第二十七章 相似 单元复习课（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册

第二十七章 相似 复习课
整合提升 练就四能
类型之1 成比例线段
1．一组不为0的数,,,满足,则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
类型之2 平行线分线段成比例定理
2．如图,在中,点在边上,,是的中点,连接并延长交于点,则________.
类型之3 相似三角形的判定
3．如图,已知,．求证：．
4．[2022绥宁模拟]如图,正方形的边长为2,,为线段上两动点（不与点,重合）,且 ．
（1） 求证：；
（2） 试说明无论点,在线段上怎样运动,总有．
类型之4 相似三角形的判定与性质
5．[2023雅安]如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为（ ）
第5题图
A．4 B．6 C．8 D．10
6．[2023东营]如图，为等边三角形，点，分别在边，上， .若，，则的长为（ ）
第6题图
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
7．[2023徐州]如图，在中， ， ，，为的中点.若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
8．[2023常德]如图①，在中， ，，，是上一点，且，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图②的位置，则图②中的值为________.
类型之5 位似图形
9．[2023嘉兴、舟山]如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的相似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型之6 圆中相似
10．[2023永兴模拟]如图,是的外接圆的直径,点在的延长线上,且.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若,,求的长．
11．[2023绍兴]如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交的延长线于点.
（1） 若 ，求的度数；
（2） 若，，求的长.
类型之7 相似三角形的综合问题
12．[2023岳阳模拟]小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,他们碰到这样一道题：“已知正方形,点,,,分别在边,,,上,若,则.”为了解决这个问题,经过思考,大家给出了以下两种方案：
方案一：过点作交于点,过点作交于点；
方案二：过点作交于点,过点作交于点.
（1） 对小曼遇到的问题,请在两个方案中任选一个加以证明（如图①）；
（2） 如果把条件中的“正方形”改为“长方形”,并设,（如图②）,试探究,之间有怎样的数量关系,并证明你的结论；
（3） 如果把条件中的“”改为“与的夹角为 ”,并假设正方形的边长为1,的长为（如图③）,试求的长．
素养专练 培养三会
13．【应用意识】一个三角形木架三边长分别是,,,现要再做一个与其相似的三角形木架,但只有长为和的两根木条．要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边（允许有余料）,则不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
14．【推理能力】如图,在中,为边上一点,有下列四个条件：；；；.其中能判定与相似的条件是（ ）
①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
本章复习课
整合提升 练就四能
类型之1 成比例线段
1．C
类型之2 平行线分线段成比例定理
2．
类型之3 相似三角形的判定
3．证明：,
.
,
,
即,
,．
4．（1） 证明： 四边形是正方形,
.
,
.
又,
.
（2） 解：,,
.
同理可证,
,,
．
类型之4 相似三角形的判定与性质
5．C 6．C 7．D
8．
[解析] ，，，
.
，
，
.
将绕点顺时针旋转到图②的位置，
，
，
.
类型之5 位似图形
9．C
类型之6 圆中相似
10．（1） 证明:是的直径,
.
,
,,
,
,
,
.
又是的半径,
是的切线.
（2） 解：,,
,
,
.
,,
,
,
．
11．（1） 解：，
,
.
（2） 是的切线，
半径， .
，，，.
，，
，，.
类型之7 相似三角形的综合问题
12．（1） （选方案二）
证明：如答图①,过点作交于点,作交的延长线于点.
第12题答图
易得,,
在正方形中,, .
,,,
, .
.
在和中,,,,
.
,即.
（2） 解：.
证明：如答图②，过点作交于点,过点作交的延长线于点.
,.
在长方形中,, .
,,,
,
,
．
,
.
,,
.
.
（3） 解：如答图③，过点作交于点,过点作交于点.
易得．
在中,,,
．
如答图③，将绕点顺时针旋转 到．
,.
与的夹角为 ,
,
,
即 ,
从而易证,
．
设,则,．
在中,,解得．
．
素养专练 培养三会
13．B 14．A