四川省成都市四川师范大学附属中学成龙分校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

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四川师大附中成龙分校2024-2025学年度（上）期中考试试题
高一数学
考试时间 120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则的子集个数为（）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 已知命题，则命题的否定为（）
A. B.
C. D.
3. 函数的图象可以由的图象（）得到.
A. 向左平移一个单位 B. 向右平移一个单位
C. 向上平移一个单位 D. 向下平移一个单位
4. 已知，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知函数在单调递增，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 已知函数，且，，则（）
A B.
C. D.
7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
8. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（）
A B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列函数既是偶函数，且在区间内又是增函数的有（）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（）
A. “”是“”充分不必要条件
B. 函数与是同一个函数
C. 不等式的解集为
D. 若关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围是
11. 已知函数，则（）
A.
B. 的最小值为0
C. 定义域为
D. 的值域为
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，且，则ab最大值为___________．
13. 函数的定义域是______.
14. 若是定义在上的奇函数，，，则________．
四、解答题（本题共5小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，.
（1）分别求，.
（2）已知，且，求实数的取值范围.
16. 已知二次函数.
（1）若的解集为，求a，b的值；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）已知函数的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间；
（2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论）
（3）写出解不等式的解集．
18. 某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄．
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？
19. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
四川师大附中成龙分校2024-2025学年度（上）期中考试试题
高一数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6. 已知函数，且，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解.
【详解】.
因为，，所以.
故选：C
7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9.
【答案】BC
10.
【答案】AD
11.
【答案】BC
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】4
13.
【答案】
14.【答案】
四、解答题（本题共5小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.
【答案】（1），
（2）
16.
【解析】
【分析】（1）根据不等式解集得出方程的根，由根与系数的关系求解；
（2）利用二次函数对称轴和单调区间端点的关系建立不等式求解.
【小问1详解】
的解集为，
和是方程的两根，
由根与系数关系得：；
.
【小问2详解】
的图象开口向上，对称轴为，
且在区间上单调递增，
，.
17.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式；
（2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解；
（3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
结合图象可知，函数的单调递减区间为和．
因为当时，，
所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，
故的解析式为.
【小问2详解】
解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，
结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点，
所以.
【小问3详解】
解：当时，可得，结合图象可得；
当时，可得，结合图象可得.
综上所述，不等式的解集为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据利润是收入与成本之差可构造分段函数解析式；
（2）根据二次函数最值、基本不等式分别求解每一段上的最大值，对比可得总体最大值并确定最大值点.
【小问1详解】
由题意知：，
.
【小问2详解】
当时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
此时；
当时，（当且仅当时取等号）；
，该公司每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元.
19.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到一元二次不等式在恒成立，结合二次函数的图象即可列出不等式求解.
【小问1详解】
为定义域上的奇函数
证明：易知为定义域为，关于原点对称
又由，故为奇函数
【小问2详解】
为上的增函数
证明：当时，
任取，且，
可得
因为且，可得，，
所以，即，故为上的增函数
【小问3详解】
由为奇函数，可得在上为增函数
又由，可得为定义域上的增函数
由，可得
从而有对于任意实数恒成立
即对于任意实数恒成立
令，易知开口向上，故只需
解得，故的取值范围为
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