2024-2025学年天津市部分区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市部分区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过、两点，则直线的倾斜角的大小为( )
A. B. C. D.
2.直线：的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
3.直三棱柱中，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线垂直，则实数( )
A. B. C. D. 或
5.在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：，：，，且与间的距离为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.空间内有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知经过原点的直线与圆：相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知圆：，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知，，若，则实数的值为______．
11.若直线与圆相切，则实数 ______．
12.如图，正方体的棱长为，若，分别是线段，的中点，则线段的长为______．
13.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
14.已知，，，则的面积为______．
15.给出下列命题：
直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是；
若点关于直线的对称点为，则的坐标为；
圆：上恰有个点到直线的距离为．
其中正确的命题有______把所有正确的命题的序号都填上
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，，，．
求；
若，求实数，的值．
17.本小题分
已知直角的直角顶点，且，在轴上．
求点的坐标；
求斜边中线的方程．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆：．
求圆的方程；
判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长．
20.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面．
求证：；
求平面与平面夹角的大小；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.或
14.
15.
16.解：已知，，，，．
，
，；
；
，
因为，所以设，
即，故，解得．
17.解：设顶点的坐标为，由题可得，
解得，故点的坐标为；
由可知斜边的中点为，
则斜边的中线的斜率为，
代入点斜式方程得，即．
18.证明：连接，
在中，因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
解：在直三棱柱中，，
则，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，．
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
设点到平面的距离，又，
则，
所以点到平面的距离为．
19.解：圆经过点，，且圆心在直线上，圆：．
，中点坐标
直线的斜率为，
直线的垂直平分线的斜率为，
直线的垂直平分线的方程，
即：，联立方程，
解方程组得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为：．
圆圆心，半径，
由圆圆心，半径，
，
，
所以圆和圆相交，
设交点为，，直线方程为
即：．
，运用点到直线距离公式计算得到到直线的距离，
所以．
两圆公共弦的长．
20.解：证明：因为是正方形，，是，的中点，
所以，
因为平面，且，平面，
所以，，
所以以为原点，，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，，
因为，
所以，即；
由知，，，
，，
设平面的法向量为，则，
则，即，
令，得，，所以，
设平面的法向量为，则，
则，即，
令，得，，所以，
设平面与平面夹角，
则，
因为，所以，
所以平面与平面夹角的大小为．
由题可知，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
所以，
即，所以，
所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得：，解得或舍，所以，
即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
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