玉溪一中高 2026届第三次月考
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5分、选错得 0分．
1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线 的标准方程为 ，则 ，即 ，
所以抛物线 的焦点到其准线的距离为 ．故选 B.
2. 直线 的斜率是（ ）
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
【答案】B
【解析】由题意得 k 2sin 210 2sin 30 1 . 故选 B.
3. 已知圆 C： 关于直线 对称，则 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】由 x2 y2
m
2x my 3 0 ，可得圆 C的圆心为 1,
.
2
因为圆 C关于直线 2x y 4 0 对称，所以由圆的对称性可知，圆心 m 1, 在直线 2x y 4 0 上，
2
则 2 m 4 0 ，解得m 4 ，故选 A.
2
4. 已知 ， ， 三点不共线，点 不在平面 内， （ ）若 ， ，
， 四点共面，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为 ， ， ， 四点共面，所以 ，
1
所以 ，当且仅当 时取“ ”．故选 B．
5. 如图，二面角 l 等于 ，A，B是棱 l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内， ， ，
且 ，则 CD的长等于（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】由二面角的平面角的定义知 BD,AC 120 ，
BD AC BD AC cos BD,AC 2 2 cos120 2 ，
由 AC l， BD l，得 AC BA 0， BD BA 0，DC DB BA AC，
2 2 2 2
DC (DB BA AC)2 DB BA AC 2DB BA 2DB AC 2BA AC
22 22 22 2BD AC 12 2 ( 2) 16 ，
所以 DC 4 ，即CD 4．故选 A．
6. 在空间中，“经过点 ，法向量为 的平面的方程（即平面上任意一点的坐标
满足的关系）是： ”．如果给出平面 的方程是 ，平
面 的方程是 ，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，因为平面 的方程是 x y z 1，所以法向量m 1, 1,1 ,
x y z
由平面 的方程是 1，所以法向量 n 1, 2, 1 ，
6 3 6
m ·n
2
cos m,n 1 2 1 2 2 sin m ,n
1 2
7
所以 ，所以 ，故选 A.m n 3 6 3 2 3 3 3
7. 已知双曲线 C： ，点 B的坐标为 ，若 C上的任意一点 P都满足 ，
则 C的离心率的取值范围是（ ）
2
A. B. C. D.
【答案】A
2 2 2
2 2 2 2 x y x2 a2 1 y 【解析】设P(x，y)，则由|PB|≥b得 x (y b) b，整理得 x +y -2by （0 *），由 2 2 1得 2 ，a b b
c2 4a2c2
代入不等式（*）中，化简得 y22 2by a
2 0 恒成立，则 4b2 2 0 ，即 b4 a2c2 ，即 b2 ac，b b
即 c2 a2 ac，可得 e2 e 1≤0 1 5 e 1 5，解得 ，又 e＞1 1 5，所以1 e ，故选 A．
2 2 2
8. 定义：若点 在椭圆 （ ）上，则以点 P 为切点的切线方程为
．已知椭圆 C： ，点 M为直线 上一个动点，过点 M作椭圆 C
的两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B，则直线 AB恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点 M在直线 x 2y 6 0上，设M (2t 6,t)， A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，
MA x1x y1y 1. M MA x1(2t 6) y1t所以 的方程为 又 在 上，所以 1①，
3 2 3 2
x (2t 6) y t x(2t 6) yt
同理可得 2 2 1②．由①②可得 AB的方程为 1，
3 2 3 2
即 2x(2t 6) 3yt 6，即 (4x 3y)t (12x 6) 0 ，
1
4x 3y 0,
x ,
所以 2 解得 故直线 AB
1 , 2恒过定点 .故选 C.
12x 6 0, y 2 , 2 3
3
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题满分 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 与直线 之间的距离为
B. 直线 在两坐标轴上的截距之和为
C. 将直线 绕原点逆时针旋转 ，所得到的直线为
D. 若直线 与直线 垂直，则 a＝3
【答案】AC
3
【解析】直线 与直线 之间的距离 ，故 A 正确；
对于直线 ，令 ，得 ，令 得 ，
所以直线 在两坐标轴上的截距之和为 ，故 B 错误；
直线 的倾斜角为 ，绕原点逆时针旋转 后，所得直线的倾斜角为 ，斜率为 ，
故 C 正确；若直线 ax+2y 1＝0 与直线(a+1)x 2ay+a＝0 垂直，则 a(a+1) 4a＝0，解得 a＝0 或 a＝3
故 D 不正确．故选 AC．
10. 已知 F是抛物线 C： （ ）的焦点，直线 AB经过点 F交抛物线于 A，B两点，则下列
说法正确的是（ ）
A. 以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 若 ，则直线 AB的斜率
C. 若 ， ，则 为定值 p2
D. 若 ，则 的最小值为 18
【答案】ACD
p p
【解析】A：由抛物线的方程可得焦点 F ,0
，准线方程为： x ，
2 2
设 A x1, y1 ,B x2 , y AB M x1 x2 , y1 y2 ，则 的中点 2 ，利用焦点弦的性质可得 | AB | x1 x2 p ， 2 2
x x p
而 AB的中点 M到准线的距离 d 1 2 1 x
1
1 x2 p | AB | ，2 2 2 2
以 AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此 A正确；
p 1 x my pB ：设直线 AB的方程为 x my ,k ，联立 2 ，整理可得： y
2 2mpy p2 0 ，
2 m 2 y 2 px
可得 y1 y
2
2 2mp, y1y2 p , AF 2FB, y 2y ，解得 y2 2mp, y1 4mp1 2 ，
1
8m2 p2 p2 2，解得 m ， ，因此 B不正确，C正确；
8
2
D：若 p 4，则抛物线 C : y2 8x ，不妨设 x x 0 (y， x x 1y2 )1 2 1 2 4 ，64
| AF | 4 1 4 | BF | x1 4x2 10 4x2 10 4 2 x2 10 18，当且仅当 x2 1, x1 4 时取等号，因此x2 x2
D 正确．故选 ACD.
4
11. 已知曲线 ： ，点 P(a,b)在曲线 上，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 有 4 条对称轴 B. 的最小值是
C. 曲线 围成的图形面积为 D. 的最大值是 1
【详解】ACD
1 1 1
【解析】当 x 0, y 0 x2 y2 x y (x )2时，原方程化为 ，即 (y )2 ，2 2 2
1 1
所以曲线是以圆心为 , ，半径为 2 的圆在第一象限的部分，
2 2 2
又由 x2 y2 | x | | y |图象关于 x轴， y轴对称，所以曲线 ，如图所示.，
对于 A，由图象可得，该曲线 关于 x轴， y轴， y x和 y x对称，
所以该曲线 有 4 条对称轴，所以 A 正确，
对于 B，由 a b 3 表示曲线 上的点 P到直线 x y 3 0的距离的 2 倍，
结合图象得，当 P(a,b)是 ( 1, 1) 1 1 3时，距离最小值为 2 ，
2 2
所以 a b 3 最小值为 2 2 1 ，所以 B 错误；
2
对于 C，曲线 围成的图形由四个直径为 2 的半圆和一个边长为 2 的正方形组成，
( 2 2
所以面积为 4 2 ) π ( 2)2 π 2，所以 C 正确；
2
对于 D b，设 k 表示点 (2,0) 与点 P确定的直线的斜率，
a 2
设该直线方程为 y k(x 2) ，结合图象，当 x 0, y 0，即 x2 y2 x y，
1 1
则圆心为 2 , ，半径为 的圆在第四象限的部分与直线相切时，
2 2 2
3 1
k 2
k 2 2 1
该切线的斜率是 的最大值，由 d r，可得 ，解得
2 2 k 1
或 k （舍），则 k的最大值为
1 k 7
1，所以 D 正确. 故选 ACD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知点 P(3,1) 是角 终边上的一点，则 cos2 的值为 ．
4
【答案】
5
【详解】已知角 终边上一点 P(3,1),所以 r 32 12 10 ，
5
所以 cos x 3 ，所以 cos2 2cos2 1 2 9 1 4 .
r 10 10 5
13. 若直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点，则实数 k 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当直线 y＝kx+2 与双曲线 x2 y2＝4 的渐近线 y＝±x平行时，k＝±1，此时直线与双曲线的其中一
支有一个交点．若直线 y＝kx+2 与双曲线 x2 y2＝4 的左、右两支各有一个交点，则 k的取值范围为 .
14. 已知椭圆 ，焦点为 ， （ ），过 的直线和圆
相切，并与椭圆在第一象限的图象交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ，
椭圆的离心率是 .
【答案】 ；
【解析】设圆心为 A，直线与圆的切点为 B，
过 的直线和圆 相切的直线为 ， ， ．
将 点坐标代入 ，解得 ，即 ．
由题意可得 ，所以根据勾股定理可得
，
由题意 ， ，故直线 l的斜率
又 结合 可得 ，解
得 或 舍去 ，所以椭圆的离心率为 ．故答案为： ； ．
四、解答题：本题共 5小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（13 分）已知直线 l： ，圆 ．
（1）若 ，求直线 截圆 所得的弦长；
（2）已知直线 过定点 ，求点 的坐标及过点 的圆 的切线方程．
【答案】（1）4；（2） 或
【解析】 当 时，直线 ，
6
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
则直线 截圆 所得的弦长为 ；
对于直线 ，令 ，则 ，所以 ，
由题意易得切线的斜率存在，
则可设直线 为切点 的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故所求切线方程为 ，即 或 ．
16.（15 分）在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与抛物线 相交于点 ， ．
（1）若直线 的斜率为 ，求 的面积；
（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】 由题意知，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，设点 ， ，则 ， ，
所以 .
直线 l的一般式方程为 ，点 O到直线 AB的距离 ，
所以△OAB的面积 .
证明：设 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，设点 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ．
17.（15 分）在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问
题中，并求解（1）、（2）的答案．
7
问题：在 中，三个内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知_________．
（1）求角 C；
（2）若点 D满足 ，且 ，求 的面积的最大值．
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
【答案】（1） ；（2） 3 3
3 8
【解析】 (1) 若选① 2a b 2ccosB ：由正弦定理得 2sin A sin B 2sinCcosB ，
在 △ABC 中， sin A sin B C ，所以 2sin B C sinB 2sinC cosB ，
即 2sinBcosC 2cosBsinC sinB 2sinCcosB ，
所以 2sinBcosC sinB ，又 B 0, ，有 sinB 0 ，
所以 cosC
1
，由 C 0, ，得 C .
2 3
若选② 3c cos A asinC 3b ：
由正弦定理得 3sinC cos A sin A sinC 3sin B ，
在 △ABC 中， sinB sin A C ，
所以 3sinCcos A sin AsinC 3sin A C
即 3sinC cos A sin A sinC 3sin A cosC 3cos A sinC ，
所以 sin A sinC 3sin A cosC ，又 A 0, ，有 sin A 0 ，
所以 tanC 3 ，由 C 0, ，得 C .
3
(2)不论选①或② ，均计算得C ，
3
1
由 2AD DB ，可得 CD CA AD CA AB CA
1
CB CA 1 2 CB CA ，3 3 3 3
2 2 2
两边平方可得 CD 1 CB 4 CA 4 CB CA ，
9 9 9
1 1 a2 4 b2 4即 abcosC ，
9 9 9
所以 9 a2 4b2 2ab 6ab ，当且仅当 a 2b 时取“=”，
ab 3 S 1所以 ，所以 △ABC absinC
3 3 .
2 2 8
8
18.（17 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，△PAD是斜边为 AD的等腰直角三
角形， ， ， ， ．
（1）求证： PD 平面 PAB；
（2）求 PB与平面 PCD所成角的正弦值；
PM
（3 5）在棱 PB上是否存在点 M，使得平面 ADM与平面 ABCD所成角的余弦值为 ？若存在，求出
5 PB
的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)存在， .
【解析】（1）证明： 平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ，AB 平面 ABCD，AB AD，
AB 平面 PAD，
PD 平面 PAD AB PD ，
又 PD PA且 AB PA A，PA、 AB 平面 PAB PD 平面 PAB，
（2）取 AD中点为 O，连接 PO、CO，
又 PD PA， PO AD，
则 AO PO 2
AC CD 2 2 ， CO AD，则CO AC2 AO2 2 ，
以 O为坐标原点，分别以OC ，OA，OP所在的直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
P(0,0,2) ， B(1,2,0) ， D(0, 2,0) ， C(2,0,0) ， PB (1,2, 2) ， PD (0, 2, 2) ， PC (2,0, 2) ，
CD ( 2, 2,0)
设 n (x1, y1, z1) 为平面 PCD的一个法向量，
n PD 0 2y 2z 0 由 得 令 z 1，则 n (1, 1,1) .
n
PC 0 2x 2z 0
设 PB与平面 PCD所成角的角为 ，
n PB
sin | cos n ,PB | | 1 2 2 | 3 .
| n || PB | 3 3 3
PB M ADM ABCD 5(3) 假设在棱 上存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ，
5
由 (2)可知， A(0,2,0)， B(1,2,0) ， P(0,0,2) ，
AP (0, 2,2)， AD (0, 4,0) ，设 PM PB ( ,2 , 2 ) ， [0,1].
9
AM AP PM ( ,2 2,2 2 ).
设m (x2 , y2 , z2 )为平面 ADM的一个法向量，
n
AM 0 x (2 2)y (2 2 )z 0 由 得 ，
n AD 0 4y 0
m 则 (2 2,0, ) ，
易知平面 ABCD的一个法向量为OP (0,0,2) ，
设平面 ADM与平面 ABCD的夹角为 .
cos | cos m
,OP | m
O P 2 5 1 PM 1 ， ， .m OP 2 2 2 2 2 5 2 PB 2
19.（17 分）已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，焦距等于 ，
离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，求证： 为定值；
（3）记 为椭圆 的上顶点，过点 作相互垂直的两条直线 ， ，分别与椭圆 相交于 ， 两点．设
直线 的斜率为 且 ，若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）1 或
【解析】 由已知得 ，又 ， ，又 ，
所以椭圆 的方程为 ．
依题意，设 ， ，联立直线与椭圆 有 ，
消 得： ，
当 ，即 且 时， ， ，
所以
10
设 ， ，设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，
由 ，消去 得
，
由 得 ， ，
，
， ，整理得： ，
．
或 ．
11玉溪一中高 2026 届第三次月考
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，选对得 5 分、选错得 0 分．
1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 直线 的斜率是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆 ： 关于直线 对称，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ， ， 三点不共线，点 不在平面 内， （ ），若 ， ，
， 四点共面，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，二面角 等于 ， ， 是棱 上两点， ， 分别在半平面 ， 内， ， ，
且 ，则 的长等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在空间中，“经过点 ，法向量为 的平面的方程（即平面上任意一点的坐标
满足的关系）是： ”．如果给出平面 的方程是 ，平面
的方程是 ，则由这两个平面所成的角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
1
7. 已知双曲线 ： （ ， ），点 的坐标为 ，若 上的任意一点 都满足 ，
则 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：若点 在椭圆 （ ）上，则以 为切点的切线方程为 ．
已知椭圆 ： ，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线 ，
，切点分别为 ， ，则直线 恒过定点（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 与直线 之间的距离为
B. 直线 在两坐标轴上的截距之和为
C. 将直线 绕原点逆时针旋转 ，所得到的直线为
D. 若直线 与直线 垂直，则
10. 已知 是抛物线 ： （ ）的焦点，直线 经过点 交抛物线于 ， 两点，则下列说
法正确的是（ ）
A. 以 为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 若 ，则直线 的斜率
C. 若 ， ，则 为定值
D. 若 ，则 的最小值为
11. 已知曲线 ： ，点 在曲线 上，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 有 条对称轴 B. 的最小值是
C. 曲线 围成的图形面积为 D. 的最大值是
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知点 是角 终边上的一点，则 的值为 ．
13. 若直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点，则实数 的取值范围是 ．
14. 已知椭圆 （ ），焦点 ， （ ），过 的直线和圆
相切，并与椭圆在第一象限的图象交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ，
椭圆的离心率是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知直线 ： ，圆 ： ．
（1）若 ，求直线 截圆 所得的弦长；
（2）已知直线 过定点 ，求点 的坐标及过点 的圆 的切线方程．
16.（15分）在平面直角坐标系中 中，过点 的直线 与抛物线 ： 相交于点 ， ．
（1）若直线 的斜率为 ，求 的面积；
（2）求证： ．
17.（15分）在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问
题中，并求解（1）、（2）的答案．
问题：在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知_________．
（1）求角 ；
（2）若点 满足 ，且 ，求 的面积的最大值．
（注：如果选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分．）
3
18.（17分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是斜边为 的等腰直角三角
形， ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．
19.（17分）已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，焦距等于 ，
离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 ( )与椭圆 交于 ， 两点，求证： 为定值；
（3）记 为椭圆 的上顶点，过点 作相互垂直的两条直线 ， ，分别与椭圆 相交于 ， 两点．
设直线 的斜率为 且 ，若 ，求 的值．
4
