广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

1
2024-2025学年度第一学期高二期中测试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足，则（）
A. B. C. D.
2. 已知平面上的两个非零向量，满足，则（）
A B. C. D.
3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
4. （）
A. B. C. D.
5. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（）
A. B. 6 C. D. 9
6. 已知向量，，且，则（）
A. B. 4 C. D. 8
7. 已知，且，则的最大值为（）
A. 9 B. 12 C. 36 D. 48
8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则最大值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正方体中，为中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（）
A. 平面平面
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 平面内存在一条直线与直线成角
D. 将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
10. 如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（）
A. 平面
B.
C. 直线与所成角余弦值为
D. 点到平面的距离为
11. 点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（）
A. 当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3
B. 从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为
C. A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，角，，所对边分别为，，，满足则角_____.
13. 已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________.
14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知直线的方程为：.
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
2024-2025学年度第一学期高二期中测试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12【答案】##
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案；
（2）由三角形面积求出c，再利用余弦定理即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知，即，
由于，
故，即，结合，则；
【小问2详解】
，，的面积为，则，则，
故，
故.
16.
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明.
（2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果.
【小问1详解】
连接，交于点，
由底面是正方形，可知为的中点，
又是的中点，是的中位线，
，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
设，，
底面，底面，，
即是直角三角形，，
又E是的中点，，
同理可得，且，，平面，
平面，，
在直角中，，
，，
又，二面角的平面角为，
.
二面角的平面角的余弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出即得.
（2）利用第75百分位数的定义，结合频率分布直方图列式计算即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，
得，
所以.
【小问2详解】
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
则样本成绩的第75百分位数为，由，得，
所以样本成绩的第75百分位数为84.
18.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，根据条件得到，，由线面垂直的判定理得平面，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果；
（2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，
因为是边长为的正三角形，所以，
在菱形中，，则为等边三角形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则.
设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
因为，记直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.
【解析】
【分析】（1）把直线方程写成，由可得定点坐标.
（2）设过点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最小值.
【小问1详解】
由，可得，
令，所以直线过定点.
【小问2详解】
由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，
设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得，
所以面积，
当且仅当，即时，面积最小值为4.
PAGE
第1页