第二十八章 锐角三角函数 单元复习课（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数 单元复习课（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 280.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-02 21:38:43 | ||
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文档简介
第二十八章 锐角三角函数 复习课
整合提升 练就四能
类型之1 锐角三角函数的定义
1．[2022桃江模拟]如图,在中, ,于点,则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2023内江]在中，，，的对边分别为，，，且满足，则的值为________.
3．[2023宿迁]如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.，，三点都在格点上，则________.
第3题图
4．如图,已知是的直径, ,连接,．若,则的值为 ________.
第4题图
类型之2 特殊角的三角函数值
5．计算：
（1） ;
（2） .
类型之3 解直角三角形
6．如图,点,,在每个正方形边长为1的网格的格点上,则（ ）
A． B． C． D．
7．根据下列条件,解直角三角形.
（1） 在中, ,,；
（2） 在中, , ,
8．如图，在中， ，，，点在上，且.
（1） 的长为____；
（2） 求的值.
类型之4 解直角三角形的应用
9．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接.设 ， .若正方形与正方形的面积之比为， ，则（ ）
第9题图
A．5 B．4 C．3 D．2
10．某海域有,两个航标,航标在航标北偏西 方向上,距航标.有一艘巡航船从航标出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于航标南偏东 方向的航标处．
第10题图
（1） __ ,__ ；
（2） 该船与航标之间的距离为______________．
11．[2023邵阳模拟]如图,四边形是某水库大坝的横截面示意图,坝高,背水坡的坡角为 .现需要对大坝进行加固,使上底加宽,且加固后背水坡的坡度.求加固后坝底增加的宽度的长．
12．[2023嘉兴、舟山]图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为 ，摄像头的高度,识别的最远水平距离.
（1） 身高的小杜，头部高度为,他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2） 身高的小若，头部高度为,踮起脚尖可以增高,但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 （如图③），此时小若能被识别吗？请计算说明.
（结果精确到.参考数据：，，，，，）
类型之5 解直角三角形与圆的结合
13．[2023长沙模拟]如图,在中,,以为直径的分别交,边于点,,过点作于点．
（1） 求证：是的切线；
（2） 若,且,求的半径及的长．
类型之6 数学活动
14．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示.
（1） 如图②，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为 ，用含 的代数式表示 为______________.
（2） 如图③，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点，处分别测得气球的仰角为 ，为 ，地面上点，，在同一水平直线上，,求气球离地面的高度.（参考数据：，，）
素养专练 培养三会
15．【几何直观】如图,的顶点在边长均相同的正方形网格的格点上,则的值为（ ）
第15题图
A． B． C．2 D．
16．【几何直观】如图,在由边长为1的小正方形构成的网格中,点,,都在格点上,以为直径的圆经过点,,则的值为（ ）
第16题图
A． B． C． D．
17．【几何直观】如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中, , 如图所示，则________.
本章复习课
整合提升 练就四能
类型之1 锐角三角函数的定义
1．A
2．
3．
4．
类型之2 特殊角的三角函数值
5．（1） 解：原式．
（2） 原式．
类型之3 解直角三角形
6．B
7．（1） 解： ,,,
.
, ．
.
（2） , ．
.
,即,
．
8．（1） 4
（2） 解：设,则.
在中，，
即，解得，
，，
.
类型之4 解直角三角形的应用
9．C
10．（1） 45； 60
（2）
11．解：如答图,分别过点,作,交于点,.
第11题答图
四边形是梯形,且,
,,
四边形是矩形,
,.
在中, ,
.
在中,,
,
．
答：加固后坝底增加的宽度的长是．
12．（1） 解：如答图①,过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点.
第12题答图①
在中， ，
.
，， ，
，
,
，
小杜最少需要下蹲才能被识别.
（2） 如答图②，过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点.
第12题答图②
在中， ，
.
，， ，，
,
，
小若踮起脚尖后头顶的高度为，
小若头顶超出点的高度为,
踮起脚尖小若能被识别.
类型之5 解直角三角形与圆的结合
13．（1） 证明：如答图①,连接.
第13题答图①
,.
,,
,.
,.
又为的半径,
是的切线.
（2） 解：如答图②,连接,.
为的直径,
,即.
,,
.
在中,,
设,则,
,
,
解得（负值已舍去）,
,
的半径为.
四边形是的内接四边形,
.
又,
,
,,,
．
第13题答图②
类型之6 数学活动
14．（1）
（2） 解：设,
， ，
.
,.
在中， ,
，
即，解得，
经检验是方程的解，且符合题意，
.
答：气球离地面的高度约是.
素养专练 培养三会
15．A 16．A
17．
整合提升 练就四能
类型之1 锐角三角函数的定义
1．[2022桃江模拟]如图,在中, ,于点,则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2023内江]在中，，，的对边分别为，，，且满足，则的值为________.
3．[2023宿迁]如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.，，三点都在格点上，则________.
第3题图
4．如图,已知是的直径, ,连接,．若,则的值为 ________.
第4题图
类型之2 特殊角的三角函数值
5．计算：
（1） ;
（2） .
类型之3 解直角三角形
6．如图,点,,在每个正方形边长为1的网格的格点上,则（ ）
A． B． C． D．
7．根据下列条件,解直角三角形.
（1） 在中, ,,；
（2） 在中, , ,
8．如图，在中， ，，，点在上，且.
（1） 的长为____；
（2） 求的值.
类型之4 解直角三角形的应用
9．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接.设 ， .若正方形与正方形的面积之比为， ，则（ ）
第9题图
A．5 B．4 C．3 D．2
10．某海域有,两个航标,航标在航标北偏西 方向上,距航标.有一艘巡航船从航标出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于航标南偏东 方向的航标处．
第10题图
（1） __ ,__ ；
（2） 该船与航标之间的距离为______________．
11．[2023邵阳模拟]如图,四边形是某水库大坝的横截面示意图,坝高,背水坡的坡角为 .现需要对大坝进行加固,使上底加宽,且加固后背水坡的坡度.求加固后坝底增加的宽度的长．
12．[2023嘉兴、舟山]图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为 ，摄像头的高度,识别的最远水平距离.
（1） 身高的小杜，头部高度为,他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2） 身高的小若，头部高度为,踮起脚尖可以增高,但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 （如图③），此时小若能被识别吗？请计算说明.
（结果精确到.参考数据：，，，，，）
类型之5 解直角三角形与圆的结合
13．[2023长沙模拟]如图,在中,,以为直径的分别交,边于点,,过点作于点．
（1） 求证：是的切线；
（2） 若,且,求的半径及的长．
类型之6 数学活动
14．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示.
（1） 如图②，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为 ，用含 的代数式表示 为______________.
（2） 如图③，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点，处分别测得气球的仰角为 ，为 ，地面上点，，在同一水平直线上，,求气球离地面的高度.（参考数据：，，）
素养专练 培养三会
15．【几何直观】如图,的顶点在边长均相同的正方形网格的格点上,则的值为（ ）
第15题图
A． B． C．2 D．
16．【几何直观】如图,在由边长为1的小正方形构成的网格中,点,,都在格点上,以为直径的圆经过点,,则的值为（ ）
第16题图
A． B． C． D．
17．【几何直观】如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中, , 如图所示，则________.
本章复习课
整合提升 练就四能
类型之1 锐角三角函数的定义
1．A
2．
3．
4．
类型之2 特殊角的三角函数值
5．（1） 解：原式．
（2） 原式．
类型之3 解直角三角形
6．B
7．（1） 解： ,,,
.
, ．
.
（2） , ．
.
,即,
．
8．（1） 4
（2） 解：设,则.
在中，，
即，解得，
，，
.
类型之4 解直角三角形的应用
9．C
10．（1） 45； 60
（2）
11．解：如答图,分别过点,作,交于点,.
第11题答图
四边形是梯形,且,
,,
四边形是矩形,
,.
在中, ,
.
在中,,
,
．
答：加固后坝底增加的宽度的长是．
12．（1） 解：如答图①,过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点.
第12题答图①
在中， ，
.
，， ，
，
,
，
小杜最少需要下蹲才能被识别.
（2） 如答图②，过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点.
第12题答图②
在中， ，
.
，， ，，
,
，
小若踮起脚尖后头顶的高度为，
小若头顶超出点的高度为,
踮起脚尖小若能被识别.
类型之5 解直角三角形与圆的结合
13．（1） 证明：如答图①,连接.
第13题答图①
,.
,,
,.
,.
又为的半径,
是的切线.
（2） 解：如答图②,连接,.
为的直径,
,即.
,,
.
在中,,
设,则,
,
,
解得（负值已舍去）,
,
的半径为.
四边形是的内接四边形,
.
又,
,
,,,
．
第13题答图②
类型之6 数学活动
14．（1）
（2） 解：设,
， ，
.
,.
在中， ,
，
即，解得，
经检验是方程的解，且符合题意，
.
答：气球离地面的高度约是.
素养专练 培养三会
15．A 16．A
17．