2024-2025学年河南省金科新未来大联考高三（上）质检数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年河南省金科新未来大联考高三（上）质检
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，则( )
A. B. C. D.
3.设为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，若平面与平面的交线为，则( )
A. B. C. 平面 D. 平面
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.若直线是函数的一条切线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，设甲：，乙，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.如图，在四边形中，为正三角形，，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 为的周期
B. 函数的值域为
C. 函数有且仅有两个零点
D. 满足的的取值范围是
11.已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知底面半径相等的圆锥和圆柱的侧面积相等，若圆锥的母线长是底面半径的倍，则圆锥与圆柱的体积之比为______．
14.已知数列满足，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象关于点中心对称．
求，的值；
若，当时，的最小值为，求的值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且，．
求；
若，设，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，．
证明：平面；
已知平面与平面的夹角的余弦值为，求．
18.本小题分
已知函数．
若单调递增，求的取值范围；
已知，且．
若，证明：；
证明：．
19.本小题分
设数列的前项和为，且．
证明：数列是等比数列；
若，恒成立，求的取值范围；
判断是否存在正整数，，满足，若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：根据题意可得，
所以，
解得，因此，．
根据第一问可知，函数，那么导函数，
因此当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
如果，那么函数在区间内的最小值为，
所以，解得或，均不符题意；
如果，那么在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在区间内的最小值为，解得，符合题意．
综上所述，．
16.解：由及正弦定理，
可得，
整理可得，
因为，，
所以，
整理得，
解得或舍，
所以；
由可知，，
所以，
又因为，所以，
由正弦定理可得，，解得，
依题意，由，可得，
即，即，
所以，
所以．
17.解：证明：设为中点，因为四边形为菱形，所以，
因为，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以平面；
如图，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，且，
，
，
设平面的法向量为，
则，所以
即
所以令，则，
由可知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
联立，
解得，
所以，
可得．
18.解：根据题意可得定义域，导函数，
所以恒成立，
令函数，那么导函数，
当时，导函数，函数单调递增，
当时，导函数，函数单调递减，
因此当时，函数取得极小值，也是最小值，，
因此．
证明：不妨设，则，
由可知，，
所以，
设，
所以单调递增，，
所以；
证明：由可知，当，时，，
即，即当时，，
又因为，得，所以，
又因为，所以，所以，
所以．
19.证明：已知，
当时，，解得，
当时，有，
得，，即，
整理得，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由可得，，即，
，
由，恒成立，得，
设，
则，
当时，有，
当时，有，可得，
则的最大项为，
的取值范围是；
解：假设存在正整数，，满足，
则，即，可得，
由且，，知当时，是递减数列，，
设，则，
当时，不符题意；
当时，，此时符合题意；
当时，，不符题意；
当时，，不符题意；
当时，，
，
，与为正整数不符，可知当时，不符题意．
综上所述，存在正整数，，满足．
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