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21第15章《分式》阶段检测卷(一)
(测试范围:第15.1分式～15.2分式的运算 解答参考时间:90分钟,满分:120分)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．4a D．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
3．（3分）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
5．（3分）计算：（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
6．（3分）下列分式，属于最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）式子（x﹣1）0﹣（x﹣2）﹣1中，字母x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．1＜x＜2 C．x＞1且x≠2 D．x≠1且x≠2
8．（3分）下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（3分）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．x B．y C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）化简 ．
13．（3分）与的最简公分母是 ．
14．（3分）已知x2﹣2x﹣2＝0，则代数式的值为 ．
15．（3分）已知，则的值为 ．
16．（3分）已知a、b为实数，且ab＝1，设，，则M、N的大小关系是M N．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）a2b3 （a2b﹣2）﹣2．
20．（8分）先化简，再求值：（a+2），其中a是使不等式1成立的正整数．
21．（8分）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，例如3×4﹣2×5＝2．请按上述提供的方法化简．
22．（10分）甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为（m2﹣1）亩，乙地的种植面积为（m﹣1）2亩（m＞1），最后两块土地收获的水稻重量都是200kg．请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？
23．（10分）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列三组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）；
（2）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值．
24．（12分）设．
（1）化简M；
（2）当a＝3时，记此时M的值为f（3）；当a＝4时，记此时M的值为f（4）；解关于x的不等式f（3）+f（4）+…+f（11）．中小学教育资源及组卷应用平台
21第15章《分式》阶段检测卷(一)
(测试范围:第15.1分式～15.2分式的运算 解答参考时间:90分钟,满分:120分)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．4a D．
【思路点拔】根据分式的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、不是分式，故不符合题意；
B、不是分式，故不符合题意；
C、4a不是分式，故不符合题意；
D、是分式，故符合题意，
故选：D．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【思路点拔】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：B．
3．（3分）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
【思路点拔】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：A．
5．（3分）计算：（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【思路点拔】先把分式的分子因式分解，再约分即可．
【解答】解：
＝a，
故选：D．
6．（3分）下列分式，属于最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据最简分式是定义判断即可．
【解答】解：A是最简分式，
B可以化简为：原式，
C可以化简为：原式，
D可以化简为：原式x+y．
故选：A．
7．（3分）式子（x﹣1）0﹣（x﹣2）﹣1中，字母x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．1＜x＜2 C．x＞1且x≠2 D．x≠1且x≠2
【思路点拔】直接利用负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案．
【解答】解：式子（x﹣1）0﹣（x﹣2）﹣1中，x﹣1≠0且x﹣2≠0，
解得：x≠1且x≠2．
故选：D．
8．（3分）下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决．
【解答】解：A、应等于，故A错误；
B、正确；
C、应等于，故C错误；
D、应等于，故D错误；
故选：B．
9．（3分）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【思路点拔】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2＝x+1，继而可得答案．
【解答】解：原式＝[]
，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式1．
故选：A．
10．（3分）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．x B．y C． D．
【思路点拔】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后利用总路程除以总时间可得平均速度．
【解答】解：设从学校到家路程为s，
平均速度是：2s÷（）＝2s÷（）＝2s，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【思路点拔】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
12．（3分）化简 a+1 ．
【思路点拔】利用分式性质把1﹣a先转化成a﹣1，再计算即可．
【解答】解：原式a+1，
故答案是a+1．
13．（3分）与的最简公分母是 2x（x+1）（x﹣1） ．
【思路点拔】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与的分母分别为：2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），x2﹣x＝x（x﹣1），则与的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2x（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）已知x2﹣2x﹣2＝0，则代数式的值为 2 ．
【思路点拔】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，接着约分得到x2﹣2x，然后利用整体代入的方法得到原分式的值．
【解答】解：
＝x（x﹣2）
＝x2﹣2x，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
即原式＝2．
15．（3分）已知，则的值为 ﹣3 ．
【思路点拔】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：设k≠0，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以，3．
故答案为：﹣3．
16．（3分）已知a、b为实数，且ab＝1，设，，则M、N的大小关系是M ＝ N．
【思路点拔】根据已知条件，把M、N的值化简，再比较．
【解答】解：∵M，
，
ab＝1，
∴M＝1，N＝1，
∴M＝N．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【思路点拔】根据绝对值性质、零指数幂、负整数指数幂运算法则运算即可．
【解答】解：原式＝2023+1﹣6+4
＝2022．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拔】（1）确定公分母（a+2）（a﹣2），先通分，然后按同分母加法法则运算即可；
（2）确定公分母为（x﹣y），将分母适当变形后按同分母加法法则运算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝1．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）a2b3 （a2b﹣2）﹣2．
【思路点拔】（1）根据分式的乘除运算以及加减运算即可求出答案．
（2）根据负整数指数幂的意义以及同底数幂的乘法运算即可求出答案．
【解答】解：（1）原式
＝0．
（2）原式＝a2b3 （a﹣4b4）
＝a﹣2b7
．
20．（8分）先化简，再求值：（a+2），其中a是使不等式1成立的正整数．
【思路点拔】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
∵1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1，
∴原式．
21．（8分）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，例如3×4﹣2×5＝2．请按上述提供的方法化简．
【思路点拔】根据新定义列出算式，再计算即可．
【解答】解：
＝a×1（a2﹣1）
＝a （a+1）（a﹣1）
＝a﹣（a﹣1）
＝a﹣a+1
＝1．
22．（10分）甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为（m2﹣1）亩，乙地的种植面积为（m﹣1）2亩（m＞1），最后两块土地收获的水稻重量都是200kg．请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？
【思路点拔】先表示出甲地、乙地每亩水稻的产量得到甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为，然后计算即可．
【解答】解：甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为，
，
∵m＞1，
∴m﹣1＜m+1，
∴01，
∴乙地每亩水稻的产量高．
故甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高．
23．（10分）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列三组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 ②③ （只填序号）；
（2）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值．
【思路点拔】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据分式与属于“友好分式组”，得||＝2，求出①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．
【解答】解：（1）①2，
②2，
③||＝||＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵||
＝||
＝||
＝||，
∵与属于“友好分式组”，
∴||＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入，
把②代入，
综上所述：的值为或．
24．（12分）设．
（1）化简M；
（2）当a＝3时，记此时M的值为f（3）；当a＝4时，记此时M的值为f（4）；解关于x的不等式f（3）+f（4）+…+f（11）．
【思路点拔】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子；
（2）根据（1）中的结果和解一元一次不等式的方法，可以求得所求不等式的解集．
【解答】解：（1）M
；
（2）∵，
∴f（3），f（4），…，f（11），
∴f（3）+f（4）+…+f（11），
∵f（3）+f（4）+…+f（11），
∴，
解得x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4．
