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24第15章《分式》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）代数式a+b、、、中，分式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：分式有，，共2个，
故选：B．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠±1
【思路点拨】根据分式有意义的条件可得﹣1+x≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：﹣1+x≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
3．（3分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【思路点拨】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．
【解答】解：根据题意得，
解得x＝1．
故选：B．
4．（3分）化简的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2x﹣1
【思路点拨】分子、分母分别进行因式分解，然后约分．
【解答】解：原式
．
故选：A．
5．（3分）把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．
C．
D．
【思路点拨】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、，通分正确；
C、，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4；
故选：D．
6．（3分）化简的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【思路点拨】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：x3（）2
＝x3
＝xy6，
故选：A．
7．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝2 B．无解 C．x＝3 D．x＝﹣3
【思路点拨】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，求解即可．
【解答】解：，
2﹣x+1＝x﹣3，
﹣x﹣x＝﹣3﹣1﹣2，
﹣2x＝﹣6，
x＝3，
经检验，x＝3是方程的增根，
∴原方程无解，
故选：B．
8．（3分）某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．12 B．12
C．4 D．12
【思路点拨】设原计划每天制作x套，实际平均每天制作（x+12）套，根据实际提前4天完成任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天制作x套，实际平均每天制作（x+12）套，
由题意得，4．
故选：C．
9．（3分）已知3，则代数式的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
【思路点拨】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到a+2b＝6ab，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：3，即a+2b＝6ab，
则原式，
故选：D．
10．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．31 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【思路点拨】先去分母，再根据条件求m．
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m﹣3≠0时，x，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示为 2.1×10﹣6 ．
【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000021＝2.1×10﹣6；
故答案为：2.1×10﹣6．
12．（3分）化简： x+2 ．
【思路点拨】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
【解答】解：
＝x+2．
故答案为：x+2．
13．（3分）已知一个正方体的棱长为2×10﹣2米，则这个正方体的体积为 8×10﹣6 立方米．
【思路点拨】根据正方体的体积公式解答即可．
【解答】解：已知一个正方体的棱长为2×10﹣2米，则这个正方体的体积为8×10﹣6立方米，
故答案为：8×10﹣6．
14．（3分）已知关于x的方程有解x＝2，则a的值为 1 ．
【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝2代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：a﹣x＝ax﹣3，
把x＝2代入得：a﹣2＝2a﹣3，
解得：a＝1，
故答案为：1
15．（3分）甲同学2小时清点完一批图书的一半，乙同学加入清点另一半图书的工作，两人合作1.5小时清点完另一半图书，如果乙同学单独清点这批图书需要x小时，根据题意列方程 ．
【思路点拨】设乙同学单独清点这批图书需要x小时，根据两人合作1.5小时清点完另一半图书，列出方程即可．
【解答】解：由题意可得：，
故答案为：．
16．（3分）若m+n﹣p＝0，则的值等于 ﹣3 ．
【思路点拨】先将所求的式子乘开，然后同分母得合并在一起，将m+n﹣p＝0变形即可得出答案．
【解答】解：则
由题意可得：m﹣p＝﹣n，m﹣p＝﹣n，n﹣p＝﹣m，m+n＝p，
∴可得：1﹣1﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）化简：．
【思路点拨】先将分式通分，然后再进行分式的加减运算．
【解答】解：原式．
18．（8分）．
【思路点拨】首先将所给的分式变形、约分、化简、求值即可解决问题．
【解答】解：原式
．
19．（8分）解分式方程：1
【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣2x＝x﹣2x+4，
移项合并得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解．
20．（8分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【思路点拨】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，
根据题意得：2，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
21．（8分）先化简：，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【思路点拨】直接利用分式的混合运算法则化简，再将符合意义的数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当x＝0或±1时分式无意义，
当x＝2时，
原式，
当x＝﹣2时，原式＝9．
22．（10分）元旦前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值：
（2）若超市购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
水果单价 甲 乙
进价（元/千克） x x+4
售价（元/千克） 20 25
【思路点拨】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设超市购进甲种水果m千克，总利润为w元，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出总利润w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定最大利润时的购买方案，进一步求出最大利润．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原方程的根，且符合题意，
∴x＝16；
（2）设超市购进甲种水果m千克，总利润为w元，
根据题意得，m≥3（200﹣m），
解得m≥150，
∵甲种水果的进价为16元，乙种水果的进价为20元，
根据题意得，w＝（20﹣16）m+（25﹣20）（200﹣m）＝﹣m+1000，
∵﹣1＜0，
∴w随着m的增大而减小，
当m＝150时，w取得最大利润，最大利润为﹣150+1000＝850（元），
200﹣150＝50（千克），
∴当超市购进甲种水果150千克，乙种水果50千克时，总利润最大，最大利润为850元．
23．（10分）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的方程：4x2+9y2＝8﹣12xy和2x+3y＝4，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x，y的二元一次方程：y＝（k+1）x﹣4和x＝y+3k（其中k为整数）是“相伴方程”，求k的值．
【思路点拨】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；
（2）联立两个方程，求出公共解，应用“相似方程”的定义进行判断即可；
（3）联立两个方程得到kx＝4﹣3k，再分当k＝0，当k≠0时，两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）是相似方程，理由如下：
1，
给方程两边同时乘以（1﹣x）（1+x），
得（1+x）+（1﹣x）（1+x）＝2（1﹣x），
化简得x2﹣3x＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
，
x2﹣2＝2x+1，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∵，
∴x，
x1＝﹣1（舍去），x2＝3，
因为分式方程1与无理方程有一个相同的解x＝3，
所以分式方程1与无理方程是“相似方程”；
（2）不是相似方程，理由如下：
∵4x2+9y2＝8﹣12xy，
∴（2x+3y）2＝8，
∵2x+3y＝4，
∴（2x+3y）2＝42＝16≠8，
∴4x2+9y2＝28和2x﹣3y＝4，它们不是“相似方程”；
（3）根据题意可得：（k+1）x﹣4＝x﹣3k，
解得：kx＝4﹣3k，
当k＝0时，0＝4不符合题意，
当k≠0时，则x，
∵x，y都是整数，
∴k＝±1，k＝±2或k＝±4．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为（a，0），（0，b），其中a，b满足：，；
（1）试判断△ABO的形状，并说明理由；
（2）如图2，C是AB的中点，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM＝MN．求∠NCM的度数；
（3）如图3，作∠ABO的角平分线，再分别过点A，O作这条角平分线的垂线，垂足分别为D，P，试写出BD，AD与OP之间的数量关系，并证明．
【思路点拨】（1）根据得到b﹣3＝0，则b＝3，再由推出（a+3）2＝0，则a＝﹣3，由此得到A（﹣3，0），B（0，3），则OA＝OB，再由∠AOB＝90°，即可得到△ABO是等腰直角三角形；
（2）如图所示，在OA上取一点H，是的OH＝BN，连接OC，HC，由等腰直角三角形的性质得到OC＝BC，∠CBN＝∠COH＝45°，OC⊥BC，由此可证明△CBN≌△COH，得到CH＝CN，∠OCH＝∠BCN，进而可证明∠NCH＝∠OCH+∠OCN＝90°，再证明△MCH≌△MCN（SSS），即可得到；
（3）如图所示，过点O作OT⊥AD交AD延长线于T，设BD，OA交于G，则∠ADB＝∠T＝∠OPB＝∠AOB＝90°，证明△OAT≌△OBP（AAS），得到AT＝BP，OT＝OP，再证明OP＝DT（平行线间间距相等），同理可得PD＝OT，则PD＝PT＝DT＝OT，根据BD＝BP+DP，即可推出BD＝AD+2OP．
【解答】解：（1）△ABO是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴b﹣3＝0（b+3＝0时分式无意义），
∴b＝3，
∵，
∴，
∴a2+9＝﹣6a，
∴a2+6a+9＝0，
∴（a+3）2＝0，
∴a＝﹣3，
经检验，a＝﹣3是原方程的解，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形；
（2）如图所示，在OA上取一点H，是的OH＝BN，连接OC，HC，
∵△ABO是等腰直角三角形，C是AB的中点，
∴OC＝BC，∠CBN＝∠COH＝45°，OC⊥BC，
∴△CBN≌△COH（SAS），
∴CH＝CN，∠OCH＝∠BCN，
∴∠NCH＝∠OCH+∠OCN＝∠BCN+∠OCN＝∠OCB＝90°，
∵BN+OM＝MN，
∴OH+OM＝MN，即MH＝MN，
又∵CM＝CM，
∴△MCH≌△MCN（SSS），
∴；
（3）BD＝AD+2OP，证明如下：
如图所示，过点O作OT⊥AD交AD延长线于T，设BD，OA交于G，
∵AD⊥BD，OP⊥BD，OT⊥AD
∴∠ADB＝∠T＝∠OPB＝∠AOB＝90°，
∵∠AGD＝∠BGO，
∴∠OBP＝∠OAT，
又∵OA＝OB，
∴△OAT≌△OBP（AAS），
∴AT＝BP，OT＝OP，
∵BD⊥AD，OT⊥AD，
∴OT∥PD，
∴OP＝DT（平行线间间距相等），
同理可得PD＝OT，
∴PD＝PT＝DT＝OT，
∵BD＝BP+DP，
∴BD＝AT+OP＝AD+DT+OP＝AD+2OP．中小学教育资源及组卷应用平台
24第15章《分式》单元检测卷
(测试范围:第15章 解答参考时间:120分钟,满分:120分)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）代数式a+b、、、中，分式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠±1
3．（3分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
4．（3分）化简的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2x﹣1
5．（3分）把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．
C．
D．
6．（3分）化简的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
7．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝2 B．无解 C．x＝3 D．x＝﹣3
8．（3分）某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．12 B．12
C．4 D．12
9．（3分）已知3，则代数式的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
10．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．31 B．1或3 C．1或2 D．2或3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示为 ．
12．（3分）化简： ．
13．（3分）已知一个正方体的棱长为2×10﹣2米，则这个正方体的体积为 立方米．
14．（3分）已知关于x的方程有解x＝2，则a的值为 ．
15．（3分）甲同学2小时清点完一批图书的一半，乙同学加入清点另一半图书的工作，两人合作1.5小时清点完另一半图书，如果乙同学单独清点这批图书需要x小时，根据题意列方程 ．
16．（3分）若m+n﹣p＝0，则的值等于 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）化简：．
18．（8分）．
19．（8分）解分式方程：1
20．（8分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
21．（8分）先化简：，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
22．（10分）元旦前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值：
（2）若超市购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
水果单价 甲 乙
进价（元/千克） x x+4
售价（元/千克） 20 25
23．（10分）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的方程：4x2+9y2＝8﹣12xy和2x+3y＝4，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x，y的二元一次方程：y＝（k+1）x﹣4和x＝y+3k（其中k为整数）是“相伴方程”，求k的值．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为（a，0），（0，b），其中a，b满足：，；
（1）试判断△ABO的形状，并说明理由；
（2）如图2，C是AB的中点，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM＝MN．求∠NCM的度数；
（3）如图3，作∠ABO的角平分线，再分别过点A，O作这条角平分线的垂线，垂足分别为D，P，试写出BD，AD与OP之间的数量关系，并证明．
