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专题27.1.2图形的相似（二）五大题型（一课一讲）
（内容:平行线分线段成比例）
【人教版】
题型一：平行线分线段成比例之“#”字型
【经典例题1】如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式训练1-3】如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式训练1-4】如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，，，，那么的长为 ．
【变式训练1-5】如图，，．
(1)若，，求的长．
(2)若，求的长．
【变式训练1-6】如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
题型二：平行线分线段成比例之“x”字型
【经典例题2】如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，与相交于点H，若，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，如果，那么 ．
【变式训练2-3】如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
【变式训练2-4】如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．
(1)如果，，求的长．
(2)如果，求的长．
题型三：平行线分线段成比例之“A”字型
【经典例题3】已知 ABC中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图 ABC，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，已知，．
(1)若，，．求的长；
(2)求证：．
【变式训练3-3】在 ABC中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【变式训练3-4】如图，，，，．
(1)求的值；
(2)求证：．
【变式训练3-5】如图，在 ABC中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．
题型四：平行线分线段成比例之“8”字型
【经典例题4】如图，，，若，则的长为 ．
【变式训练4-1】如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N．
①的度数是 ；
②线段的长为 ．
【变式训练4-2】如图，与相交于点，且，如果，，，那么 ．
【变式训练4-3】如图，为梯形，一条直线与的延长线、的延长线顺次交于点，若，则 ．
【变式训练4-4】如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为 .
【变式训练4-5】如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)求的长度．
题型五：平行线分线段成比例综合
【经典例题5】如图，是 ABC的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值．
【变式训练5-1】如图，是 ABC的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点．
(1)若，求的长；
(2)求的值．
【变式训练5-2】如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的值．
【变式训练5-3】如图，是 ABC的中线，E是上一点，过点C作，交的延长线于点G，交于点F．若，求的值．
【变式训练5-4】如图，C为线段上一点，作等腰和等腰，，，．在线段上取一点F，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
【变式训练5-5】如图， ABC内接于，D是的直径的延长线上一点， ，过圆心 O作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长．
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专题27.1.2图形的相似（二）五大题型（一课一讲）
（内容:平行线分线段成比例）
【人教版】
题型一：平行线分线段成比例之“#”字型
【经典例题1】如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
但不能得到，即选项D不正确．
故选：D
【变式训练1-1】如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比是解题的关键．
根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，，A、D正确，故不符合要求；
∴，C正确，故不符合要求；
，B错误，故符合要求；
故选：B．
【变式训练1-2】如图，，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，先根据平行线分线段成比例定理得到，熟练运用定理解决问题是解题的关键．先根据平行线分线段成比例定理得到，结合，即可得解．
【详解】，
，
又，，
，
，
故选择：C
【变式训练1-3】如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．先由，求得，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式训练1-4】如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，，，，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据得到，代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-5】如图，，．
(1)若，，求的长．
(2)若，求的长．
【答案】(1)9
(2)15
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
（1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算；
（2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【变式训练1-6】如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；
（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可；
（2）由平行线分线段成比例定理推出，得到，即可求出长，得到的长．
【详解】（1）解：∵，
，
，，，
，
；
（2）∵，
，
，
，
，
，
．
题型二：平行线分线段成比例之“x”字型
【经典例题2】如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断．
【详解】解：A．∵，
∴，故A正确；
B．根据无法判断，故B错误；
C．∵，
∴，
∵，
∴，故C错误；
D．∵，
∴，
∵，
∴，故D错误．
故选：A．
【变式训练2-1】如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，与相交于点H，若，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质．根据可得，再代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练2-2】如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【变式训练2-3】如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键．
（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长，
【详解】（1）解：∵，，，，
，
即，
解得：；
（2）解：∵，，
，
即，
解得：．
【变式训练2-4】如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．
(1)如果，，求的长．
(2)如果，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键．
（1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长．
（2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型三：平行线分线段成比例之“A”字型
【经典例题3】已知 ABC中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例判断作答即可．
【详解】解：由题意知，不能判断，故A不符合要求；
不能判断，故B不符合要求；
不能判断，故C不符合要求；
由可得，，故D符合要求；
故选：D．
【变式训练3-1】如图 ABC，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理即可逐一判断，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：A、能判断，故选项不符合题意；
B、不能判断，故选项符合题意；
C、能判断，故选项不符合题意；
D、能判断，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练3-2】如图，已知，．
(1)若，，．求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
（1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可；
（2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练3-3】在 ABC中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例．
（1）由三角形中位线定理以及平行线分线段成比例，证明，根据圆周角定理求得，推出是线段的垂直平分线，据此即可证明平分；
（2）先求得，求得，再利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
由题意得是的直径，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，即平分；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【变式训练3-4】如图，，，，．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)8
(2)见解析
【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置．
（1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
【变式训练3-5】如图，在 ABC中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．
【答案】
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
解得：，
∴．
题型四：平行线分线段成比例之“8”字型
【经典例题4】如图，，，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先根据建立等式求出，再根据建立等式，即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，即，解得，或（舍去）．
∵，
∴，即，解得，
故答案为：．
【变式训练4-1】如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N．
①的度数是 ；
②线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，灵活根据不同的平行线表示线段之间的关系是解题的关键．
①证明是等腰直角三角形即可；
②和的延长线交于H，如图，先利用勾股定理得到，利用得到，则可计算出，接着利用得到，则可计算出，然后利用得到，可计算出，最后根据计算即可．
【详解】解：①∵矩形的边长，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
②延长和的延长线交于，如图，
∵是的中点，
∴，
由①可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴ ，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-2】如图，与相交于点，且，如果，，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为．
【变式训练4-3】如图，为梯形，一条直线与的延长线、的延长线顺次交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了梯形或平行线分线段成比例的性质，由平行线可得对应线段成比例，结合，可分别求出线段与的关系，进而可求解结论．
【详解】解：∵为梯形，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为．
【变式训练4-4】如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．设，则，求出，再由，即可求出答案．
【详解】解：设，
，
，
，
解得，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练4-5】如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证；
（2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证；
（3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
题型五：平行线分线段成比例综合
【经典例题5】如图，是 ABC的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值．
【答案】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值．
【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示：
∵D为中点，，
∴，即：，
又E为的中点，的延长线交于F，，
∴，即：，
∴，
∴．
【变式训练5-1】如图，是 ABC的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点．
(1)若，求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案；
（2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：如图，过作交于点，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，过作交于点，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【变式训练5-2】如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M，则四边形是矩形，证明，得出为等腰直角三角形从而得到，即可得解；
（2）设，则，求出，，再由平行线分线段成比例定理即可得解．
【详解】（1）解：过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M，
，
则，
四边形是矩形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
为等腰直角三角形，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
∵，
∴．
【变式训练5-3】如图，是 ABC的中线，E是上一点，过点C作，交的延长线于点G，交于点F．若，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，延长交的延长线于点M，连接，先证明推出四边形为平行四边形，得到设，则根据平行线分线段成比例，进行求解即可．
【详解】解：延长交的延长线于点M，连接．
为的中线，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
．
，
．
设，则
，
．
．
【变式训练5-4】如图，C为线段上一点，作等腰和等腰，，，．在线段上取一点F，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得出，，证明出得出，再证明即可得证；
（2）由（1）得．作交于点H，，设，则，，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解．
【详解】（1）解：∵、是等腰三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）得．
作交于点H，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
解得（舍）或，
∴．
【变式训练5-5】如图， ABC内接于，D是的直径的延长线上一点， ，过圆心 O作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等角对等边得出，等量代换得，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设设，则， ，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解．
【详解】（1）证明∶∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）
，
．
设，则．
在 中， 即
解得 (不合题意，舍去)，
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
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