(共25张PPT)
27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
27.2 相似三角形
第二十七章 相 似
（2）相似三角形的性质
（1）相似三角形的判定方法
乐山大佛
世界上最高的树
—— 红杉
台湾最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大的物体的高度？
世界上最宽的河
——亚马逊河
怎样测量河宽？
1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题.
2.了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.
利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出
OA 的长？
∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF
∴
∴
=134 (m)
因此金字塔的高度为134 m.
【解析】
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳：
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是( )
A． B．
C． D．
C
【跟踪训练】
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知
识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处
时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻
，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是
__米．
8
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
想一想：
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
B
【跟踪训练】
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知
测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，
计算河宽 PQ.
利用相似三角形测量宽度
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ+45)×60
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P
∴△PQR∽△PST
P
R
Q
S
b
T
a
∴
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45m
90m
60m
【解析】
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°
【解析】
∴ △ABD∽△ECD
∴ ，即 ，
解得 AB = 100
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB.
∵∠B=∠C=90°，∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△ECD
∴
∴AB=50×120÷60
=100（m）
A
B
D
C
E
【跟踪训练】
【解析】
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1. 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；
2. 测距(不能直接测量的两点间的距离)．
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
A
1.（2020 天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC ∴△ABE∽△ACD，∴AB/AC＝BE/CD ∵BE=1.5m，AB=1.2m，BC=12.8m ∴AC=AB+BC=14m ∴1.2/14＝1.5/DC，解得 DC=17.5 即建筑物CD的高是17.5m.
【解析】
2. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
A
B
E
D
C
20
【解析】
△ABE∽△DCE
AB/CD＝AE/ED
3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度 .
12 cm
【解析】
△ABS∽△CBP
AB/CB＝AS/CP
智慧表现在下一次该怎么做，美德则表现在行为本身.
——约尔旦
