27.2.2 相似三角形的性质 分层练习（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

27.2.2 相似三角形的性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1．已知,和分别为两三角形的高,且,则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图,,相似比为,,分别是边,上的中线,则________．
3．若两个三角形相似,相似比为,则它们对应的角平分线之比是________,若其中较小三角形的一条角平分线的长为,则另一个三角形对应角平分线的长为________．
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
4．[2023重庆]若两个相似三角形周长的比为,则这两个三角形对应边的比为 （ ）
A． B． C． D．
5．[2023泰州改编]若两个相似图形的周长比为，则相似比为________.
6．如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,和的顶点都在网格线的交点上.设的周长为,的周长为,则的值为 ________．
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
7．[2023南通]如图，在中，，分别是，的中点，连接，则________.
8．已知,,边上的中线,的周长为,的面积为.
（1） 求边上的中线的长；
（2） 求的周长；
（3） 求的面积.
易错点 误以为“相似三角形面积的比等于相似比”而导致出错
9．已知,若面积比为,则它们对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
B组·能力提升 强化突破
10．三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图,是的重心.求证：.
11．如图,在中,点,,分别在,,边上,,．
（1） 求证：.
（2） 设.
① 若,则线段的长为____；
② 若的面积是20,求的面积．
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．【创新意识,推理能力】小明读了托勒密的生平、贡献,对“托勒密定理”很感兴趣,并进行了下列的研究,请完成他的研究．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图①,______．
求证：______．
证明：如图②,作,交于点,
……
（1） 请帮小明在横线上写出已知和求证,并完成证明过程；
（2） 如图③,已知正五边形内接于,,直接写出对角线的长．
27.2.2 相似三角形的性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1．A
2．
3．；
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
4．B
5．
6．
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
7．
8．（1） 解：,,边上的中线,
,.
（2） ,,
的周长为,
,.
（3） ,,
的面积是,
,.
易错点 误以为“相似三角形面积的比等于相似比”而导致出错
9．D
B组·能力提升 强化突破
10．证明：如答图,连接.
第10题答图
是的重心,
点和点分别是，的中点,
是的中位线,
,,
,,
,.
11．（1） 证明：,.
,,
.
（2） ① 4
② 解：,.
,,
,
．
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1） 四边形内接于； ； 证明：如图②,作,交于点.
,,
,,
.
,．
,
,
即,
,,
,
,
即.
（2） 解：对角线的长为．