第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 锐角的正弦定义
1．如图,在中, ,,则的值为（ ）
第1题图
A． B． C． D．1
2．如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,则 的值为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2022滨州]在中, ,,,则的值为__________．
4．在中, ,,则________.
5．（教材P63例1变式）如图,在中, ,分别求出图中,的正弦值.
知识点2 已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长
6．如图,在中, ,,,则__．
7．如图,在中, ,,,求,的长.
易错点 对正弦的定义理解不透彻导致的错误
8．[2022岳阳模拟]在中, ,若的三边都扩大为原来的2倍,则的值（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．无法确定
B组·能力提升 强化突破
9．如图,在中, ,,垂足为.若,,则的值为（ ）
第9题图
A． B． C． D．
10．[2022黔东南州]如图,,分别与相切于点,,连接并延长与交于点,.若,,则的值为（ ）
第10题图
A． B． C． D．
11．如图,的直径,且,垂足为,,则________．
第11题图
12．如图①是一张三角形纸片,其中, ，.如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形如图②所示,那么在中,________,________.
第12题图
13．[2023益阳]如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则________.
14．如图,在正方形中,是的中点,,求的值．
C组·核心素养拓展 素养渗透
15．[2022扬州]【推理能力,运算能力】如图,为的弦,交于点,交过点的直线于点,且．
（1） 试判断直线与的位置关系,并说明理由；
（2） 若,,求的长．
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 锐角的正弦定义
1．C 2．C
3．
4．
5．解：图①中,,,.
图②中,,
,
.
知识点2 已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长
6．10
7．解：,,
.
,即,
解得（负值已舍去）,.
易错点 对正弦的定义理解不透彻导致的错误
8．C
B组·能力提升 强化突破
9．A 10．A
11．
12．；
13．
14．解：设,则,,,
,
,
,
,
是直角三角形, ,
．
C组·核心素养拓展 素养渗透
15．（1） 解：直线与相切.理由如下：
如答图,连接.
第15题答图
,.
,.
,, .
,
即 .
为的半径,
直线与相切.
（2） 在中,,
设,则.
,,
解得或（不合题意,舍去）,
.
,.
,,
,
解得.第4课时 用计算器求锐角三角函数值和锐角的度数
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用计算器求已知角的三角函数值
1．用计算器求 的值,正确的按键顺序是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2022新邵模拟]利用计算器求 的值时,依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
3．用计算器计算（精确到）：
（1） ________________;
（2） ________________;
（3） ________________.
4．用计算器求下列锐角三角函数值（精确到）：
（1） ;
（2） ;
（3） ．
知识点2 已知锐角三角函数值,利用计算器求锐角的度数
5．一辆小车沿着如图的斜坡向上行驶了,其垂直高度上升了.在用科学计算器求坡角 的度数时,正确的按键顺序是（ ）
A． B．
C． D．
6．若,则锐角 ____________；若,则锐角 ____________（精确到）.
知识点3 计算器辅助解决含三角函数的实际问题
7．如图,一个人从山脚下的点出发,沿山坡小路走到山顶点.已知坡角为 ,山高.用科学计算器计算小路的长度,下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2023广东]2023年5月30日，“神舟十六号”载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角 时，，两点间的距离约为____.（结果精确到.参考数据：，，）
B组·能力提升 强化突破
9．[2022福建]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰,其中, ,,则高约为（参考数据：,,）（ ）
A． B． C． D．
10．[2023凤凰模拟]图①是一部手机支架,图②是其侧面示意图,,可分别绕点,转动,测得,, , ．
（1） 在图②中,过点作,垂足为,则__ ；
（2） 求点到的距离（结果精确到.参考数据：,,,）.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．[2022张家界]【推理能力,应用意识】阅读下列材料：
在中,,,所对的边分别为,,,求证：．
证明：如图①,过点作于点.
在中,,
在中,,
,
.
根据上面的材料,解决下列问题：
（1） 如图②,在中,,,所对的边分别为,,,求证：；
（2） 如图③,某旅游区规划中的一片三角形区域需美化,已知 , ,,求这片区域的面积（参考数据：,）．
第4课时 用计算器求锐角三角函数值和锐角的度数
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用计算器求已知角的三角函数值
1．A 2．D
3．（1）
（2）
（3）
4．（1） 解：.
（2） .
（3） ．
知识点2 已知锐角三角函数值,利用计算器求锐角的度数
5．A
6．；
知识点3 计算器辅助解决含三角函数的实际问题
7．A
8．15.3
B组·能力提升 强化突破
9．B
10．（1） 20
（2） 解：如答图,过点作,垂足为,过点作,垂足为.
第10题答图
则, ,
由（1）知 .
在中, ,,
.
在中,,
,
.
点到的距离约为．
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．（1） 证明：如答图①,过点作于点.
第11题答图
在中,,
在中,,
,
.
（2） 解:如答图②,过点作于点.
, , .
在中,.
又,即,
,
．
这片区域的面积约为.第2课时 锐角三角函数
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 锐角三角函数的概念
1．如图,已知在中, ,,,则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．[2023新宁模拟]在中, ,若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中, ,,,则________,________,________,________,________,________.
4．在中, ,,.
（1） 求的长；
（2） 求,,的值．
知识点2 由一个锐角三角函数值求其他锐角三角函数值
5．如图,在中, ,,则的值为（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．如图,在中, ,,,则的值为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．在中, ,,则________．
8．如图,在中, ,,求,的值．
易错点 对锐角三角函数的定义理解不透彻导致的错误
9．[2022邵阳模拟]如图,在中, ,设,,所对的边分别是,,,则下列各等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
B组·能力提升 强化突破
10．如图,半径为3的经过原点和点,是轴左侧上的一点,则（ ）
A． B． C． D．
11．[2022凉山州]如图,在边长为1的正方形网格中,是的外接圆,点,,在格点上,则的值为 ____________．
第11题图
12．[2022张家界]我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”,它体现了中国古代数学的成就．如图,已知大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,那么________．
第12题图
13．如图,在中,,垂足为.若,,,求的值．
C组·核心素养拓展 素养渗透
14．【创新意识,推理能力】把记作 ,根据图完成下列各题：
（1） 如图①,____；
如图②,____；
如图③,____.
（2） 观察上述等式后猜想：在中, ,总有____.
（3） 如图④,在中证明（2）问中的猜想.
（4） 已知在中, ,且,求的值.
第2课时 锐角三角函数
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 锐角三角函数的概念
1．A 2．B
3．； ； ； ； ；
4．（1） 解：由勾股定理,得
.
（2） ,,
.
知识点2 由一个锐角三角函数值求其他锐角三角函数值
5．B 6．B
7．
8．解：,
设,
．
由勾股定理,得
.
,.
易错点 对锐角三角函数的定义理解不透彻导致的错误
9．A
B组·能力提升 强化突破
10．D
11．
12．
13．解：在中,,,
,.
,.
在中,.
,.
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
14．（1） 1； 1； 1
（2） 1
（3） 证明：,,且,,即.
（4） 解：在中,
, .
,,
解得或（舍去）,
.第3课时 特殊角的锐角三角函数值
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 特殊角的锐角三角函数值
1．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2022益阳模拟]计算 的值是（ ）
A． B．0 C． D．
3．[2023天津]计算的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．计算：__________.
5．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
知识点2 由三角函数值求特殊角
6．[2023岳阳模拟]已知为锐角,若,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．李红同学遇到了这样一道题：,则锐角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图,在中,,, ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 为锐角,若,则________；若,则________；若,则________________.
10．在中, ,,,则 ________.
11．求下列等式中的锐角 的度数：
（1） ；
（2） ．
易错点 记错特殊角的三角函数值
12．计算：____．
B组·能力提升 强化突破
13．[2022慈利模拟]在中,若,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图,已知点,,以点为圆心,的长为半径作圆,交轴的正半轴于点,则__ .
15．计算：
（1） [2023株洲] ；
（2） [2023邵阳].
C组·核心素养拓展 素养渗透
16．[2022绥化]【模型观念】定义一种运算： ,
．例如：当 , 时,,则 的值为 __________．
17．【几何直观】如图,在中, ,延长到点,连接, ,求 的值.
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 特殊角的锐角三角函数值
1．D 2．C 3．B
4．
5．（1） 解：原式.
（2） 原式
.
（3） 原式
．
知识点2 由三角函数值求特殊角
6．B
7．D
8．C
[解析]在中,,,
,则 ．故选C．
9．； ；
10．
11．（1） 解：,.
为锐角，
.
（2） ,
,.
为锐角， ．
易错点 记错特殊角的三角函数值
12．0
B组·能力提升 强化突破
13．C
[解析]由题意得,,,
即,,
, ,
.故选C.
14．60
[解析]由点,,可得的半径为2,,, 在中,, .
15．（1） 解：原式
.
（2） 原式.
C组·核心素养拓展 素养渗透
16．
[解析]．
17．解： , ,
.
.
设,在中,
,
,
.
,
.
在中,.
