广西南宁市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题
1．（2024九上·南宁开学考）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：3的相反数是-3，
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可直接得出答案.
2．（2024九上·南宁开学考）在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，此项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，则此项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，则此项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”并结合各选项即可判断求解．
3．（2024九上·南宁开学考）年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得成功据报道，长征二号遥十八运载火箭的起飞质量大约是将数据用科学记数法表示，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．（2024九上·南宁开学考）如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线，下列结论中：①，②，③当时.正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b> 0
∴ab >0；故①正确；
②观察图象知：当x=1时y=a+b+c>0，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于(0，0)，
∴另一个交点为(-2，0)，
∴当-2 故答案为：D.
【分析】①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab>0；故①正确；
②由x=1时，得到y=a+b+c>0；故②正确；
③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可.
5．（2024九上·南宁开学考）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x-7=0，
移项得x2-6x=7，
配方得x2-6x+9=7+9，即（x-3）2=16.
故答案为：A.
【分析】首先移项，将常数项移到方程的右边，然后配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
6．（2024九上·南宁开学考）在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是，那么身高更整齐的是_______队（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．无法判定
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于，则甲队中身高更整齐，
∴两队中身高更整齐的是甲队.
故答案为：A.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙的方差可作出判断.
7．（2024九上·南宁开学考）下列运算正确的是（ ）
A．4ab÷2a=2ab B．（3x2）3=9x6
C．a3 a4=a7 D．÷=2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的乘除法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=2b，错误；
B、原式=27x6，错误；
C、原式=a7，正确；
D、原式=
，错误，
故选C
【分析】A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
8．（2024九上·南宁开学考）如图，在中，，BD平分，交AC于点D，且，，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
∵BD平分，
∴点D到BC距离.
故答案为：A.
【分析】在Rt ABD中，用勾股定理求得AD的长，然后根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边距离相等”可得点D到BC距离=AD即可求解.
9．（2024九上·南宁开学考）已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m 1)x2+4x+1=0有实数根，
∴
解得： 且 ，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
10．（2024九上·南宁开学考）已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=–3，则以x1、x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2–4x–3=0 B．x2+4x–3=0 C．x2–4x+3=0 D．x2+4x+3=0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1+x2=4，x1x2=–3，∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2–4x–3=0．
故答案为：A．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
11．（2024九上·南宁开学考）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】由题意可得： 二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)2万个，然后结合三月份的口罩产量是50万个就可列出方程.
12．（2024九上·南宁开学考）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的判定；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AC=6，
∴，
∵的周长是平行四边形周长的一半，
∴的周长，
平行四边形ABCD的周长=AD+CD+AB+BC=2(AD+CD)，
∴CD+CE+DE=AD+CD，
∴，
∵，
∴，
∴是线段的中垂线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质可以得出OA=OC，再依据的周长是平行四边形周长的一半，可得，进而推出，最后利用勾股定理即可求解．
13．（2024九上·南宁开学考）计算：= ．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴=3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
14．（2024九上·南宁开学考）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（-1，-3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线顶点式的顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3）
故答案为（-1，-3）．
【分析】根据抛物线顶点式的顶点为，求解即可。
15．（2024九上·南宁开学考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，y1与y2交点的横坐标分别是﹣2和1，则当y2＞y1时，x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵y2>y1，
∴一次函数的图象在抛物线的上方，
由图象可知，当-2∴当-2y1，
故答案为：.
【分析】根据图象找出一次函数图象在抛物线图象上方的部分对应的x的范围即可得出答案.
16．（2024九上·南宁开学考）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
17．（2024九上·南宁开学考）如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为 ．
【答案】24
【知识点】因式分解法解一元二次方程；用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的递变规律
18．（2024九上·南宁开学考）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵P、Q同时出发后经过的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2，
∴，
∵AB=12，BC=24，
∴0<2x<12，0<4x<24，
∴0故自变量x的取值范围是0故答案为：．
【分析】根据图形可得四边形APQC的面积=S△ABC-S△PBQ，根据P、Q同时出发后经过的时间为xs，即可表示出四边形APQC的面积；根据AB、BC为12、24，动点P、Q的速度为2、4即可得到0<2x<12，0<4x<24；接下来利用不等式的性质对0<2x<12，0<4x<24变形，即可求得自变量x的取值范围.
19．（2024九上·南宁开学考）计算：；
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
20．（2024九上·南宁开学考）解方程：．
【答案】解：∵，
∴移项得：，
配方得：，
∴，
两边开平方得：，
∴原方程的解为：，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解一元二次方程的配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”计算即可求解.
21．（2024九上·南宁开学考）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质．
（1）请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象．
x … 0 1 …
y … 0 0 …
（2）根据图象回答问题：
①该图象是一条抛物线，也是______图形，它的对称轴是______；
②该图象的顶点坐标为______，该函数有最______值（填“大”、“小”）；
③当x______时，y随x的增大而减小
【答案】（1）y=-2x2-4x=-2(x2+2x)
=-2(x2+2x+1-1)=-2（x2+2x+1）+2=-2(x+1)2+2；
当时，，解得或（舍去），
当时，，
表格补充如下：
x … -2 0 1 …
y … 0 2 0 …
函数图象如下所示：
（2）①轴对称，直线；②，大；③
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）①∵由（1）可知，二次函数解析式为：，
∴它的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线：，
故答案为：轴对称，直线；
②∵由（1）可知，二次函数解析式为，
该图象的顶点坐标为，
∵a=，
∴函数y有最大值，
故答案为：，大；
③ 根据图像可知当，y随x的增大而减小．
故答案为：．
【分析】（1）由题意，用配方法把二次函数化为顶点式，然后分别求出当和y=0时，对应的y和x的值即可将表格中的信息填写完整，在平面直角坐标系中描出各点，然后用平滑的曲线连接各点即可求解；
（2）①根据（1）中配成的顶点式，并结合二次函数的性质即可求解；
②根据二次函数的图象和性质求解即可；
③根据二次函数的性质即可求解．
22．（2024九上·南宁开学考）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为，所抽查的学生人数为．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
【答案】（1）解：∵某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间为6小时、8小时、9小时的百分比分别为：20%、30%、5%，
∴；
∵每天的平均睡眠时间为9小时的人数为3人，
∴所抽查的学生人数为：人
（2）解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人；
补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数小时
（4）解：∵1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生所占的百分比为：
45%、20%，
∴1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数为：
1200（45%+20%）=1200×65%=780（人）．
答： 该校共有学生1200名，睡眠不足（少于）8小时的学生数约为780人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据各小组的百分比之和等于1可求得平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比，然后根据样本容量=频数÷百分比即可求得所抽查的学生人数 ；
（2）根据频数=样本容量×相应的百分比即可求解平均睡眠时间为8小时的人数，然后可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据众数定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；”和平均数的意义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算即可求解；
（4）用样本估计总体即可求解．
23．（2024九上·南宁开学考）如图，在中平分且交于点且交于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的大小．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质得出，再根据由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形即可得出结论；
（2）依据BE平分∠ABC，得出，由（1）可知，，即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
．
24．（2024九上·南宁开学考）元旦期间，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若房价定为200元时，求宾馆每天的利润；
（2）房价定为多少时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）若房价定为200元时，宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元），
答：宾馆每天的利润为8640；
（2）设总利润为y元，则y＝（50﹣）（x﹣20）
＝﹣x2+70x+1360＝﹣（x﹣350）2+10890
故房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题；
（2）设总利润为y元，则y＝（50﹣）（x﹣20），然后利用二次函数的性质解决问题．
25．（2024九上·南宁开学考）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下新能源汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下新能源汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）的关系．
数据记录如表2：
新能源汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数解析式及e关于s的函数解析式；
【解决问题】（2）该品牌新能源汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若新能源汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电30分钟，充电后该新能源汽车是否有足够的电量行驶到目的地．
【答案】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得，
解得
∴函数解析式为：，
将，代入得，
解得
∴函数解析式为：；
（2）在中，当时，，
在中，当时，，
当时，，
∵，
∴充电后该新能源汽车有足够的电量行驶到目的地
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据表1中数据变化规律直接写出y关于t的函数解析式，利用待定系数法求出e关于s的函数解析式即可；
(2)将s=240代入e关于s的函数解析式，求出剩余电量；将t=30代入y关于t的函数解析式，求出充入的电量，从而求出在途中的服务区充电30分钟后仪表盘显示的电量，将它代入e关于s的函数解析式，求出能够行驶的距离并与剩余的路程相比即可得出结论.
26．（2024九上·南宁开学考）【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．
请完成：
（1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．
请完成：
（3）证明是的一条三等分线．
【答案】（1）解：由题意可得：；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，如图所示：
由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一条三等分线．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；矩形翻折模型
1 / 1广西南宁市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题
1．（2024九上·南宁开学考）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024九上·南宁开学考）在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·南宁开学考）年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得成功据报道，长征二号遥十八运载火箭的起飞质量大约是将数据用科学记数法表示，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·南宁开学考）如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线，下列结论中：①，②，③当时.正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2024九上·南宁开学考）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·南宁开学考）在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是，那么身高更整齐的是_______队（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．无法判定
7．（2024九上·南宁开学考）下列运算正确的是（ ）
A．4ab÷2a=2ab B．（3x2）3=9x6
C．a3 a4=a7 D．÷=2
8．（2024九上·南宁开学考）如图，在中，，BD平分，交AC于点D，且，，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024九上·南宁开学考）已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且
C． D．
10．（2024九上·南宁开学考）已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=–3，则以x1、x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2–4x–3=0 B．x2+4x–3=0 C．x2–4x+3=0 D．x2+4x+3=0
11．（2024九上·南宁开学考）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
12．（2024九上·南宁开学考）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．
13．（2024九上·南宁开学考）计算：= ．
14．（2024九上·南宁开学考）抛物线的顶点坐标是 ．
15．（2024九上·南宁开学考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，y1与y2交点的横坐标分别是﹣2和1，则当y2＞y1时，x的取值范围是 ．
16．（2024九上·南宁开学考）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为 ．
17．（2024九上·南宁开学考）如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为 ．
18．（2024九上·南宁开学考）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为 ．
19．（2024九上·南宁开学考）计算：；
20．（2024九上·南宁开学考）解方程：．
21．（2024九上·南宁开学考）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质．
（1）请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象．
x … 0 1 …
y … 0 0 …
（2）根据图象回答问题：
①该图象是一条抛物线，也是______图形，它的对称轴是______；
②该图象的顶点坐标为______，该函数有最______值（填“大”、“小”）；
③当x______时，y随x的增大而减小
22．（2024九上·南宁开学考）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为，所抽查的学生人数为．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
23．（2024九上·南宁开学考）如图，在中平分且交于点且交于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的大小．
24．（2024九上·南宁开学考）元旦期间，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若房价定为200元时，求宾馆每天的利润；
（2）房价定为多少时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？
25．（2024九上·南宁开学考）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下新能源汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下新能源汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）的关系．
数据记录如表2：
新能源汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数解析式及e关于s的函数解析式；
【解决问题】（2）该品牌新能源汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若新能源汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电30分钟，充电后该新能源汽车是否有足够的电量行驶到目的地．
26．（2024九上·南宁开学考）【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．
请完成：
（1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．
请完成：
（3）证明是的一条三等分线．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：3的相反数是-3，
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可直接得出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，此项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，则此项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，则此项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b> 0
∴ab >0；故①正确；
②观察图象知：当x=1时y=a+b+c>0，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于(0，0)，
∴另一个交点为(-2，0)，
∴当-2 故答案为：D.
【分析】①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab>0；故①正确；
②由x=1时，得到y=a+b+c>0；故②正确；
③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x-7=0，
移项得x2-6x=7，
配方得x2-6x+9=7+9，即（x-3）2=16.
故答案为：A.
【分析】首先移项，将常数项移到方程的右边，然后配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
6．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于，则甲队中身高更整齐，
∴两队中身高更整齐的是甲队.
故答案为：A.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙的方差可作出判断.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的乘除法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=2b，错误；
B、原式=27x6，错误；
C、原式=a7，正确；
D、原式=
，错误，
故选C
【分析】A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
∵BD平分，
∴点D到BC距离.
故答案为：A.
【分析】在Rt ABD中，用勾股定理求得AD的长，然后根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边距离相等”可得点D到BC距离=AD即可求解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m 1)x2+4x+1=0有实数根，
∴
解得： 且 ，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1+x2=4，x1x2=–3，∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2–4x–3=0．
故答案为：A．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】由题意可得： 二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)2万个，然后结合三月份的口罩产量是50万个就可列出方程.
12．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的判定；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AC=6，
∴，
∵的周长是平行四边形周长的一半，
∴的周长，
平行四边形ABCD的周长=AD+CD+AB+BC=2(AD+CD)，
∴CD+CE+DE=AD+CD，
∴，
∵，
∴，
∴是线段的中垂线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质可以得出OA=OC，再依据的周长是平行四边形周长的一半，可得，进而推出，最后利用勾股定理即可求解．
13．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴=3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
14．【答案】（-1，-3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线顶点式的顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3）
故答案为（-1，-3）．
【分析】根据抛物线顶点式的顶点为，求解即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵y2>y1，
∴一次函数的图象在抛物线的上方，
由图象可知，当-2∴当-2y1，
故答案为：.
【分析】根据图象找出一次函数图象在抛物线图象上方的部分对应的x的范围即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
17．【答案】24
【知识点】因式分解法解一元二次方程；用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的递变规律
18．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵P、Q同时出发后经过的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2，
∴，
∵AB=12，BC=24，
∴0<2x<12，0<4x<24，
∴0故自变量x的取值范围是0故答案为：．
【分析】根据图形可得四边形APQC的面积=S△ABC-S△PBQ，根据P、Q同时出发后经过的时间为xs，即可表示出四边形APQC的面积；根据AB、BC为12、24，动点P、Q的速度为2、4即可得到0<2x<12，0<4x<24；接下来利用不等式的性质对0<2x<12，0<4x<24变形，即可求得自变量x的取值范围.
19．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
20．【答案】解：∵，
∴移项得：，
配方得：，
∴，
两边开平方得：，
∴原方程的解为：，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解一元二次方程的配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”计算即可求解.
21．【答案】（1）y=-2x2-4x=-2(x2+2x)
=-2(x2+2x+1-1)=-2（x2+2x+1）+2=-2(x+1)2+2；
当时，，解得或（舍去），
当时，，
表格补充如下：
x … -2 0 1 …
y … 0 2 0 …
函数图象如下所示：
（2）①轴对称，直线；②，大；③
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）①∵由（1）可知，二次函数解析式为：，
∴它的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线：，
故答案为：轴对称，直线；
②∵由（1）可知，二次函数解析式为，
该图象的顶点坐标为，
∵a=，
∴函数y有最大值，
故答案为：，大；
③ 根据图像可知当，y随x的增大而减小．
故答案为：．
【分析】（1）由题意，用配方法把二次函数化为顶点式，然后分别求出当和y=0时，对应的y和x的值即可将表格中的信息填写完整，在平面直角坐标系中描出各点，然后用平滑的曲线连接各点即可求解；
（2）①根据（1）中配成的顶点式，并结合二次函数的性质即可求解；
②根据二次函数的图象和性质求解即可；
③根据二次函数的性质即可求解．
22．【答案】（1）解：∵某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间为6小时、8小时、9小时的百分比分别为：20%、30%、5%，
∴；
∵每天的平均睡眠时间为9小时的人数为3人，
∴所抽查的学生人数为：人
（2）解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人；
补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数小时
（4）解：∵1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生所占的百分比为：
45%、20%，
∴1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数为：
1200（45%+20%）=1200×65%=780（人）．
答： 该校共有学生1200名，睡眠不足（少于）8小时的学生数约为780人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据各小组的百分比之和等于1可求得平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比，然后根据样本容量=频数÷百分比即可求得所抽查的学生人数 ；
（2）根据频数=样本容量×相应的百分比即可求解平均睡眠时间为8小时的人数，然后可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据众数定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；”和平均数的意义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算即可求解；
（4）用样本估计总体即可求解．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质得出，再根据由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形即可得出结论；
（2）依据BE平分∠ABC，得出，由（1）可知，，即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
．
24．【答案】解：（1）若房价定为200元时，宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元），
答：宾馆每天的利润为8640；
（2）设总利润为y元，则y＝（50﹣）（x﹣20）
＝﹣x2+70x+1360＝﹣（x﹣350）2+10890
故房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题；
（2）设总利润为y元，则y＝（50﹣）（x﹣20），然后利用二次函数的性质解决问题．
25．【答案】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得，
解得
∴函数解析式为：，
将，代入得，
解得
∴函数解析式为：；
（2）在中，当时，，
在中，当时，，
当时，，
∵，
∴充电后该新能源汽车有足够的电量行驶到目的地
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据表1中数据变化规律直接写出y关于t的函数解析式，利用待定系数法求出e关于s的函数解析式即可；
(2)将s=240代入e关于s的函数解析式，求出剩余电量；将t=30代入y关于t的函数解析式，求出充入的电量，从而求出在途中的服务区充电30分钟后仪表盘显示的电量，将它代入e关于s的函数解析式，求出能够行驶的距离并与剩余的路程相比即可得出结论.
26．【答案】（1）解：由题意可得：；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，如图所示：
由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一条三等分线．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；矩形翻折模型
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