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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.1.2图形的相似（二）五大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知，在 ABC中，点D、E分别在边上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，那么下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，若，，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，，已知，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
6．随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
8．如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．24 B．20 C．16 D．10
10．如图， ABC中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．
12．如图，点D是 ABC的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ．
13．如图，，，，当 时，．
14．如图，是 ABC的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ．
15．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ．
16．如图，在 ABC中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．
17．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ．
18．如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，．求，的长．
20．如图，是 ABC的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
21．已知：如图，在 ABC中，，以腰为直径作，分别交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
22．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
23．如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，当时，求的值．
24．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
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专题27.1.2图形的相似（二）五大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知，在 ABC中，点D、E分别在边上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∴，本选项不符合题意；
B、∵，
∴，本选项不符合题意；
C、当时，不能判定，本选项符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∴，本选项不符合题意；
故选：C．
2．已知，那么下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线与直线相交分成的线段对应成比例．解决本题的关键是看比例式的写在对应位置的线段是否对应线段．
【详解】解：如下图所示，
A选项：，，其中线段与是对应线段，线段与是对应线段，故A选项正确；
B选项：，，其中线段与不是对应线段，线段与也不是对应线段，故B选项错误；
C选项：，，其中线段与不是对应线段，线段与也不是对应线段，故C选项错误；
D选项：，，其中线段与不是对应线段，线段与也不是对应线段，故D选项错误．
故选：A．
3．如图，，若，，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，正确理解平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
根据平行线分线段成比例得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，，已知，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可，解题的关键是熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
5．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案．
【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意；
B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意；
C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意；
D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意．
故选B．
6．随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得到，进而得到，代入已知条件即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得
故选：．
7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
故选：B ．
8．如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，根据中位线的性质得出，，则，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．24 B．20 C．16 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
由得且为的中位线，再推出是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，进而完成解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，点O是中点，
∴，即E为中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
10．如图， ABC中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例，列出比例式将已知数据代入即可求解．
【详解】，
，
，，，
．
故答案为：．
12．如图，点D是 ABC的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，掌握中位线定理是解题的关键．
由可证是 ABC的中位线，从而，根据角平分线的定义、平行线的性质可得，从而，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴为的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，，，，当 时，．
【答案】
【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
14．如图，是 ABC的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案．
【详解】解：作交于，
是 ABC的中线，
，
，
，
的面积与的面积之比是，
，
，
，
，
；
故答案为：12．
15．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ．
【答案】20
【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】如图，延长交的延长线于点G．
四边形为平行四边形，
．
，．
点E为边的中点，
．
在和中，，
，
．
，，
．
，
．
，
，即，
解得．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明．
16．如图，在 ABC中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题．
【详解】解：作于点，
于E，
，
，
点D为边的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
17．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的行线于点D，
根据题意，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作交于点，证明，得出，进而根据角平分线的性质，等面积法得出，进而得出是的中位线，是的中位线，在中，得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交于点，
∵，
∴
∵是的角平分线，
∴，
又∵
∴
∴，
又∵是 ABC的中线，
∴，则，
∵是的角平分线，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴是的中位线，
∴
又∵
∴
∴是的中位线，
∵
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，中位线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，．求，的长．
【答案】的长为6，的长为9
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
由，可得，即，由，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵，即，
解得，，
∴，
∴的长为6，的长为9．
20．如图，是 ABC的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．．
（1）根据题意可知，继而得到本题答案；
（2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过D作交于M点，
∴，
∵是 ABC的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．已知：如图，在 ABC中，，以腰为直径作，分别交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆与四边形的综合，涉及等腰三角形性质，平行线分线段成比例定理，三角形的内角和定理，圆的内接四边形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质得到，，再判断，然后利用平行线分线段成比例得到；
（2）利用三角形内角和计算出，则，再利用圆内接四边形的性质得到，然后利用平角定义可计算出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
∵四边形是圆的内接四边形，
，
．
22．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例；
（1）由平行线可得，即，结合可得四边形是平行四边形，由三线合一可得即可得到四边形是矩形；
（2）先求出，，即可求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明∵，点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
23．如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，牢记性质是解题关键，
（1）根据正方形性质得出，再根据即可求出结论；
（2）作于点，作于点，证明，进而证出，利用求出即可求出结论．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：如图1，作于点，则，
，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
的值是2．
24．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到与也垂直，可得为的切线；
（2）连接，证明，再证明 ABC是等边三角形，则，由得到，则，即，由得到，即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，且为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
∵为直径的交于点D，交于点G，
∴，
∴
∵，
∴ ABC是等边三角形，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】此题考查了圆周角定理、等边三角形判定和性质、平行线分线段成比例定理、切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
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