第二十一章一元二次方程典例精讲与强化训练（含解析）

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第二十一章一元二次方程典例精讲与强化训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
5．明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根是：
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
7．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知一元二次方程的解为，，且，、均为负整数，求的值为 ．
10．关于x的方程（a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是 ．
11．设，，且，则 ．
12．观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“”个数差为375时，n的值为 ．
13．若实数、，满足，，且，则的值为 ．
14．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分．
15．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为 ．
16．对于实数a、b，定义运算：①②
例如 ①依此定义方程的解为 ．
三、解答题
17．（1）解方程：；
（2）解方程：．
18．某种计算机(中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了1600元，已知每次降价的百分率相同
(1)求每次降价的百分率
(2)若9月继续保持相同的百分率降价，则这款在9月的售价为多少元
19．关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程
(1)已知： 是该方程的一个根，求m的值；
(2)当时，该方程的两个根是等腰的两边长，求该三角形的面积．
21．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地年种植“阳光玫瑰”亩，到年“阳光玫瑰”的种植面积达到亩．
(1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率；
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利元，则售价应降低多少元
22．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求m与n的关系；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明，
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A D D A B
1．B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选A．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此利用判别式求出k的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，根据题意建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，由题意，得，
解得：（舍去），，
故选A．
5．D
【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题．
【详解】解：将代入方程得，
解得，
所以a的正确值为，
则原方程为，
所以，
所以原方程有两个不相等的实数根.
故选：D.
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．
由题意知，，则，根据，然后代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是，
∴，则，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意可得，，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设2021年到2023年的年平均增长率为x，根据2021年及2023年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设2021年到2023年的年平均增长率为x，
根据题意得：，
故选：B．
9．
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程的解为，，
∴，，，
，
∴，
，
整理得，
，
，
、均为负整数，
，
，，
值为．
故答案为：-4
10．/
【分析】本题主要考查解一元一次方程、绝对值，根据绝对值的定义，进行分类讨论，再分别解一元一次方程．熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法、分类讨论的思想是解决本题的关键．
【详解】解：当，即，则．
．
此时，则．
当，即，则．
．
此时，则．
综上：．
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是正确变形．
首先由得到，由得到，，然后求出，，然后代入求解即可．
【详解】因为，
所以，即，
又，
所以可设为方程的两根，
则，，
可得，，
所以．
故答案为：．
12．30
【分析】本题考查了图形的变化类规律型和因式分解法解一元二次方程，设第个图形中“○”的个数为个，“”的个数为个，根据图形中“○”和“”个数的变化，可找出变化规律：；，令即可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【详解】解∶设第个图形中“○”的个数为个，“”的个数为个，
观察图形，可知∶，
解得可（舍）．
故答案为∶30．
13．
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键．
由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题．
【详解】解：若实数、，满足，
和是一元二次方程，即的两根，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
14．2或4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可．
【详解】解：设运动时间为，则，，
∵，，
∴cm，
∵线段将分成面积的两部分，
∴或，
∴，或，
整理得：或（无实数解），
解得，，
即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
15．5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积：，由此列出方程并求得的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的材料长为，则平行于墙的材料长为，
根据题意，得．
解得：，
故答案为：5．
16．
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0．
【详解】解：由题意得，，
，
，
解得：或，
当时，，不符合题意，
∴原方程的解为：，
故答案为：．
17．（1）；（2），．
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．
（1）根据配方法解方程即可；
（2）根据因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1），
移项得，
配方得，即，
∴，
∴；
（2），
整理得，
，
∴或，
∴，．
18．(1)20%
(2)1280元
【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出答案；
（2）根据该种品牌手机9月份的售价=该种品牌手机8月份的售价下降率），即可求解.
此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）；
故每次下降的百分率为
（2）解：（元）；
故若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元二次方程：
（1）求出方程的判别式，再根据一元二次方程的根与判别式的关系即可做出判断；
（2）将代入原方程中可求得m值，再将m值代入原方程，解一元二次方程即可求得方程的另一个根．
【详解】（1）证明：
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入中，得，
解得，
原方程为：，
即，
解得，，
方程的另一个根为．
20．(1)0或
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理，掌握相关定义语定理是解题的关键．
（1）将代入方程算出即可；
（2）根据求出方程的两个根，之后进一步确定等腰三角形的腰以及底边，根据勾股定理得到底边上的高，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：是该方程的一个根，
，
解得或者；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
该等腰三角形的腰为，底边长为，
底边上的高线为，
该等腰三角形的面积为．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，根据该基地年及年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍）
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为．
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：或
要尽量减少库存，
答：售价应降低元．
22．(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键．
（1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值；
（2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系；
（3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案．
【详解】（1）解：设方程的两个根为，，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵方程的一个根为2，
则另一个根为1或4，
当另一个根为1时，则，
∴，即：，
当另一个根为4时，则，
∴，即：；
（3）解：设与是方程的解，
，，
消去得：．
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