2024-2025学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与直线：平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知三棱柱的侧棱长为，底面是边长为的正三角形，，若和相交于点则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点若的中点坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量，共面
10.已知直线：，圆：，以下正确的是( )
A. 与圆不一定存在公共点
B. 圆心到的最大距离为
C. 当与圆相交时，
D. 当时，圆上有三个点到的距离为
11.已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，，下列判断正确的是( )
A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D. 若点为的上支上的一点，则的内切圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为______．
13.过双曲线的两个焦点分别作实轴的垂线，交于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则的离心率为______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是圆，且该圆的圆心在这两定点所在直线上长方体中，，点在棱上，，为的中点，动点满足若在底面所在平面内运动，则：的运动轨迹所围图形的面积是______；三棱锥体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
求圆的方程；
过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点．
证明：平面；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长是，求．
18.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，平面和平面为多面体的所有以为顶点的面现给出如图所示的三棱锥．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为；
求直线与直线所成角的余弦值；
点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点．
求的方程；
过且不垂直于坐标轴的直线交于，两点，点为的中点，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
参考答案
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15.解：已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点，
易知过点且与直线垂直的直线斜率为，
故圆心与切点连线方程为，
联立解得，
所以圆的圆心坐标为，
所以圆的半径为，
则圆的方程为；
如图，由可知圆的方程为，
因为过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则，即，解得或，
所以直线的方程为或．
16.解：证明：以点为坐标原点，，，分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
，
设平面的一个法向量为，
则，则，
即，
令，得，，
则．
又，可得，
因为平面，所以平面．
因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
易知，
则点到平面的距离为．
易知，
设平面的一个法向量为，
则，则，
即，令，，，
则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：由圆：，可知圆心；圆：，圆心，半径．
设动圆的半径为，
动圆与圆外切并与圆内切，，
而，由椭圆的定义可知：动点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，
，，．
曲线的方程为去掉点
设曲线上任意一点，
由于，所以，当且仅当的圆心为，时，其半径最大，其方程为．
的倾斜角为，直线的方程为，．
若的倾斜角不为，由于的半径，可知与轴不平行，
设与轴的交点为，则，可得，所以可设：，
由与相切可得：，解得．
直线的方程为，
代入，可得，．
18.解：根据离散曲率的定义得：，
，，
，
所以；
因为平面，平面，
所以，且，，，平面，
所以平面，平面，
所以，
所以，
所以，所以，
如图，将三棱锥补成正方体，
因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角，
而是等边三角形，所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
过点作于点，连结，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
由题可得：，，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
设，，，
在中，，
所以，
解得：或舍，
故．
19.解：因为，所以，
因为点在椭圆上，所以．
即，解得，所以，
所以椭圆的方程为．
由得，依题意设：，
由消去，得，
设，，则，
设，则，
，
由得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，
令且，
则，解得，且，
所以，所以的取值范围为．
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