广东省深圳市深圳中学龙岗 （集团 ）兰著学校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·深圳开学考）2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·深圳开学考）若分式 有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·深圳开学考）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·深圳开学考）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·深圳开学考）下列表格的对应值判断方程 (，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x
A． B．
C． D．
6．（2024九上·深圳开学考）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形．如图所示，已知，车长约为米，宽约为米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
8．（2024九上·深圳开学考）又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下：
首重 续重
元千克 元千克
说明：单件包裹重量不超过千克； 运费计算方式：首重运费续重续重运费， 首重为千克，超过千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足千克按千克计算）
例如：寄出的包裹为千克，则总运费为元．
若张华想要寄千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（ ）元．
A． B． C． D．
9．（2024九上·深圳开学考）因式分解： ．
10．（2024九上·深圳开学考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范围是 ．
11．（2024九上·深圳开学考）若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
12．（2024九上·深圳开学考）如图，，，连接；若 ，则 的面积为 ．
13．（2024九上·深圳开学考）如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为 ．
14．（2024九上·深圳开学考）先化简，再求值：，其中．
15．（2024九上·深圳开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
16．（2024九上·深圳开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上．
（1）可以看作是由经过怎样的变换得到，写出变换过程；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）在（）的条件下，直接写出的长度．
17．（2024九上·深圳开学考）根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材三 该书店准备用不超过1680元购进A，B两种图书共100本，且A种图书不少于70本．经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务二 如何获得最大利润书店应怎样进货才能获得最大利润？并求出最大利润．
18．（2024九上·深圳开学考）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题：
①求证：四边形为菱形；
②若，，，求菱形的边长和对角线的长．
19．（2024九上·深圳开学考）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
【举例】方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
【问题】
（1）方程是否是不等式组的“关联方程”？请通过计算进行说明；
（2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，请直接写出m的取值范围．
20．（2024九上·深圳开学考）【课本回顾】
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）【定理证明】 已知：如图，是的中位线． 求证：，．
关于三角形中位线定理的证明，数学兴趣小组给出如下两种证明思路：
思路一 思路二
如图1，过点C作交延长于点F 如图2，分别过点A、B、C作直线的垂线，垂足分别为M、H、N
图形表达
在上述两种思路中，请选择其中一种，并完成具体解题过程：
（2）【类比探究】
如图3，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接交于F，G为边的中点，连接．求证：是的中位线；
（3）【拓展提升】
①如图4，在（2）的条件下，以为边向下作等边，M、N分别是等边、等边的中点，连接．请问是否是定值？若是，直接写出这个定值：若不是，请说明理由：
②如图5，在（2）的条件下，取中点T，连接，若，请直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解．
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和为
∴每一个外角为
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了正多边形的外角，根据多边形的外角和为，进而求出正六边形的每一个外角，即可求得的度数．
4．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
5．【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：，，，，
时，存在某个x的值，使得，
即方程 (，a，b，c为常数）的一个解的范围是．
故答案为：C．
【分析】利用表格找出ax2+bx+c的值与0最接近的两个x的值，则可判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∵为直角三角形，且，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题考查了平行四边形、矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据题意得出，进而即可求解．
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥OB，E为OB中点，
∴AE垂直平分OB，
∴AB =AO，
∴OA=AB=OB =4，
∴BD=2OB=8=AC.
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=4，得出BD=2OB=8，即可.
8．【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：张华想要寄7.5千克的荔枝回老家，根据表中给出的运费计算方式应当分5千克和2.5千克，
则总运费为（元），
故答案为：C．
【分析】由于单件包裹重量不超过5千克，故张华想要寄7.5千克的荔枝回老家应当分5千克的包裹和2.5千克的包裹两个单件，然后根据运费计算方式分别计算两个包裹的运费，再求和即可.
9．【答案】（x+2y）（x-2y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：（x+2y）（x-2y）．
【分析】利用平方差公式分解因式即可。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，得到关于k的不等式：，解此不等式即可．
11．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：原式去分母得：，
关于x的方程有增根，
，即，
代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】将分式方程两边同乘以将分式方程转化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，即，然后将其代入整式方程计算即可求出m的值．
12．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作于E，作交的延长线于F，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，的高即为，
∴.
故答案为：4．
【分析】作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，然后利用"AAS"证明，则，的高即为，进而根据三角形面积计算公式代入值计算即可求解．
13．【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点G
∵四边形是菱形，
∴，且平分，EF=2EG，
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴和共线，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接AC，BD，根据正方形及菱形的对角线都互相垂直平分及过两点确定一条直线可推出AC与EF共线，然后求出由正方形的性质易得△ADG是等腰直角三角形，从而由∠DAG的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出DG的长，再在Rt△DEG中，利用勾股定理算出EG的长，从而即可得出EF的长.
14．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
15．【答案】（1）解：（1）
（2）
（3）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先方程两边同时除以2，再直接开平方法，即可作答．
（2）先移项再提公因式，然后令每个因式为0，即可作答．
（3）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，即可作答．
（1）解：
（2）解：
（3）
∴
16．【答案】（1）解：根据图中可知：△A1B1C1可以看作是由△ABC先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度（或先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度）；
（2）解：如图，△A2B2C2即是所求的图形；
（3）解：AA2=．
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）如图，
∴．
【分析】（1）根据图形的位置及方格纸的特点可得变换过程；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出A、B、C三点绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）由网格特点和勾股定理即可求解.
17．【答案】解：任务一：设B种图书的标价为元，则A种图书的标价为，
根据题意则有：，
整理得：，
解得：，
径检验为该方程的解，
种图书的标价为元，B种图书的标价为元；
任务二：由题可得：调整后A种图书标价为元，
设购进A种图书本，则购进B种图书本，
，
解得：，
购进A种图书不少于70本，
，
由题可知：利润
，
，
利润随的增大而减小，
当时，有最大利润元，
此时的进货方案为：购进A种图书本，购进B种图书本．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设B种图书的标价为元，则A种图书的标价为，根据题意" 顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本 "，据此列出分式方程：，解此方程即可求解；
任务二：设购进A种图书本，则购进B种图书本，根据题意列出不等式：，即可求得的取值范围，再列出关于利润的表达式，根据表达式的增减性确定的取值，即可求解．
18．【答案】（1）解：如图，分别以A、C两点为圆心，大于AC的一半长为半径画弧，两弧交于两点连接，确定出对角线AC的垂直平分线.
所作点E、F如图所示.
（2）解：连接，，
①证明：记交于点，
四边形是平行四边形．
，
，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
②作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
，
，
解得，
菱形的面积，
，
解得，
综上所述，菱形边长为，的长为
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线EF交AD于E，交BC于点F即可；
(2)①如图：连接AF，CE，证△AOE≌△COF，从而得出四边形AFCE是平行四边形，再由于AE=CE，进而得出结论；
②作AG⊥CB的延长线于点G，设CF=x，则AF=CF=x，根据直三角形的性质和菱形的性质求出CF，再用面积法求出EF，即可解答.
（1）解：所作点E、F如图所示：
（2）解：连接，，
①证明：记交于点，
四边形是平行四边形．
，
，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
②作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
，
，
解得，
菱形的面积，
，
解得，
综上所述，菱形边长为，的长为．
19．【答案】解：（1）是，计算过程如下：
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
∵在
方程是不等式组的“关联方程”；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
，
解得：，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得：；
（3）关于的方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组有4个整数解，
整数的值为1，2，3，4，
，
，
关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
，
解得：．
的取值范围是
【知识点】解一元一次不等式组；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出，即可得出．
20．【答案】解：（1）（1）思路一：如图1，过点C作交延长于点F，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）如图所示，过点B作分别交于T、H，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点F为的中点，
又∵点G为的中点，
∴是的中位线；
（3）①是定值，且；②
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）①是定值，且，
理由如下：
如图所示，连接，
∵M、N分别是等边三和等边的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
②如图所示，过点B作分别交于Q、H，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵T是的中点，
∴是的中位线，
∴；
设，则，
如图所示，过点H作于S，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【分析】（1）思路一：证明得到，再证明四边形是平行四边形，得到，，据此可证明，；
（2）过点B作分别交于T、H，由旋转的性质可得，证明，得到，则，再证明，得到，即点F为的中点，即可证明是的中位线；
（3）①如图所示，连接，证明，再证明，即可证明，则
②如图所示，过点B作分别交于Q、H，由旋转的性质可得，证明，得到，，则，再证明，得到，则是的中位线，可得；设，则，过点H作于S，可得，由勾股定理得到，再求出，则，则，可得的最小值为．
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1．（2024九上·深圳开学考）2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（2024九上·深圳开学考）若分式 有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解．
3．（2024九上·深圳开学考）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和为
∴每一个外角为
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了正多边形的外角，根据多边形的外角和为，进而求出正六边形的每一个外角，即可求得的度数．
4．（2024九上·深圳开学考）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
5．（2024九上·深圳开学考）下列表格的对应值判断方程 (，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：，，，，
时，存在某个x的值，使得，
即方程 (，a，b，c为常数）的一个解的范围是．
故答案为：C．
【分析】利用表格找出ax2+bx+c的值与0最接近的两个x的值，则可判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.
6．（2024九上·深圳开学考）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形．如图所示，已知，车长约为米，宽约为米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∵为直角三角形，且，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题考查了平行四边形、矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据题意得出，进而即可求解．
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥OB，E为OB中点，
∴AE垂直平分OB，
∴AB =AO，
∴OA=AB=OB =4，
∴BD=2OB=8=AC.
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=4，得出BD=2OB=8，即可.
8．（2024九上·深圳开学考）又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下：
首重 续重
元千克 元千克
说明：单件包裹重量不超过千克； 运费计算方式：首重运费续重续重运费， 首重为千克，超过千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足千克按千克计算）
例如：寄出的包裹为千克，则总运费为元．
若张华想要寄千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：张华想要寄7.5千克的荔枝回老家，根据表中给出的运费计算方式应当分5千克和2.5千克，
则总运费为（元），
故答案为：C．
【分析】由于单件包裹重量不超过5千克，故张华想要寄7.5千克的荔枝回老家应当分5千克的包裹和2.5千克的包裹两个单件，然后根据运费计算方式分别计算两个包裹的运费，再求和即可.
9．（2024九上·深圳开学考）因式分解： ．
【答案】（x+2y）（x-2y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：（x+2y）（x-2y）．
【分析】利用平方差公式分解因式即可。
10．（2024九上·深圳开学考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，得到关于k的不等式：，解此不等式即可．
11．（2024九上·深圳开学考）若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：原式去分母得：，
关于x的方程有增根，
，即，
代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】将分式方程两边同乘以将分式方程转化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，即，然后将其代入整式方程计算即可求出m的值．
12．（2024九上·深圳开学考）如图，，，连接；若 ，则 的面积为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作于E，作交的延长线于F，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，的高即为，
∴.
故答案为：4．
【分析】作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，然后利用"AAS"证明，则，的高即为，进而根据三角形面积计算公式代入值计算即可求解．
13．（2024九上·深圳开学考）如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点G
∵四边形是菱形，
∴，且平分，EF=2EG，
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴和共线，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接AC，BD，根据正方形及菱形的对角线都互相垂直平分及过两点确定一条直线可推出AC与EF共线，然后求出由正方形的性质易得△ADG是等腰直角三角形，从而由∠DAG的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出DG的长，再在Rt△DEG中，利用勾股定理算出EG的长，从而即可得出EF的长.
14．（2024九上·深圳开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
15．（2024九上·深圳开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：（1）
（2）
（3）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先方程两边同时除以2，再直接开平方法，即可作答．
（2）先移项再提公因式，然后令每个因式为0，即可作答．
（3）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，即可作答．
（1）解：
（2）解：
（3）
∴
16．（2024九上·深圳开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上．
（1）可以看作是由经过怎样的变换得到，写出变换过程；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）在（）的条件下，直接写出的长度．
【答案】（1）解：根据图中可知：△A1B1C1可以看作是由△ABC先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度（或先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度）；
（2）解：如图，△A2B2C2即是所求的图形；
（3）解：AA2=．
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）如图，
∴．
【分析】（1）根据图形的位置及方格纸的特点可得变换过程；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出A、B、C三点绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）由网格特点和勾股定理即可求解.
17．（2024九上·深圳开学考）根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材三 该书店准备用不超过1680元购进A，B两种图书共100本，且A种图书不少于70本．经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务二 如何获得最大利润书店应怎样进货才能获得最大利润？并求出最大利润．
【答案】解：任务一：设B种图书的标价为元，则A种图书的标价为，
根据题意则有：，
整理得：，
解得：，
径检验为该方程的解，
种图书的标价为元，B种图书的标价为元；
任务二：由题可得：调整后A种图书标价为元，
设购进A种图书本，则购进B种图书本，
，
解得：，
购进A种图书不少于70本，
，
由题可知：利润
，
，
利润随的增大而减小，
当时，有最大利润元，
此时的进货方案为：购进A种图书本，购进B种图书本．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设B种图书的标价为元，则A种图书的标价为，根据题意" 顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本 "，据此列出分式方程：，解此方程即可求解；
任务二：设购进A种图书本，则购进B种图书本，根据题意列出不等式：，即可求得的取值范围，再列出关于利润的表达式，根据表达式的增减性确定的取值，即可求解．
18．（2024九上·深圳开学考）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题：
①求证：四边形为菱形；
②若，，，求菱形的边长和对角线的长．
【答案】（1）解：如图，分别以A、C两点为圆心，大于AC的一半长为半径画弧，两弧交于两点连接，确定出对角线AC的垂直平分线.
所作点E、F如图所示.
（2）解：连接，，
①证明：记交于点，
四边形是平行四边形．
，
，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
②作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
，
，
解得，
菱形的面积，
，
解得，
综上所述，菱形边长为，的长为
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线EF交AD于E，交BC于点F即可；
(2)①如图：连接AF，CE，证△AOE≌△COF，从而得出四边形AFCE是平行四边形，再由于AE=CE，进而得出结论；
②作AG⊥CB的延长线于点G，设CF=x，则AF=CF=x，根据直三角形的性质和菱形的性质求出CF，再用面积法求出EF，即可解答.
（1）解：所作点E、F如图所示：
（2）解：连接，，
①证明：记交于点，
四边形是平行四边形．
，
，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
②作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
，
，
解得，
菱形的面积，
，
解得，
综上所述，菱形边长为，的长为．
19．（2024九上·深圳开学考）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
【举例】方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
【问题】
（1）方程是否是不等式组的“关联方程”？请通过计算进行说明；
（2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，请直接写出m的取值范围．
【答案】解：（1）是，计算过程如下：
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
∵在
方程是不等式组的“关联方程”；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
，
解得：，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得：；
（3）关于的方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组有4个整数解，
整数的值为1，2，3，4，
，
，
关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
，
解得：．
的取值范围是
【知识点】解一元一次不等式组；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出，即可得出．
20．（2024九上·深圳开学考）【课本回顾】
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）【定理证明】 已知：如图，是的中位线． 求证：，．
关于三角形中位线定理的证明，数学兴趣小组给出如下两种证明思路：
思路一 思路二
如图1，过点C作交延长于点F 如图2，分别过点A、B、C作直线的垂线，垂足分别为M、H、N
图形表达
在上述两种思路中，请选择其中一种，并完成具体解题过程：
（2）【类比探究】
如图3，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接交于F，G为边的中点，连接．求证：是的中位线；
（3）【拓展提升】
①如图4，在（2）的条件下，以为边向下作等边，M、N分别是等边、等边的中点，连接．请问是否是定值？若是，直接写出这个定值：若不是，请说明理由：
②如图5，在（2）的条件下，取中点T，连接，若，请直接写出的最小值．
【答案】解：（1）（1）思路一：如图1，过点C作交延长于点F，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）如图所示，过点B作分别交于T、H，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点F为的中点，
又∵点G为的中点，
∴是的中位线；
（3）①是定值，且；②
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）①是定值，且，
理由如下：
如图所示，连接，
∵M、N分别是等边三和等边的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
②如图所示，过点B作分别交于Q、H，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵T是的中点，
∴是的中位线，
∴；
设，则，
如图所示，过点H作于S，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【分析】（1）思路一：证明得到，再证明四边形是平行四边形，得到，，据此可证明，；
（2）过点B作分别交于T、H，由旋转的性质可得，证明，得到，则，再证明，得到，即点F为的中点，即可证明是的中位线；
（3）①如图所示，连接，证明，再证明，即可证明，则
②如图所示，过点B作分别交于Q、H，由旋转的性质可得，证明，得到，，则，再证明，得到，则是的中位线，可得；设，则，过点H作于S，可得，由勾股定理得到，再求出，则，则，可得的最小值为．
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