第二十七章 相似 专项培优训练（六） 相似三角形的基本模型（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册

专项培优训练（六） 相似三角形的基本模型
一、X字型及其变形
（1）如图①,对顶角的对边平行,则；
（2）如图②,对顶角的对边不平行,且,则.
1．如图,在中,与交于点,为的中点,连接并延长交于点,则等于（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．将一副三角尺如图所示叠放在一起,则的值为________．
第2题图
3．如图,已知,,,,求的长．
二、A字型及其变形
（1）如图①,公共角的对边平行,则；
（2）如图②,公共角的对边不平行,且有另一组对角相等,则；
（3）如图③,公共角的对边不平行,两个三角形有一条公共边,且有另一组对角相等,则.
4．如图,在锐角中,点,分别在边,上,于点,于点,.求证：.
5．如图,与相交于点,点在上,且.求证：.
三、双垂型
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似,即
6．如图,在中,,垂足为,且,,则斜边的长为（ ）
第6题图
A． B．15 C． D．
7．如图,在中, ,是斜边上的高,若,,则____,________．
第7题图
四、M字型及其变形
（1）如图①,与的斜边互相垂直,则有；
（2）如图②,点,,在同一条直线上,,则再已知一组条件,可得与相似．
8．[2023邵阳]如图，，，点是线段上的一点，且.已知，，.则线段的长为____.
第8题图
9．[2023大庆]在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点.若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是__________.
第9题图
10．如图，已知为上一点， ，，，，则的长为____.
11．如图,在正方形中,为边的中点,点在边上,且 .
（1） 求证：；
（2） 若,延长交的延长线于点,求的长．
专项培优训练（六） 相似三角形的基本模型
一、X字型及其变形
1．D
2．
3．解：,
,
即.
又,.
,即,.
二、A字型及其变形
4．证明：在和中,
,,
.
又,
.
在和中,为公共角,又,
.
5．证明：,,
.
,.
.
.
.
三、双垂型
6．B
7．6；
四、M字型及其变形
8．3
9．
10．7
11．（1） 证明： 四边形为正方形,
.
.
, .
,.
（2） 解：,为的中点,
.
由（1）知,,
,即.
.
,.
,即,.
.