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28.1 锐角三角函数
第2课时
第二十八章 锐角三角函数
1.sin A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.
2.sin A是一个比值（数值）.
3.sin A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°
特殊角的正弦函数值：
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.(重点)
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难点)
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
我们来试着证明前面的问题：
∵
∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°
∴
∠B=∠E
从而 sinB = sinE
因此
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
归纳：
A
B
C
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos A =
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有
cos α = sin (90°－α)
从而有
sin α = cos (90°－α)
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF
即 BC · DF = AC · EF
∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°
∵
∴
∴
A
B
C
D
E
F
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
归纳：
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
A
B
C
邻边
对边
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
【例题】
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
【跟踪训练】
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，
sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
A
B
C
6
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，sinA = ，
求 cosA、tanB 的值．
解析：∵
又
∴
在直角三角形中，如果已知一边
长及一个锐角的某个三角函数值，即
可求出其他的所有锐角三角函数值
如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则
直角边 BC 的长是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
【跟踪训练】
在Rt△ABC中
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3 ∴BC= ∴
1.（2020 柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则 （ ）
A． B． C． D．
C
【解析】
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°
∴∠B+ ∠A=90°，∠ACD+ ∠A =90°
∴∠B = ∠ACD
∴ tan∠B = tan∠ACD =
解析:
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及tanB 的值.
过点 A 作 AD⊥BC 于 D.
∵ AB = AC
∴ BD = CD = 3
在 Rt△ABD 中
∴ tanB =
A
B
C
∴
D
提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.
解析：
患难与困苦是磨炼人格的最高学府.
——苏格拉底
