
C．若点也在此反比例函数的图象上，则
D．若点A和点N关于原点对称，则点N在此反比例函数的另一个分支上
2．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积．
3．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
4．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．
(1)求阴影部分的面积；
(2)若四边形是平行四边形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标．
5．（1）已知函数与的图象在第二象限内交于，两点，求的面积．
（2）如图，已知函数与的图象在第一象限内交于，两点，且的面积为，求的值．
知识点2 、反比例函数解析式确定
待定系数法
（1）设所求反比例函数解析式为：
（2）找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；
（3）确定反比例函数解析式
2 .题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得|k|，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可
【新知导学】
【例2-1】．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：
出水速度（）
（）
用式子表示与的关系是 ．
【例2-2】．名师原创如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接．
(1)线段______；
(2)若双曲线经过点B和点C，则k的值为______；
(3)连接，，，若双曲线与四边形总有公共点，则m的取值范围是______．
【对应导练】
1．函数的图象可由反比例函数的图象平移得到，求的值．
2．已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是．
(1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式．
(2)求当时，x，y的值．
(3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？
3．在直角坐标系中，设．
(1)已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
(2)当时，；当时，，求k的值．．
知识点3 、反比例函数与一次函数综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）
【新知导学】
【例3-1】．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．
【对应导练】
1．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A和．
(1)求反比例函数的表达式及A点坐标；
(2)过点A作轴，垂足为D，求的面积．
2．如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点．
(1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标．
(2)请直接写出的解集．
(3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由．
3．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，
(2)求的面积、
(3)结合函数图象直接写出不等式的解集．
二、题型训练
1.利用图形分割求面积
1．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
(2)连接，求四边形的面积．
2．如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点．
(1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标；
(2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小．
3．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
利用面积确定k
4．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且．
(1)若，则的长为________，的面积为________；
(2)若点的横坐标为，且，当时，求的值．
6．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
3.一次函数与反比例函数综合
7．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集________；
(3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________．
9．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
8．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ．
12．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．
13．如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
16．如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为．
(1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，自变量的取值范围；
(3)连接、，求的面积；
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标．
19．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.2 反比例函数图象的性质（2）
学习目标
1 通过图象探索反比例函数的主要性质.
2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．
老师告诉你
反比例函数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
一、知识点拨
知识点1 、反比例函数()中的比例系数的几何意义
K的几何意义 在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
基本图形面积
基本图形面积
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【新知导学】
【例1-1】．如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4
B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2
C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8
D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3
【答案】A
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，设点，则，点,为的中点，据此即可求解．
【详解】解：设点，则，
根据反比例函数图象的对称性可知：点,为的中点
图1中阴影部分的面积为：，
图2中阴影部分的面积为：，
故选：A．
【例1-2】．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，
∴,的面积=的面积=，
∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积，
∴，
解得（负值已舍去），
∴反比例函数解析式为．
故答案为：．
【对应导练】
1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若，，则下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标为
B．
C．若点也在此反比例函数的图象上，则
D．若点A和点N关于原点对称，则点N在此反比例函数的另一个分支上
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数解析式，求反比例函数值，先根据，，轴，得到，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式为，据此可判断A；连接，证明，可得，据此可判断B；把代入反比例函数解析式求出m的值，据此可判断C；根据反比例函数的对称性即可判断D．
【详解】解：∵，，轴，
∴点A的坐标为，故A说法正确，不符合题意；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，故B说法正确，不符合题意；
∵点也在此反比例函数的图象上，
∴，故C说法错误，符合题意；
由反比例函数的对称性可知，若点A和点N关于原点对称，则点N在此反比例函数的另一个分支上，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积．
【答案】8
【分析】
本题考查了反比例函数中的几何意义，设反比例函数的解析式为，把，代入即可得出的值，再根据矩形面积是个定值，即即可得出答案．
【详解】
解：设反比例函数的解析式为，把，代入，得，
矩形的面积．
3．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
【答案】(1)点的横坐标为4；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
（1）将点的横坐标代入求解即可；
（2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2，
∴，
∴，
∴点的横坐标为4；
（2）解：设则有，
，，
∴．
4．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．
(1)求阴影部分的面积；
(2)若四边形是平行四边形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标．
【答案】(1)5
(2)
(3)点
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解；
（2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解；
（3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，，
阴影部分的面积；
（2）解：如图所示，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，即点H为的中点，
，
，，
；
（3）解：，，
∴，
在中，当时，
，，
，
点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点．
5．（1）已知函数与的图象在第二象限内交于，两点，求的面积．
（2）如图，已知函数与的图象在第一象限内交于，两点，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，联立，得出，，进而根据，即可求解．
（2）过点作轴、作轴，作轴，垂足分别为，得出的面积梯形的面积，设、两点的坐标分别为，进而联立直线与反比例数解析式，得出，根据的面积为，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
联立
解得：或
∴，
∴，
∵，
∴；
解：如图所示：过点作轴、作轴，作轴，垂足分别为
同（1）可得的面积梯形的面积，
设、点是函数上与反比例函数上的交点，设、两点的坐标分别为，
，化简为，
，
的面积梯形的面积
即
解得：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
知识点2 、反比例函数解析式确定
待定系数法
（1）设所求反比例函数解析式为：
（2）找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；
（3）确定反比例函数解析式
2 .题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得|k|，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可
【新知导学】
【例2-1】．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：
出水速度（）
（）
用式子表示与的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据表可得与成反比例函数关系，，据此即可求解，由表中数据得出与的函数关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与成反比例函数关系，，
∴，
故答案为：．
【例2-2】．名师原创如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接．
(1)线段______；
(2)若双曲线经过点B和点C，则k的值为______；
(3)连接，，，若双曲线与四边形总有公共点，则m的取值范围是______．
【答案】(1)2；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了两点间的距离公式、求反比例函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式求解即可；
（2）根据反比例函数的定义可得，解得，进而得到；
（3）分别将点、点代入反比例函数解析式分别可得和，然后根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵双曲线经过点B和点C，
∴，解得，
∴．
（3）解：将点代入，得，将点代入，得，
∴双曲线与四边形总有公共点时，
∴m的取值范围是．
【对应导练】
1．函数的图象可由反比例函数的图象平移得到，求的值．
【答案】
【分析】
本题考查了函数图象的平移，把变形成的形式，即可作出判断．
【详解】
解：，
则可看成由向上平移2个单位长度，再向左平移一个单位长度得到．
故．
2．已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是．
(1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式．
(2)求当时，x，y的值．
(3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？
【答案】(1)，；
(2)x，；
(3)，这个函数是反比例函数．
【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的定义，求解自变量或函数值，理解题意是关键．
（1）根据定义直接写出函数解析式即可；
（2）利用函数解析式分别求解即可；
（3）消去变量即可得到函数解析式，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：∵y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是，
∴，；
（2）解：当时，则，
解得x，
；
（3）解：∵，；
∴，这个函数是反比例函数．
3．在直角坐标系中，设．
(1)已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
(2)当时，；当时，，求k的值．
【答案】(1)①6；②
(2)12
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程等知识；掌握函数图象上点的坐标特征是关键．
（1）①利用待定系数法即可得出k的值；
②把代入函数的解析式即可求得n的值；
（2）利用反比例函数系数得出，解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值．
【详解】（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
知识点3 、反比例函数与一次函数综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）
【新知导学】
【例3-1】．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据反比例函数和一次函数的图象和性质依次对比即可得出答案．
【详解】解：A、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误．
故选：B．
【例3-2】．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式；
点评
（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式；
（3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可．
【详解】（1）解：点在直线，
，
，
点在第一象限，且点的纵坐标为，
将点代入直线，
，
；
（2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图，
，
，
，
由旋转可知，，
，
，，
，
设直线的函数解析式为，
，即，
直线的函数解析式为；
（3）解：如图，
，，
，
，即，
，
设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：，
，，，
，，
，解得或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键．
【对应导练】
1．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A和．
(1)求反比例函数的表达式及A点坐标；
(2)过点A作轴，垂足为D，求的面积．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
（1）把B代入求出点B，把B代入即可求解反比例函数的表达式，再联立一次函数和反比例函数解析式即可求解A；
（2）根据面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：
解得：，
∴，
设反比例函数的表达式为，
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为：
，
由得：，
解得：，
将代入，解得
；
（2）解：
2．如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点．
(1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标．
(2)请直接写出的解集．
(3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为；
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案；
（2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案；
（3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点，
，即反比例函数表达式为；
，即正比例函数表达式为；
反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点，
联立，解得或，即；
（2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示：
、，
当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或
（3）解：如图所示：
把的图象绕点顺时针旋转得到了，
直线垂直直线，
与关于原点对称，
直线是线段的垂直平分线，
当在直线上时，由垂直平分线性质可得，
若使是以为底边的等腰三角形，则，
此时是等边三角形，
在中，，，则，由勾股定理可得，
设，则，解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键．
3．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，
(2)求的面积、
(3)结合函数图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案；
（3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数过点，
，即；
将，代入，得，
点的坐标为，
将点，的坐标代入一次函数中，得，解得，
；
（2）解：在直线中，当时，，
点的坐标为，即，
；
（3）解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、，
或．
二、题型训练
1.利用图形分割求面积
1．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
(2)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)在，理由见解析
(2)
【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质及矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键
（1）根据矩形的性质及坐标与图形得出，然后确定反比例函数解析式，再由矩形的性质得出，代入进行判断即可；
（2）过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数求面积即可．
【详解】（1）解：点F在该反比例函数的图象上．理由如下：
∵，四边形为矩形．
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为
又∵点F为的交点．
∴F为的中点
∴
又∵，
∴点F在该反比例函数的图象上．
（2）如图，过点D作轴于点G．
∴四边形为矩形．
又∵，
∴，
又∵D，E在反比例函数的图象上．
．
2．如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点．
(1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标；
(2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解；
（2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为，
则，
由题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵当且仅当时等号成立，
∴当且仅当时，取得最小值，
此时点的坐标为；
（2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为，
则，
由题意，，
∴当，即时，，
即，∴四边形的周长小于四边形的周长；
当，即时，，
即，∴四边形的周长等于四边形的周长；
当，即时，，
即，∴四边形的周长大于四边形的周长．
3．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)理由见解析
(3)四边形的面积为
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．
（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；
（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；
（3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，
∴，
∴点B的坐标为：；
（2）解：把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：；
设直线的解析式为：，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
解方程组
得：或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：，
即点D为的中点；
（3）解：如图，连接，
点D为的中点，
的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
利用面积确定k
4．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值，
（1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解；
（2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，
∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：根据题意，设，
∵，
∴设点到的距离为，则，
∴，
∵点位于第三象限，即，且，
∴，则，
∴．
5．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且．
(1)若，则的长为________，的面积为________；
(2)若点的横坐标为，且，当时，求的值．
【答案】(1)；1
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，
（1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积；
（2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值．
【详解】（1）解：∵，，
∴点，
∴， ．
∵点B在反比例函数的图像上，
∴．
故答案为；1．
（2）解：∵A，B两点在函数的图像上，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
解得：或．
∵，
∴．
6．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式；
（1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可；
（2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可；
熟知反比例函数的几何意义是关键．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且
∴，
解得，
故k的值为；
（2）如图，过点作，
∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点，
∴，
∵平行于y轴，
∴点的横坐标为4，
解得，
∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为
，
故的面积为．
3.一次函数与反比例函数综合
7．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
（1）联立一次函数与反比例函数解析式，求出方程组的解得到A与B的坐标即可；
（2）由A与B交点的横坐标，以及0将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时x的范围即可；
（3）由一次函数求出y的值，确定出D坐标，即为的长，依据三角形面积=三角形面积+三角形面积，求出即可．
【详解】（1）解：联立两函数解析式得：，
解得：或，
即，；
（2）解：根据图象得：当或时，一次函数值大于反比例函数值，
∴不等式的解集为或；
（3）解：令中，得到，
即，
∴，
∴．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集________；
(3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，，，
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把两点分别代入一次函数解析式即可．
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）设，表示出，分为当时，当时，当时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：点在上，
，
∴反比例函数解析式为；
又点在上，
，
∴点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得，
解得：，
∴一次函数的解析为．
（2）解：、，
观察图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵、，
则，
当时，，
解得：，
故；
当时，，
解得：，
故；
当时，，
解得：或，
故，；
综上，，，，．
9．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或或或．
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）解：∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为都在一次函数的图像上
，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：直线与x轴交于点C，，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴
；
（3）解：当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解．
【详解】解：矩形的面积为6，
．
过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限，
．
．
故选：B．
2．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，
∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，
∵反比例函数的图象经过点，
∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
观察函数图象即可求解．
【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
故选：A．
4．已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把点代入求出的值，进而得到与的函数关系式，根据图象上的点的横纵坐标的积是定值，即进行计算即可．
【详解】解：与成反比例，
设，
把点代入得，，
反比例函数解析式为；
，
故点的坐标可能是，
故选：．
5．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，
面积等于，
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断．
【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意，
故选：D．
7．如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
；
故选：C．
8．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
如图，过C作轴于D，交于E．由是等腰直角三角形得到，设，则，设，则，，反比例函数的图象过点B，C，则，解得，则，再根据即可求解．
【详解】解：如图，过C作轴于D，交于E．
∵轴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
设，则，，
∵反比例函数的图象过点B，C，
∴，
解得，则，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，依据题意，设，，由点E和点C在反比例函数上，求出的值，得到，从而可以求出k的值，解题时要熟练掌握并能灵活运用矩形的性质是关键．
【详解】解：∵四边形是矩形， ，点为边的中点，
，
∴设，，
∵点和点在反比例函数上，
，
，
∴，
，
故答案为：．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质．过作轴于，作轴于，如图，设的坐标为，由平行四边形的面积为4，得到，得到，根据点是线段的中点，求得，，再把，代入计算即可．
【详解】解：过作轴于，作轴于，如图，
设的坐标为，则，
平行四边形的面积为4，
，，
∴，，
点是线段的中点，
∴，
反比例函数经过点和线段的中点，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形推出点的含有的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于的方程，解出即可求出的坐标，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
【详解】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点,如图所示：
点的坐标为，
，
，，
，
，，
，
，，则，
，
点、都在反比例函数上，
，即，
解得，（舍去），
点的坐标为，
．
故答案为：．
12．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．
【答案】/
【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案．
【详解】∵
∴四边形的面积为：，
故答案为：
13．如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题主要查反了比例函数中比例系数的几何意义，正确地作出辅助线成为解题的关键．
如图：过点A作y轴的垂线得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积，进而求得k的值．
【详解】解：如图：过点A作轴，连接，
∵垂直于轴于，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，即，
，，
，
，
∵，
∴．
故答案为：9．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）把代入解析式求值即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，，
∴；
∴；
（2）当时，．
15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
【答案】
【分析】直接利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，正确计算是解题的关键．
16．如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值．
【答案】
【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．
【详解】解：根据题意可知：轴，则轴于B，
∴，
解得：，
又反比例函数的图象位于第一象限，，
则． 故k的值为4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为．
(1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，自变量的取值范围；
(3)连接、，求的面积；
【答案】(1)；
(2)或；
(3)4
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）先求出得到，再根据计算即可得解．
【详解】（1）解：∵轴，垂足为M，，，
∴，
把代入反比例函数，可得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
令，则，
∴，
把，代入一次函数可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或；
（3）解：在中，令，则，即，
∴，
∴．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；
(2)点的坐标为或
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法．
（1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式是，
点在反比例函数的图象上，
，
，
一次函数的图象经过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式是；
（2）解：如图，作轴于，则，
∵，
∴
解得：，
点的坐标为或．
19．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解；
（2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：①将代入 得： ，
解得：；
∴反比例函数的表达式为： ；
∴，即：；
将、代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数与轴交于点，如图所示：
由得；
∴
∴
（2）解：设点，
，则，
解得：；
，则，
解得：或（舍）；
，则，
解得：；
综上所述：点P的坐标为或或
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