第二十八章 锐角三角函数 单元质量评估（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 质量评估
［时间：120分钟 分值：120分］
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中， ，,，则的值是（ ）
第1题图
A．2 B． C． D．
2．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，在中，，，则的值为（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．如图，在中，， ， ，则点到直线的距离为（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．点 ，关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图,一河坝的横断面为等腰梯形,坝顶宽,坝高为,斜坡的坡度,则坝底的宽度为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．如图，有一天桥高为，是通向天桥的斜坡， ，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使 ，则的长约为（参考数据：，）（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2， ，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
9．如图，已知月球到地球的平均距离约为38万公里，点到月球的平均距离约为6.5万公里.某刻，测得线段与垂直， ，则下列计算“鹊桥”中继星到地球的距离的方法正确的是（ ）
第9题图
A． B．
C． D．
10．如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成 角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影的长为，则大树的高为（ ）
第10题图
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：__________.
12．在中,如果,满足,那么________________.
13．如图,是的直径,,,则________.
第13题图
14．桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，如图，杠杆，，支架于点，，可以绕着点自由旋转.当点旋转到 时，此时点到水平地面的距离为________.（结果保留根号）
第14题图
15．如图，有一个底面直径与杯高均为的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈 角时刚好能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面______.（参考数据:，，）
第15题图
16．将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形，连接，则________.
第16题图
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算： .
18．（6分）已知在中， .若, ,求，，.
19．（6分）如图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点，，，在同一条直线上.经测量，，， .
（1） 求“大碗”的口径的长；
（2） “大碗”的高度的长为____.
（结果精确到.参考数据：，，）
20．（8分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处.已知与水平线的夹角 ，点到水面的距离，点处水深为，到池壁的水平距离.点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为 ，折射角为 ，求的值.（结果精确到0.1.参考数据：，，）
21．（8分）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东 方向，后到达处，测得小岛在它的北偏西 方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（结果精确到.参考数据：，）.
22．（9分）如图①，塑像在底座上，点是人眼所在的位置.当点高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过，两点的圆与水平视线相切时（如图②），在切点处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角.
（1） 请仅就图②的情形证明；
（2） 经测量，最大视角为 ，在点处看塑像顶部点的仰角为 ，点到塑像的水平距离为，求塑像的高.（结果精确到.参考数据：）
23．（9分）如图①，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的.如图②是某种型号飞机的机翼形状，其中，，， ，请你根据图中的数据计算的长度.（结果精确到.参考数据：，）
24．（10分）根据下列的素材，探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不允许安装.
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为 ，冬至日时， ；夏至日时， .（参考数据：，，；，，；，，；，，）
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为.为某时刻的太阳光线.
问题解决
任务一
确定使用数据
（1） 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择____日（填冬至或夏至）时， 为________（填 ， ， ， 中的一个）进行计算；
任务二
探究安装范围
（2） 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
25．（10分）如图①，在中， ，，是的中点，点是边上一点，连接，在线段的左侧作，射线与边交于点.
（1） 求证：；
（2） 若，求的值；
（3） 如图②，过点作于点，与线段，分别交于点，，当点与点重合时，的值是________.
第二十八章质量评估
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．A 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．
15．21.15
16．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．解：原式.
18．解： ,
,
.
19．（1） 解：，，
.
， ，
四边形是矩形，
.
答：“大碗”的口径的长为.
（2） 40.0
20．解：如答图，过点作于点.
第20题答图
由题意可知， ，，四边形是矩形，
，
，，
，
.
，
.
21．解：由题意,得， ， .
如答图，过点作于点，
第21题答图
.
，.
，，
.
答：该船在航行过程中与小岛的最近距离约为.
22．（1） 证明：如答图，设与圆交于点，连接，则.
第22题答图
，
.
（2） 解：在中， ，，
.
， .
在中，，
.
答：塑像的高约为.
23．解：，， ，
第23题答图
， ，
如答图，过点作于点，则四边形是矩形.
，.
，
，
是等腰直角三角形，
.
，
，
，
.
答：的长度约为.
24．（1） 冬至；
（2） 解：如答图，过点作于点，
第24题答图
则 ，，，
在中，，
，
，
，
（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器.
25．（1） 证明：，，
，
，
.
（2） 解：如答图，过点作交于点.
第25题答图
， .
，,
,.
是的中点，
,
.
在中，由勾股定理,得,
，
，
.
（3）