28.1 锐角三角函数 第3课时 课件(共24张PPT)2024-2025学年人教版数学九年级下册

(共24张PPT)
28.1 锐角三角函数
第3课时
第二十八章 锐角三角函数
1.能推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角的度数.
2.能熟练计算含有30°，45°，60°角的三角函数的运算式.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
1. α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值
越 ；对于cosα，角度越大，函数值越 .
2. 互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA cosB，cosA sinB，
tanA · tanB = .
大
小
=
=
1
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长 =
∴
30°
60°
∴
30°
60°
设两条直角边长为 a，则斜边长 =
∴
45°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角
函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
归纳：
1
sinA=cos(90° ∠A)
一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.
cosA=sin(90° ∠A)
一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.
tanA·tan(90° ∠A)=1
一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.
结论：
例1 求下列各式的值：
提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)2×(cos60°) 2
解：cos260°+sin260°
(1) cos260°+sin260°
(2)
解：
计算：
(1) sin30°+ cos45°
解：原式 =
(2) sin230°+ cos230°－tan45°
解：原式 =
【跟踪练习】
解： 在图中
A
B
C
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ，
BC = ，求 ∠A 的度数；
∴ ∠A = 45°
∵
解： 在图中，
A
B
O
∴ α = 60°
∵ tanα =
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，
求 α 的度数.
求满足下列条件的锐角α .
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
解：(1) sinα =
∴ ∠α = 60°
(2) tanα =1
∴ ∠α = 45°
【跟踪练习】
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．
解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0
∴ tanA＝1，sinB＝
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°
∠C＝180°－45°－60°＝75°
∴ △ABC 是锐角三角形．
解：∵ | tanB－ | ＋ (2 sinA－ )2 ＝0
∴ tanB＝ ，sinA＝
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
1. 已知：| tanB－ | ＋ (2 sinA－ )2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的
一个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.
∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°.
∴ 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ tan60°
1. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
D
A. cosA = B. cosA =
C. tanA = 1 D. tanA =
2. 已知 sinA = ，则下列正确的是 ( )
B
【跟踪练习】
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系.
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
b
A
B
C
a
┌
c
┌
┌
30°
60°
45°
45°
1.（2021·天津）tan30°=（ ）
A． B． C．2 D．1
A
2. 在 △ABC 中，若 ，
则∠C = .
120°
3. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为____.
O
A
B
C
人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓.
——赫胥黎