人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.2 实际问题与反比例函数
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.2 实际问题与反比例函数 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 9.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-02 21:31:32 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
学习目标
1 运用反比例函数的知识解决实际问题.
2 经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.
3 经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.
老师告诉你
解决实际问题中的反比例函数方法
（1）待定系数法
若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可．
（2）列方程法
若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
一、知识点拨
知识点1 利用反比例函数解决实际问题
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。
②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。
③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。
④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。
⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
【新知导学】
【例1-1】小丽要把一篇文章录入电 ，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字
【例1-2】．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
(1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围．
【对应导练】
1．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
(2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
2．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
知识点2 利用反比例函数解决几何图形问题
利用反比例函数解决几何图形问题：
①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。
②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。
③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。
【新知导学】
【例2-1】．已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】．．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．在面积为定值的一组荾形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为．
(1)设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长．
2．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为．
(1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)若栅栏总长度为122米，求的长；
(3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？
3．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
(1)求与S之间的函数关系式
(2)求的值，并解释它的实际意义
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长
知识点3 利用反比例函数解决物理问题
利用反比例函数解决物理问题：
①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。
②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。
③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。
④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即
【新知导学】
【例3-1】．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ．
【例3-2】．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，杠杆平衡时，阻力×阻力臂动力动力臂，几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为I，动力为F．
(1)求动力F与动力臂I的函数表达式；
(2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？
(3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，求出动力F满足的条件．
【对应导练】
1．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式；
(2)当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻．
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求出这个反比例函数的解析式；
(2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
题型训练
实际问题中的反比例函数
1．小明要把字的调查报告录入电脑．
(1)写出完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式；
(2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多，结果所用录入时间比原计划减少了分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？
2．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：
x （元） 3 4 5 6
y （个） 20 15 12 10
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
几何图形中的反比例函数
3．某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为 ．
4．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围．
物理中的反比例函数
5．小明的奶奶每天都去早市上买菜，原因是早市上的菜便宜，但是买得多了，有时感觉斤两不足，为什么呢？因为有些不法商贩在卖菜时用的是杆秤，他们往往会将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使秤砣减轻，从而欺骗顾客．如图，对于同一物体，用的是标准秤砣的是 ，所用的数学原理是 ．
6．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
(1)写出功率P关于电阻R的函数关系式．
(2)这个用电器功率的范围是多少？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s） 10 20 30 40 50
P（单位：W） 120 60 40 30 24
则功率与做功的时间之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
4．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150 B．200 C．250 D．300
5．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
6．三角形的面积为，则这个三角形的底边长与这边上的高的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为
B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数
C．标准大气压下，该容器的体积约为
D．该容器内氧气的质量为
8．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
小贴士电路总功率，其中是电路电源电压
A．该图象不是反比例函数图象
B．R随E增大而减小
C．当烟雾浓度减小时，示数变大
D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .
10．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
11．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， W．
12．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．
13．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
15．（8分）一辆小汽车从甲地出发前往的乙地．
(1)写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式；
(2)若，直接写出的取值范围____________．
16．（8分）在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，．
(1)试确定与之间的函数表达式；
(2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离．
17．（8分）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地．
(1)甲、乙两地相距多远？
(2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？
(3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？
18．（8分）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
19．（8分）在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）：
… 2 4 6 …
… 4 3 …
(1)__________，__________；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________．
(3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
学习目标
1 运用反比例函数的知识解决实际问题.
2 经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.
3 经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.
老师告诉你
解决实际问题中的反比例函数方法
（1）待定系数法
若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可．
（2）列方程法
若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
一、知识点拨
知识点1 利用反比例函数解决实际问题
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。
②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。
③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。
④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。
⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
【新知导学】
【例1-1】小丽要把一篇文章录入电 ，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字
【答案】D
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断C选项； 求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断D选项．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：，
解得：，
即反比例函数解析式为，
A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意；
B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意；
C、当时，，
当时，，
（分钟），
即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
D、当录入时间时，，
，在第一象限内，随的增大而减小，
即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意；
故选：D．
【例1-2】．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
(1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数在行程问题中的应用：
（1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围；
（2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围．
【详解】（1）解：由题意知，
关于的函数表达式为：，
速度限定为不超过120千米/时，
，
，
；
（2）解：到用时小时，到用时小时，
将代入，得：，
将代入，得：，
汽车行驶速度的范围为．
【对应导练】
1．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
(2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
【答案】(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，理由见解析
(2)平均每天应看50页
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，成比例关系的判定．
（1）根据乘积是定值，表示每天看的页数x与需要的天数y之间的数量关系即可求解；
（2）把代入计算即可．
【详解】（1）解：设每天看页，需要天看完，
∵，
∴（或），与成反比例关系．
即每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系．
（2）解：当时，
（页）．
答：平均每天应看50页．
2．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．
（1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式；
（2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，
，
的函数表达式为，
当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，
，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
知识点2 利用反比例函数解决几何图形问题
利用反比例函数解决几何图形问题：
①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。
②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。
③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。
【新知导学】
【例2-1】．已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，
∴，
∴函数解析式为：，
∴与之间的函数图象大致是：
故选：A．
【例2-2】．．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．
设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为．
【详解】设的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵y轴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F的横坐标为8，
∴，
∴整个冷却塔高度为．
故选：A．
【对应导练】
1．在面积为定值的一组荾形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为．
(1)设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长．
【答案】(1)，这个函数是反比例函数，比例系数为48
(2)它的另一条对角线长
【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数的应用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键：
（1）根据菱形的面积公式，求出菱形的面积，进而求出函数解析式，根据反比例函数的定义进行判断即可；
（2）根据面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：菱形的面积为：，
∴，
∴，
∴，
∴这个函数是反比例函数，比例系数为48；
（2），
答：它的另一条对角线长．
2．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为．
(1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)若栅栏总长度为122米，求的长；
(3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？
【答案】(1)
(2)
(3)花圃至少需要围栏米．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围．
（1）根据长方形面积公式列式求解即可；
（2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可；
（3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为，
∴
∴
∵可利用的最大长度为
∴
∴关于的函数表达式为；
（2）解：∵栅栏总长度为122米
∴
整理得，
解得或120（舍去）
经检验，符合题意
∴；
（3）解：∵使花圃长是宽的倍
∴
∴代入得，
∴
∴或（舍去）
∴
∴
∴花圃至少需要栅栏米．
3．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
(1)求与S之间的函数关系式
(2)求的值，并解释它的实际意义
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长
【答案】(1)
(2)当面条的横截面积为时，面条长度为
(3)这根面条的总长度至少有
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．注意自变量的取值范围．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可；
（3）求出面条的横截面面积为时，面条的长度，利用反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将代入得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：将代入，可得：，
实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为．
（3）解：当面条的横截面面积为时，面条的总长度为：，
∵，
∴y随S的减少而增大，
∴当时，，
∴这根面条的总长度至少有．
知识点3 利用反比例函数解决物理问题
利用反比例函数解决物理问题：
①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。
②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。
③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。
④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即
【新知导学】
【例3-1】．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ．
【答案】不小于
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当时，可判断应满足的条件．解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
∵图象过点，
∴，
∴，
由已知得图象在第一象限内，
∴随的增大而减小，
∴当时，，
∵当气球内的气压时，气球将爆炸，
∴为了安全起见即，气球内气体体积满足的条件是，即不小于．
故答案为：不小于．
【例3-2】．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，杠杆平衡时，阻力×阻力臂动力动力臂，几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为I，动力为F．
(1)求动力F与动力臂I的函数表达式；
(2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？
(3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，求出动力F满足的条件．
【答案】(1)
(2)小明选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析．
（1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可；
（2）将代入函数解析式，求出l的值即可；
（3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可．
【详解】（1）解：阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，
∴
∴；
（2）解：把代入得：
解得：，
∴小明选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头；
（3）解：动力臂为，
∴若想撬动石头，必须使，即．
【对应导练】
1．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式；
(2)当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）把，代入解析式求出对应的R即可．
【详解】（1）解：设电流与电阻之间的函数表达式为，
由图象知，函数图象过点，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当该电动车的工作电流为时，此时的电阻值为．
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______．
【答案】(1)函数的解析式为
(2)气球内的气压是120千帕
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）将代入（1）中的函数式求p即可；
（3）将代入（1）中的函数式求V即可解答．
【详解】（1）解：设这个函数的解析式，则有：，
解得：，
∴这个函数的解析式；
（2）解：当时，千帕，
答：气球内的气压是120千帕．
（3）解：根据题意，当时，为安全范围，
∴，
解得，，
故为了安全起见，气球的体积应不小于．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求出这个反比例函数的解析式；
(2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)24
(3)用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
（1）先由电流J是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式．
（2）根据反比例函数关系式即可求解；
（3）根据题意可得出，解不等式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）解：电流1是电阻R的反比例函数，
设，
∵图象经过，
∴，
解得，
∴，
（2）当时，
则，
∴，
（3）∵，，
∴，
∴，
则用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
题型训练
实际问题中的反比例函数
1．小明要把字的调查报告录入电脑．
(1)写出完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式；
(2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多，结果所用录入时间比原计划减少了分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？
【答案】(1)
(2)个
【分析】（）根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式；
（）设原计划录入文字的速度为字分，则实际录入文字的速度为字分，根据所用录入时间比原计划减少了分钟列出方程求解即可；
本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，根据工作时间得到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）由题意得，，
∴完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式为；
（2）解：设原计划录入文字的速度为字分，则实际录入文字的速度为字分，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的根，符合题意，
∴（字分）．
答：小明实际平均每分钟录入个字．
2．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：
x （元） 3 4 5 6
y （个） 20 15 12 10
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【答案】(1)；
(2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润
【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．
【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为；
（2）∵，
又∵，
∴当，W最大，
故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润．
几何图形中的反比例函数
3．某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．
根据三角形面积公式列式即可．
【详解】解：由题意可得，
∴．
故答案为：．
4．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查反比例函数的性质和概念；
（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值；
（2）由的范围和的性质求出的范围．
【详解】（1）解：（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，
把点代入解析式得，
∴．
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
随的增大而减小，
当时，．
物理中的反比例函数
5．小明的奶奶每天都去早市上买菜，原因是早市上的菜便宜，但是买得多了，有时感觉斤两不足，为什么呢？因为有些不法商贩在卖菜时用的是杆秤，他们往往会将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使秤砣减轻，从而欺骗顾客．如图，对于同一物体，用的是标准秤砣的是 ，所用的数学原理是 ．
【答案】 （2） 杠杆原理
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据称同一物体，物体质量与物体到提纽之间的距离的乘积不变可知秤砣质量乘以秤砣到提纽之间的距离的乘积不变，再结合图形即可得到答案．
【详解】解：称同一物体，物体质量与物体到提纽之间的距离的乘积不变，图①秤砣到提纽之间的距离大，图②秤砣到提纽之间的距离小，因此图②是用与秤配套的秤砣，图①则使用较轻的秤砣；
故答案为：（2）；杠杆原理
6．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
(1)写出功率P关于电阻R的函数关系式．
(2)这个用电器功率的范围是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为；
（2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围．
本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得．
（2）解：将电阻的最小值代入， 得 ．
将电阻的最大值代入， 得．
所以用电器功率的范围是．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果．
【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等，
∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方，
∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润．
故选C．
2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s） 10 20 30 40 50
P（单位：W） 120 60 40 30 24
则功率与做功的时间之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的实际问题，关键是运用待定系数法求函数解析式.
【详解】解：设反比例函数解析式为，
把代入得，
∴，
故选A.
3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解．
【详解】设反比例函数的解析式为，
把点坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，，故C不正确；
当时，，当时，，
图象表明当时，则，故D正确；
故选：D．
4．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150 B．200 C．250 D．300
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
【详解】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故选：B
5．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案．
【详解】解：设，当时，，
解得：，
故与的函数表达式为：，
为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，
，
解得：，
他骑车的速度至少是0.2．
故选：A．
6．三角形的面积为，则这个三角形的底边长与这边上的高的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．根据等量关系“三角形的面积底边底边上的高”即可列出y与x的关系式．
【详解】解：∵三角形的面积底边底边上的高
∴，
∴，
故选C．
7．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为
B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数
C．标准大气压下，该容器的体积约为
D．该容器内氧气的质量为
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可．
【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定，
∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故D正确，不符合题意；
∴，
当时，，故A正确，不符合题意；
当时，，故C不正确，符合题意；
故选C．
8．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
小贴士电路总功率，其中是电路电源电压
A．该图象不是反比例函数图象
B．R随E增大而减小
C．当烟雾浓度减小时，示数变大
D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图像的定义、增减性以及相关物理知识，能够跨学科思维成为解题的关键．
根据反比例函数图像的定义以及增减性可判定A、B，然后结合物理知识可判定C、D．
【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法正确，不符合题意；
B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R两端的电压，根据可知，电压表的示数变大，故本选项说法错误，符合题意；
D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本该选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用以及从函数图像中获取信息．能够从函数图像中获取信息是解题的关键.
观察图像直接获取信息即可求解.
【详解】解：由图像可知，当时，气体的密度为2，
故答案为：2.
10．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案．
【详解】解：设，
把代入中得：，解得
∴，
在中，当时，，当时，，
∴若压强由加压到，则气体体积压缩了，
故答案为：15．
11．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， W．
【答案】16
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得，
，
，
当时，，
即当时，的值为．
故答案为：16．
12．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可．
【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为，
故答案为：．
13．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
【答案】376
【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨．
【详解】解：设甲车每次运吨，
乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，
乙车每次运（吨，丙车每次运吨，
甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，
丁车每次运吨，
，，，都是整数，
是6的倍数，最小为6，
设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次，
甲车共运输了120吨，
，
，
根据题意得：
，
当最小时，取最大值，
时，最大为（吨，
这批建筑材料最多有376吨，
故答案为：376．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为
(2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论．
【详解】（1）依题意，得．
∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
（2）当时，
解得．
∵小华最多能使出的力，
∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
15．（8分）一辆小汽车从甲地出发前往的乙地．
(1)写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式；
(2)若，直接写出的取值范围____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质．
（1）根据题意可得，变形后即可得出平均速度与所用时间的函数解析式；
（2）分别求出当，时的值，再根据反比例函数的性质即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可得：，即，
平均速度与所用时间的函数解析式为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
当时，，
∵在第一象限内随时间的的增大而减小，
∴的取值范围为：，
故答案为：．
16．（8分）在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，．
(1)试确定与之间的函数表达式；
(2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离．
【答案】(1)
(2)当力时，物体在力的方向上移动的距离为
【分析】本题考查的是反比例函数系数等于函数图象上点的横纵坐标的积，比较简单．
（1）设函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）把代入函数关系式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
其函数关系式为，
点是反比例函数图象上的点，
∴．
此函数的解析式为；
（2）解：把代入函数关系式得：，
．
即当力时，物体在力的方向上移动的距离为．
17．（8分）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地．
(1)甲、乙两地相距多远？
(2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？
(3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？
【答案】(1)300千米
(2)从甲地到乙地所需的时间将减小
(3)60千米/小时
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；
（2）根据汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离进行求解即可；
（3）设（v为汽车的速度，t为到达时间），求出当时，v的值即可得到答案．
【详解】（1）解：千米，
答：甲、乙两地相距300千米；
（2）解：∵汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离，
∴当汽车的速度提高时，到达的时间将减小；
（3）解：设（v为汽车的速度，t为到达时间），
当时，，
∵，
∴v随t增大而减小，
∴当这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地时，汽车平均速度应大于等于60千米/小时，
∴汽车平均速度应至少为60千米/小时．
18．（8分）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
【答案】(1)20
(2)分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可；
（2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为．
把代入，得：．
∴．
∴．
当时，，
∴．
（2）解：设一次函数函数的关系式为．
把代入，得：，解得：，
∴，
当在温度下降过程中，，
解得：，
当在温度上升过程中，，
解得：，
∴，
∴一次循环过程中有属于有效制冷时间．
19．（8分）在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）：
… 2 4 6 …
… 4 3 …
(1)__________，__________；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________．
(3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________．
【答案】(1)1，2
(2)①见详解；②不断减小
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
（1）由已知列出方程，即可求解，
（2）①用描点法，画出图象；
②根据表格里函数的图象性质，即可求解，
（3）作函数的图象，根据图象，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
故答案为：1，2，
（2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图1：
②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）解：作函数的图象，如图2，
由函数图象可知，
当或时，，
即当时，的解集为：或，
故答案为：或．
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
学习目标
1 运用反比例函数的知识解决实际问题.
2 经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.
3 经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.
老师告诉你
解决实际问题中的反比例函数方法
（1）待定系数法
若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可．
（2）列方程法
若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
一、知识点拨
知识点1 利用反比例函数解决实际问题
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。
②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。
③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。
④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。
⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
【新知导学】
【例1-1】小丽要把一篇文章录入电 ，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字
【例1-2】．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
(1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围．
【对应导练】
1．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
(2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
2．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
知识点2 利用反比例函数解决几何图形问题
利用反比例函数解决几何图形问题：
①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。
②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。
③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。
【新知导学】
【例2-1】．已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】．．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．在面积为定值的一组荾形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为．
(1)设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长．
2．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为．
(1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)若栅栏总长度为122米，求的长；
(3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？
3．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
(1)求与S之间的函数关系式
(2)求的值，并解释它的实际意义
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长
知识点3 利用反比例函数解决物理问题
利用反比例函数解决物理问题：
①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。
②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。
③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。
④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即
【新知导学】
【例3-1】．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ．
【例3-2】．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，杠杆平衡时，阻力×阻力臂动力动力臂，几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为I，动力为F．
(1)求动力F与动力臂I的函数表达式；
(2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？
(3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，求出动力F满足的条件．
【对应导练】
1．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式；
(2)当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻．
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求出这个反比例函数的解析式；
(2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
题型训练
实际问题中的反比例函数
1．小明要把字的调查报告录入电脑．
(1)写出完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式；
(2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多，结果所用录入时间比原计划减少了分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？
2．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：
x （元） 3 4 5 6
y （个） 20 15 12 10
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
几何图形中的反比例函数
3．某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为 ．
4．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围．
物理中的反比例函数
5．小明的奶奶每天都去早市上买菜，原因是早市上的菜便宜，但是买得多了，有时感觉斤两不足，为什么呢？因为有些不法商贩在卖菜时用的是杆秤，他们往往会将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使秤砣减轻，从而欺骗顾客．如图，对于同一物体，用的是标准秤砣的是 ，所用的数学原理是 ．
6．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
(1)写出功率P关于电阻R的函数关系式．
(2)这个用电器功率的范围是多少？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s） 10 20 30 40 50
P（单位：W） 120 60 40 30 24
则功率与做功的时间之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
4．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150 B．200 C．250 D．300
5．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
6．三角形的面积为，则这个三角形的底边长与这边上的高的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为
B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数
C．标准大气压下，该容器的体积约为
D．该容器内氧气的质量为
8．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
小贴士电路总功率，其中是电路电源电压
A．该图象不是反比例函数图象
B．R随E增大而减小
C．当烟雾浓度减小时，示数变大
D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .
10．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
11．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， W．
12．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．
13．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
15．（8分）一辆小汽车从甲地出发前往的乙地．
(1)写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式；
(2)若，直接写出的取值范围____________．
16．（8分）在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，．
(1)试确定与之间的函数表达式；
(2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离．
17．（8分）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地．
(1)甲、乙两地相距多远？
(2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？
(3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？
18．（8分）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
19．（8分）在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）：
… 2 4 6 …
… 4 3 …
(1)__________，__________；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________．
(3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
学习目标
1 运用反比例函数的知识解决实际问题.
2 经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.
3 经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.
老师告诉你
解决实际问题中的反比例函数方法
（1）待定系数法
若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可．
（2）列方程法
若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
一、知识点拨
知识点1 利用反比例函数解决实际问题
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。
②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。
③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。
④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。
⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
【新知导学】
【例1-1】小丽要把一篇文章录入电 ，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字
【答案】D
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断C选项； 求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断D选项．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：，
解得：，
即反比例函数解析式为，
A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意；
B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意；
C、当时，，
当时，，
（分钟），
即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
D、当录入时间时，，
，在第一象限内，随的增大而减小，
即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意；
故选：D．
【例1-2】．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
(1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数在行程问题中的应用：
（1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围；
（2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围．
【详解】（1）解：由题意知，
关于的函数表达式为：，
速度限定为不超过120千米/时，
，
，
；
（2）解：到用时小时，到用时小时，
将代入，得：，
将代入，得：，
汽车行驶速度的范围为．
【对应导练】
1．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
(2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
【答案】(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，理由见解析
(2)平均每天应看50页
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，成比例关系的判定．
（1）根据乘积是定值，表示每天看的页数x与需要的天数y之间的数量关系即可求解；
（2）把代入计算即可．
【详解】（1）解：设每天看页，需要天看完，
∵，
∴（或），与成反比例关系．
即每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系．
（2）解：当时，
（页）．
答：平均每天应看50页．
2．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．
（1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式；
（2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，
，
的函数表达式为，
当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，
，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
知识点2 利用反比例函数解决几何图形问题
利用反比例函数解决几何图形问题：
①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。
②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。
③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。
【新知导学】
【例2-1】．已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，
∴，
∴函数解析式为：，
∴与之间的函数图象大致是：
故选：A．
【例2-2】．．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．
设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为．
【详解】设的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵y轴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F的横坐标为8，
∴，
∴整个冷却塔高度为．
故选：A．
【对应导练】
1．在面积为定值的一组荾形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为．
(1)设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为，求它的另一条对角线长．
【答案】(1)，这个函数是反比例函数，比例系数为48
(2)它的另一条对角线长
【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数的应用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键：
（1）根据菱形的面积公式，求出菱形的面积，进而求出函数解析式，根据反比例函数的定义进行判断即可；
（2）根据面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：菱形的面积为：，
∴，
∴，
∴，
∴这个函数是反比例函数，比例系数为48；
（2），
答：它的另一条对角线长．
2．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为．
(1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)若栅栏总长度为122米，求的长；
(3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？
【答案】(1)
(2)
(3)花圃至少需要围栏米．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围．
（1）根据长方形面积公式列式求解即可；
（2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可；
（3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为，
∴
∴
∵可利用的最大长度为
∴
∴关于的函数表达式为；
（2）解：∵栅栏总长度为122米
∴
整理得，
解得或120（舍去）
经检验，符合题意
∴；
（3）解：∵使花圃长是宽的倍
∴
∴代入得，
∴
∴或（舍去）
∴
∴
∴花圃至少需要栅栏米．
3．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
(1)求与S之间的函数关系式
(2)求的值，并解释它的实际意义
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长
【答案】(1)
(2)当面条的横截面积为时，面条长度为
(3)这根面条的总长度至少有
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．注意自变量的取值范围．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可；
（3）求出面条的横截面面积为时，面条的长度，利用反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将代入得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：将代入，可得：，
实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为．
（3）解：当面条的横截面面积为时，面条的总长度为：，
∵，
∴y随S的减少而增大，
∴当时，，
∴这根面条的总长度至少有．
知识点3 利用反比例函数解决物理问题
利用反比例函数解决物理问题：
①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。
②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。
③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。
④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即
【新知导学】
【例3-1】．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ．
【答案】不小于
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当时，可判断应满足的条件．解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
∵图象过点，
∴，
∴，
由已知得图象在第一象限内，
∴随的增大而减小，
∴当时，，
∵当气球内的气压时，气球将爆炸，
∴为了安全起见即，气球内气体体积满足的条件是，即不小于．
故答案为：不小于．
【例3-2】．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，杠杆平衡时，阻力×阻力臂动力动力臂，几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为I，动力为F．
(1)求动力F与动力臂I的函数表达式；
(2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？
(3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，求出动力F满足的条件．
【答案】(1)
(2)小明选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析．
（1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可；
（2）将代入函数解析式，求出l的值即可；
（3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可．
【详解】（1）解：阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，
∴
∴；
（2）解：把代入得：
解得：，
∴小明选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头；
（3）解：动力臂为，
∴若想撬动石头，必须使，即．
【对应导练】
1．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式；
(2)当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）把，代入解析式求出对应的R即可．
【详解】（1）解：设电流与电阻之间的函数表达式为，
由图象知，函数图象过点，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当该电动车的工作电流为时，此时的电阻值为．
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______．
【答案】(1)函数的解析式为
(2)气球内的气压是120千帕
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）将代入（1）中的函数式求p即可；
（3）将代入（1）中的函数式求V即可解答．
【详解】（1）解：设这个函数的解析式，则有：，
解得：，
∴这个函数的解析式；
（2）解：当时，千帕，
答：气球内的气压是120千帕．
（3）解：根据题意，当时，为安全范围，
∴，
解得，，
故为了安全起见，气球的体积应不小于．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求出这个反比例函数的解析式；
(2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)24
(3)用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
（1）先由电流J是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式．
（2）根据反比例函数关系式即可求解；
（3）根据题意可得出，解不等式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）解：电流1是电阻R的反比例函数，
设，
∵图象经过，
∴，
解得，
∴，
（2）当时，
则，
∴，
（3）∵，，
∴，
∴，
则用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
题型训练
实际问题中的反比例函数
1．小明要把字的调查报告录入电脑．
(1)写出完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式；
(2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多，结果所用录入时间比原计划减少了分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？
【答案】(1)
(2)个
【分析】（）根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式；
（）设原计划录入文字的速度为字分，则实际录入文字的速度为字分，根据所用录入时间比原计划减少了分钟列出方程求解即可；
本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，根据工作时间得到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）由题意得，，
∴完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式为；
（2）解：设原计划录入文字的速度为字分，则实际录入文字的速度为字分，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的根，符合题意，
∴（字分）．
答：小明实际平均每分钟录入个字．
2．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：
x （元） 3 4 5 6
y （个） 20 15 12 10
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【答案】(1)；
(2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润
【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．
【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为；
（2）∵，
又∵，
∴当，W最大，
故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润．
几何图形中的反比例函数
3．某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．
根据三角形面积公式列式即可．
【详解】解：由题意可得，
∴．
故答案为：．
4．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查反比例函数的性质和概念；
（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值；
（2）由的范围和的性质求出的范围．
【详解】（1）解：（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，
把点代入解析式得，
∴．
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
随的增大而减小，
当时，．
物理中的反比例函数
5．小明的奶奶每天都去早市上买菜，原因是早市上的菜便宜，但是买得多了，有时感觉斤两不足，为什么呢？因为有些不法商贩在卖菜时用的是杆秤，他们往往会将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使秤砣减轻，从而欺骗顾客．如图，对于同一物体，用的是标准秤砣的是 ，所用的数学原理是 ．
【答案】 （2） 杠杆原理
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据称同一物体，物体质量与物体到提纽之间的距离的乘积不变可知秤砣质量乘以秤砣到提纽之间的距离的乘积不变，再结合图形即可得到答案．
【详解】解：称同一物体，物体质量与物体到提纽之间的距离的乘积不变，图①秤砣到提纽之间的距离大，图②秤砣到提纽之间的距离小，因此图②是用与秤配套的秤砣，图①则使用较轻的秤砣；
故答案为：（2）；杠杆原理
6．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
(1)写出功率P关于电阻R的函数关系式．
(2)这个用电器功率的范围是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为；
（2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围．
本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得．
（2）解：将电阻的最小值代入， 得 ．
将电阻的最大值代入， 得．
所以用电器功率的范围是．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果．
【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等，
∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方，
∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润．
故选C．
2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s） 10 20 30 40 50
P（单位：W） 120 60 40 30 24
则功率与做功的时间之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的实际问题，关键是运用待定系数法求函数解析式.
【详解】解：设反比例函数解析式为，
把代入得，
∴，
故选A.
3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解．
【详解】设反比例函数的解析式为，
把点坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，，故C不正确；
当时，，当时，，
图象表明当时，则，故D正确；
故选：D．
4．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150 B．200 C．250 D．300
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
【详解】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故选：B
5．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案．
【详解】解：设，当时，，
解得：，
故与的函数表达式为：，
为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，
，
解得：，
他骑车的速度至少是0.2．
故选：A．
6．三角形的面积为，则这个三角形的底边长与这边上的高的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．根据等量关系“三角形的面积底边底边上的高”即可列出y与x的关系式．
【详解】解：∵三角形的面积底边底边上的高
∴，
∴，
故选C．
7．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为
B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数
C．标准大气压下，该容器的体积约为
D．该容器内氧气的质量为
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可．
【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定，
∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故D正确，不符合题意；
∴，
当时，，故A正确，不符合题意；
当时，，故C不正确，符合题意；
故选C．
8．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
小贴士电路总功率，其中是电路电源电压
A．该图象不是反比例函数图象
B．R随E增大而减小
C．当烟雾浓度减小时，示数变大
D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图像的定义、增减性以及相关物理知识，能够跨学科思维成为解题的关键．
根据反比例函数图像的定义以及增减性可判定A、B，然后结合物理知识可判定C、D．
【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法正确，不符合题意；
B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R两端的电压，根据可知，电压表的示数变大，故本选项说法错误，符合题意；
D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本该选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用以及从函数图像中获取信息．能够从函数图像中获取信息是解题的关键.
观察图像直接获取信息即可求解.
【详解】解：由图像可知，当时，气体的密度为2，
故答案为：2.
10．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案．
【详解】解：设，
把代入中得：，解得
∴，
在中，当时，，当时，，
∴若压强由加压到，则气体体积压缩了，
故答案为：15．
11．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， W．
【答案】16
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得，
，
，
当时，，
即当时，的值为．
故答案为：16．
12．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可．
【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为，
故答案为：．
13．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
【答案】376
【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨．
【详解】解：设甲车每次运吨，
乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，
乙车每次运（吨，丙车每次运吨，
甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，
丁车每次运吨，
，，，都是整数，
是6的倍数，最小为6，
设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次，
甲车共运输了120吨，
，
，
根据题意得：
，
当最小时，取最大值，
时，最大为（吨，
这批建筑材料最多有376吨，
故答案为：376．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为
(2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论．
【详解】（1）依题意，得．
∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
（2）当时，
解得．
∵小华最多能使出的力，
∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
15．（8分）一辆小汽车从甲地出发前往的乙地．
(1)写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式；
(2)若，直接写出的取值范围____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质．
（1）根据题意可得，变形后即可得出平均速度与所用时间的函数解析式；
（2）分别求出当，时的值，再根据反比例函数的性质即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可得：，即，
平均速度与所用时间的函数解析式为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
当时，，
∵在第一象限内随时间的的增大而减小，
∴的取值范围为：，
故答案为：．
16．（8分）在对某物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，且当时，．
(1)试确定与之间的函数表达式；
(2)求当力时，物体在力的方向上移动的距离．
【答案】(1)
(2)当力时，物体在力的方向上移动的距离为
【分析】本题考查的是反比例函数系数等于函数图象上点的横纵坐标的积，比较简单．
（1）设函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）把代入函数关系式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
其函数关系式为，
点是反比例函数图象上的点，
∴．
此函数的解析式为；
（2）解：把代入函数关系式得：，
．
即当力时，物体在力的方向上移动的距离为．
17．（8分）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地．
(1)甲、乙两地相距多远？
(2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？
(3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？
【答案】(1)300千米
(2)从甲地到乙地所需的时间将减小
(3)60千米/小时
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；
（2）根据汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离进行求解即可；
（3）设（v为汽车的速度，t为到达时间），求出当时，v的值即可得到答案．
【详解】（1）解：千米，
答：甲、乙两地相距300千米；
（2）解：∵汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离，
∴当汽车的速度提高时，到达的时间将减小；
（3）解：设（v为汽车的速度，t为到达时间），
当时，，
∵，
∴v随t增大而减小，
∴当这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地时，汽车平均速度应大于等于60千米/小时，
∴汽车平均速度应至少为60千米/小时．
18．（8分）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
【答案】(1)20
(2)分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可；
（2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为．
把代入，得：．
∴．
∴．
当时，，
∴．
（2）解：设一次函数函数的关系式为．
把代入，得：，解得：，
∴，
当在温度下降过程中，，
解得：，
当在温度上升过程中，，
解得：，
∴，
∴一次循环过程中有属于有效制冷时间．
19．（8分）在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）：
… 2 4 6 …
… 4 3 …
(1)__________，__________；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________．
(3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________．
【答案】(1)1，2
(2)①见详解；②不断减小
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
（1）由已知列出方程，即可求解，
（2）①用描点法，画出图象；
②根据表格里函数的图象性质，即可求解，
（3）作函数的图象，根据图象，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
故答案为：1，2，
（2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图1：
②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）解：作函数的图象，如图2，
由函数图象可知，
当或时，，
即当时，的解集为：或，
故答案为：或．
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