人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章 反比例函数专题一次函数与反比例函数综合

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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
专题 一次函数与反比例函数综合
类型一 、一次函数与反比例函数图像综合判断的方法
解题策略：
根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。
【例1-1】．函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【例1-2】．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式1-3】．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且

A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④
【变式1-4】．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
类型二 、一次函数与反比例函数的图像交点问题
解题策略：
反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
【例2-1】．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【例2-2】反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为．
(1)求k的值．
(2)试判断，是否在反比例函数的图像上．
【变式2-1】．已知正比例函数和反比例函数的图象有两个交点，如果其中一个交点的横坐标为1，求a及两个交点的坐标．
【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为．
(1)求，，的值；
(2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标．
【变式2-3】．．一次函数与反比例函数为交于点．
(1)分别求两个函数的解析式；
(2)根据图象直接写出，当时，x的取值范围
(3)在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标．
类型三 一次函数与反比例函数的实际应用
解题策略：
这类问题考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。
二元一次方程组的应用。
解决这类问题利用平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．
【例3-1】如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
【例3-2】．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【变式3-1】．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
【变式3-2】．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．
(1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式；
(2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？
【变式3-3】．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示．
(1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
类型四 一次函数与反比例函数的几何综合
解题策略：
（1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；．
（2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想；
（3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题；
（4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键；
（5）作图要根据步骤做规范作图。
【例4-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式．
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标．
【例4-2】．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点．
(1)求b的值和点B的坐标；
(2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标；
(3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【变式4-1】．．如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为．
(1)①直线的解析式为__________；
②反比例函数的解析式__________．
(2)根据图象写出：当x满足__________时，．
(3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4-2】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)连接，若的面积为，求点P坐标：
(3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得 若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【例4-3】．．如图，直线与双曲线相交于点A、B，与x轴、y轴交于点M、N，已知点A的横坐标为1．
(1)求直线的解析式及点B的坐标；
(2)求证：；
(3)以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
类型五 一次函数与反比例函数的其它综合应用
解题策略：
读懂题意，把题目中的问题转化成一次函数、反比例函数问题；
利用一次函数、反比例函数的性质解决问题。
【例5-1】如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【变式5-1】如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
(2)求直线，曲线的解析式；
(3)求矩形的最大面积．
【变式5-2】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式—利用函数图象研究其性质—运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y＝||﹣4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)该函数的自变量取值范围是 ；表中p＝ ，q＝ ，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 …
y＝||﹣4 … 1 p 4 ﹣ q ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ …
(2)根据函数图象写出该函数的一条性质： ．
(3)已知函数y＝﹣x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣4＜﹣x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
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第26章 反比例函数
专题 一次函数与反比例函数综合
类型一 、一次函数与反比例函数图像综合判断的方法
解题策略：
根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。
【例1-1】．函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像识别，熟练掌握一次函数和反比例函数图像的性质是解题关键．首先根据反比例函数图像确定的符号，再确定一次函数所经过的象限，据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A.因为反比例函数在第一、三象限，所以，
则一次函数的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意；
B. 因为反比例函数在第一、三象限，所以，
则一次函数的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，故不符合题意；
C. 因为反比例函数在第二、四象限，所以，
则一次函数的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意；
D. 因为反比例函数在第二、四象限，所以，
则一次函数的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像相符，符合题意．
故选：D．
【例1-2】．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项C符合题意；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案
【详解】解：①当时，一次函数的图象过一、三、四象限；反比例函数在一、三象限；
②当时，一次函数的图象过一、二、四象限；反比例函数在二、四象限，
观察图形可知，只有C符合，
故选：C
【变式1-2】．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可．
【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限，
符合条件的只有A选项，
故选：A．
【变式1-3】．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且

A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意．
【详解】解：由一次函数的图像可得：，，
由反比例函数的图像可得：，
∴，故①符合题意，②不符合题意；
∵直线，
当，，则，
当，则，则，
设，，
∴，，
联立，
∴整理得：，
∴，，
∴，即，，，
∴，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵均在反比例函数上且，
∴，
解得：，故④不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键．
【变式1-4】．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象共存问题，先根据一次函数图象的性质判断的符号，再进一步判断反比例函数图象即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，不符合题意；
B、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，不符合题意；
C、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，不符合题意；
D、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，符合题意；
故选：D．
类型二 、一次函数与反比例函数的图像交点问题
解题策略：
反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
【例2-1】．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
（1）联立一次函数与反比例函数解析式，求出方程组的解得到A与B的坐标即可；
（2）由A与B交点的横坐标，以及0将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时x的范围即可；
（3）由一次函数求出y的值，确定出D坐标，即为的长，依据三角形面积=三角形面积+三角形面积，求出即可．
【详解】（1）解：联立两函数解析式得：，
解得：或，
即，；
（2）解：根据图象得：当或时，一次函数值大于反比例函数值，
∴不等式的解集为或；
（3）解：令中，得到，
即，
∴，
∴．
【例2-2】反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为．
(1)求k的值．
(2)试判断，是否在反比例函数的图像上．
【答案】(1)
(2)不在函数图像上，在函数图像上
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用．
（1）将点的横坐标代入可得出纵坐标，然后代入双曲线可求出反比例函数的解析式．
（2）把点，代入即可判断；
【详解】（1）解：当时，由知，故，
将代入中，可知，
（2）由（1）可得
当时故点不在反比例函数的图像上，
当时故点在反比例函数的图像上.
【变式2-1】．已知正比例函数和反比例函数的图象有两个交点，如果其中一个交点的横坐标为1，求a及两个交点的坐标．
【答案】，，．
【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数交点的综合运用．根据函数有交点，联立方程组，将一个交点的横坐标为1代入，即可求出的值，从而求出函数解析式，联立两个函数，即可求解出两个交点坐标．
【详解】解：函数和的图象有两个交点，且一个交点的横坐标为1，
联立得，，
则，
∴函数的解析式为，，，
∴，解方程组得，，，
∴这两个函数图象的交点坐标分别是，．
【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为．
(1)求，，的值；
(2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标．
【答案】(1),；
(2)点的坐标为．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
解得，
反比例函数的表达式为，
把点，点代入得，
，
解得；
（2）解：由（1）得反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
设，
平行于轴，
，
，
，
，解得，
，
点的纵坐标为，
把代入得，
解得，
点的坐标为．
【变式2-3】．．一次函数与反比例函数为交于点．
(1)分别求两个函数的解析式；
(2)根据图象直接写出，当时，x的取值范围
(3)在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，根据题意细心分析是解题关键．
（1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可；
（3）分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解：（1）将，代，得，
反比例函数的解析式为，
将代入，得，
，
将A，B两点坐标代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为，
∴两个函数的解析式分别为，；
（2）解：根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：或；
（3）解：当P在x轴上时，
设，
的面积为6，
，
，
点坐标为或，
当P在y轴上时，
设，
的面积为6，
，
，
点坐标为或，
综上所述，P点的坐标为或或或．
类型三 一次函数与反比例函数的实际应用
解题策略：
这类问题考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。
二元一次方程组的应用。
解决这类问题利用平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．
【例3-1】如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
【答案】(1)20
(2)分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可；
（2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为．
把代入，得：．
∴．
∴．
当时，，
∴．
（2）解：设一次函数函数的关系式为．
把代入，得：，解得：，
∴，
当在温度下降过程中，，
解得：，
当在温度上升过程中，，
解得：，
∴，
∴一次循环过程中有属于有效制冷时间．
【例3-2】．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．
（1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式；
（2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，
，
的函数表达式为，
当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，
，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
【变式3-1】．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后
(2)至少需要分钟后学生才能回教室
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用；
（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可；
（2）令，解出即可．
【详解】（1）解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
（2）令，则，，
答：至少需要分钟后学生才能回教室．
【变式3-2】．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．
(1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式；
(2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？
【答案】(1)；
(2)此次消毒有效，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键．
（1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式；
（2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效．
【详解】（1）解：当时，
设，将代入，
则，
∴；
（2）解：此次消毒有效．理由如下：
当时，
设，将代入，
则，解得：，
∴；
当时，，解得，
当时，，解得，
∵，
∴此次消毒有效．
【变式3-3】．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示．
(1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
【答案】(1)第40分钟时更集中
(2)合理，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题．
（1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出；
（2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案．
【详解】（1）解：设，把，代入函数解析式解得，，
由图象直接得到，
设，把代入函数解析式解得；
把代入，得，
把代入，得，
因为，
所以第40分钟时学生的注意力更集中；
（2）解：由题意知，注意力指数不低于40
即当在，
同时
即
即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40．
而，
该学习设计合理．
类型四 一次函数与反比例函数的几何综合
解题策略：
（1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；．
（2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想；
（3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题；
（4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键；
（5）作图要根据步骤做规范作图。
【例4-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式．
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求的取值范围；
（3）根据一次函数，求得与轴的交点，此交点即为所求．
【详解】（1）解：把代入，可得，
∴反比例函数的解析式为；
把点代入，可得，
∴；
把，代入，
可得，
解得，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：根据图象可得，当时，或．
（3）解：一次函数的解析式为，令，则，
∴一次函数与y轴的交点为，
此时，最大，P即为所求，
令，则，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【例4-2】．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点．
(1)求b的值和点B的坐标；
(2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标；
(3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）过点P作轴于点E，设点P的坐标为，则，根据，得到关于m的方程，即可；
（3）设点D的坐标为，点Q的坐标为，分三种情况：若以为对角线时，若以为对角线时，若以为对角线时，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，过点P作轴于点E，

设点P的坐标为，则，
对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，的面积等于10，
∴，
解得：（舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为，
若以为对角线时，
，解得：，
∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意；
若以为对角线时，
，解得：，经检验符合题意；
∴点Q的坐标为；
若以为对角线时，
，解得：，经检验符合题意；
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【变式4-1】．．如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为．
(1)①直线的解析式为__________；
②反比例函数的解析式__________．
(2)根据图象写出：当x满足__________时，．
(3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②
(2)或
(3)E的坐标为或
【分析】（1）①把，分别代入解析式，再利用待定系数法求解即可．②把代入解析式，确定A的坐标，再代入求解即可．
（2）直接利用函数图象解题即可；
（3）设，则，根据题意，得到，计算即可．
【详解】（1）解：①把，分别代入解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为．
②∵点A的坐标为，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴反比例函数为：；
（2）解：∵，，
由图象可得：当x满足或时，
（3）解：∵直线的解析式为．
当时，则，
∴，
设，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴E的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段坐标的转化，三角形面积的分割法表示，利用函数图象解不等式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【例4-2】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)连接，若的面积为，求点P坐标：
(3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得 若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)点坐标为，或
(3)，或，
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
（1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标；
（2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案；
（3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案．
【详解】（1）把代入，得，
，
代入，得，
，
反比例函数的解析式为，
联立方程组得：，
解得：，，
；
（2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
则，，
当时，如图1，则，
，，，
，
，即，
解得：（舍去），，
，；
当时，如图2，则，
，，，
，
，即，
解得：，（舍去），
；
综上所述，点坐标为，或；
（3）存在点使得，点坐标为，或，．
，
设直线的解析式为，
联立，得，
整理得：，
则，，
又，，则，
，
，，
，
，
、均在第一象限，
，
，
直线的解析式为，
联立得，
解得：，，
，或，．
【例4-3】．．如图，直线与双曲线相交于点A、B，与x轴、y轴交于点M、N，已知点A的横坐标为1．
(1)求直线的解析式及点B的坐标；
(2)求证：；
(3)以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
（1）把代入，求出点A的坐标，从而求出直线的解析式，再联立两函数解析式，可求出点B的坐标；
（2）求出点，可得到，，即可求证；
（3）设点C的坐标为，根据是等腰直角三角形，可得，从而得到关于m，n的方程组，求出m，n，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点A的坐标为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
联立得：，
解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）解：对于，
当时，，
当时，，
解得：，
∴点，
∵，，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：设点C的坐标为，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴点C的坐标为，
设点C所在的反比例函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴点C所在的反比例函数解析式为．
类型五 一次函数与反比例函数的其它综合应用
解题策略：
读懂题意，把题目中的问题转化成一次函数、反比例函数问题；
利用一次函数、反比例函数的性质解决问题。
【例5-1】如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【答案】(1)；
(2)见解析，函数的图象在时，有最大值3
(3)或
【分析】（1）根据局 等腰三角形三线合一证明是的角平分线，是垂直平分线，求出，再利用直角三角形30度角所对的边是斜边的一半，得到，勾股定理求出，即可得到；
（2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质；
（3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可．
【详解】（1）解：等腰中，，，点为的中点，
，是的角平分线，，
，
，
，
的周长为：；
根据题意得：，
，，
，
，
在中，，
的周长为：，
；
，
当时，点Q在上运动，此时，；
当时，点Q在上运动，此时，；
综上，；
（2）解：函数图象如图所示：
函数的图象在时，有最大值3；
（3）解：根据函数图象：
当时，，
时，或
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
【变式5-1】如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
(2)求直线，曲线的解析式；
(3)求矩形的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)当时，矩形的面积的最大值为
【分析】
（1）根据已知条件建立平面直角坐标系，在图中描出相应的点即可；
（2）设直线的解析式为，的解析式为，将点，两点代入即可求出直线的解析式，将点代入反比例函数图像，即可求出的解析式；
（3）设点的横坐标为，则点坐标为，表示出，点坐标为，的面积为，将坐标代入，利用二次函数最大值问题求出最后结果．
【详解】（1）解：如图
（2）设直线的解析式为，将点，代入得直线的解析式为：，
由点得曲线的解析式为：．
（3）如图，设点的横坐标为，则点坐标为，
，
四边形是矩形，
，
点坐标为，
设矩形的面积为，
，
当时，矩形的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标系中描点的问题，涉及到一次函数和反比例函数解析式的求解，二次函数的实际应用，注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，研究其最值是解答本题的关键．
【变式5-2】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式—利用函数图象研究其性质—运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y＝||﹣4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)该函数的自变量取值范围是 ；表中p＝ ，q＝ ，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 …
y＝||﹣4 … 1 p 4 ﹣ q ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ …
(2)根据函数图象写出该函数的一条性质： ．
(3)已知函数y＝﹣x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣4＜﹣x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【答案】(1)x≠﹣1，2，0；p＝2，q＝0，见解析
(2)x<﹣1时，y随x值的增大而增大
(3)x<﹣3或﹣0.4【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围；利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知：x<-1时，y随x值的增大而增大；
（3）首先确定函数与函数的图象交点横坐标，确定出函数的图象在函数图象下方时自变量取值范围即可．
【详解】（1）∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
∴函数y＝||﹣4的自变量x的取值范围是x≠﹣1，
把x＝﹣3代入y＝||﹣4得，
∴
把﹣代入函数关系式y＝||﹣4得，
∴q＝0，
画出函数图象如图：
故答案为x≠﹣1，2，0．
（2）观察图象可知：x<﹣1时，y随x值的增大而增大；
故答案为：x<﹣1时，y随x值的增大而增大；
（3）由图象可知，函数与函数的图象交点横坐标分别为-3，-0.4，1
∵当x<﹣3或﹣0.4∴不等式||﹣4<﹣x﹣1的解集为x<﹣3或﹣0.4【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
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