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28.1 锐角三角函数
第1课时
第二十八章 锐角三角函数
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 （ ∠A ）为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
30°
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？
能否结合数学图形把它描述出来？
1.理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值就固定（即正弦值不变）这一事实.
2.理解正弦的概念.
A
B
C
30°
35m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的
边等于斜边的一半”. 即
可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，
需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对
边与斜边的比都等于 .
归纳：
Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
∵∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2
思考：
∴
因此
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝
90°，∠A＝∠A′＝α，那么 与 有什么关系．
你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
两个三角形相似，对应边成比例，故比值相等.
∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α
∴Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
结论：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A．即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
定义：
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
因此
A
B
C
3
4
【例题】
【解析】在Rt△ABC中
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
【解析】
在Rt△ABC中，
因此
A
B
C
13
5
【例题】
1.判断对错
A
10m
6m
B
C
(1) ①sin A= （ ）
②sin B= （ ）
③sin A=0.6m （ ）
④sin B=0.8. （ ）
√
√
×
×
sin A是一个比值，无单位.
(2)如图，sin A= （ ）
×
【跟踪训练】
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，
sin A的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
解析：∵ ∴
∴ AB = 3BC =3×3=9
∴
∴
∴
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，
AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，
BC=a，则
AB =
AC =
归纳：
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则 AB 的
长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6，
那么BC=___.
2
【跟踪训练】
正弦的定义:
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
斜边
∠A的对边
sin A=
sin 30°=
sin 45°=
sin 60°=
1.（2021·云南）在△ABC中，∠ABC=90°, AC=100，
sin A= , 则AB的长是（ ）
A. B. C.60 D.80
【解析】
D
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若 sinA = ，则∠A= ， ∠B= .
45°
45°
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC的值为 .
解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC ＝
∴ AB2 ＝ BC2＋AC2
∴ ∠ACB＝90°
∴sin∠ABC＝
奋斗就是生活，人生只有前进.
——巴金
