山东省泰安市泰安第一中学2025届高三上学期11月月考数学试题（含答案）

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泰安一中新校区2025届高三上学期期中模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
2. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
3. 已知奇函数，则（）
A. B. 0 C. 1 D.
4. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（）
A. B. C. D.
5. 已知，都是锐角，，，求（）
A. B. C. D.
6. 函数的零点个数为（）
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
7. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（）
A. B. 方程有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设正实数满足，则（）
A. 最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10. 已知函数图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C. 当时，函数值域为
D. 函数有三个零点
11. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（）
A
B.
C. 若，则
D. 若数列单调递增，则取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______．
13. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________.
14. 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）证明：
（2）若，，求的周长.
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
17. 已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.
（1）求出的通项公式；
（2）设，数列前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围.
18. 已知函数，其中是实数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若函数不具有单调性，求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求的最小值.
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知.求m的值；
泰安一中新校区2025届高三上学期期中模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
【答案】BD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ABC
【解析】
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
13.
【答案】
14.．
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证；
（2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得，从而求得，由此得解.
【小问1详解】
已知，
可化为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
整理得.
小问2详解】
当，时，，
，
所以，解得，
所以的周长为
16.
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.
【小问1详解】
.
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
【小问2详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则， .
由，得，又，
所以，则，
故
.
故的值为.
17.
【解析】
【分析】（1）由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式.
（2）由得，利用错位相减法求出，不等式可转化为，利用的单调性求出最小值即可.
【小问1详解】
∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴，
∴当时，，
即，∴，∴.
又也满足上式，∴数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1），可得，
∴①，
②，
由①-②，得，
∴，
∴不等式可化为，
即对任意的恒成立，
令且为递增数列，即转化为.
又，所以，
综上，λ的取值范围是.
18.
【解析】
【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；
（2）由题意在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可；
（3）易知当时，，再证能成立，即证：存在，使得恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在单调递增，单调递减；
【小问2详解】
函数的图象是连续的，且不具有单调性，
在定义域内有正有负（有异号零点），
记，则在为负，为正，
在单调递减，单调递增，
故存在，使得，
只需，即.
【小问3详解】
对任意都成立，当时，，
下证：能成立，即证：存在，使得恒成立，
记，故（必要性），
而，则，解得，
只需证：恒成立，
，由（2）知，其在单调递减，单调递增，
在为正，在为负，在为负，
在单调递增，单调递减，，得证；
综上，的最小值为0.
19.
【解析】
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
以内质数为，
，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
和5为两个质数“理想数”；
【小问2详解】
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18．
【小问3详解】
显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有奇数"理想数"的倒数为，
，即．
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