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28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____.
如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°.
c2
90°
1.使学生理解直角三角形中六个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.
在Rt△ABC中
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
A
你发现了什么
B
C
∠B AC BC
∠A ∠B AB
两边
（2）根据AC= ，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
两角
（3）根据∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元素吗
不能
你能求出这个三角形的其他元素吗
30
一角一边
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
（勾股定理）
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，
解这个直角三角形.
【例题】
【解析】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.
根据勾股定理
A
B
C
b=20
a=30
c
【解析】
【跟踪训练】
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
C
B
b=20
c
a
35°
【例题】
【解析】
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14.
根据条件解直角三角形.
A
B
C
b
a
c=14
【跟踪训练】
【解析】
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长.
A
C
B
设
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
【例题】
【解析】
∴ AB的长为
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = ，BC=6，则 AB的
值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
【跟踪训练】
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sinB＝ ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20 C．40 D．28
C
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）.
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A.已知一直角边一锐角
B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
D
C
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是( )
A. b=a·tanA B. b=c·sinA
C. b=c·cosA D. a=c·cosA
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是( )
D
4.（2021 静海区月考）如图，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长．
过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°
【解析】
∵∠A=60°，AC=24cm
∴∠ACD=30° ∴AD= AC= cm
∴CD=sin60°×AC= ∴BD=AB-AD=15-12=3cm
在Rt△BDC中，由勾股定理得
BC＝
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.
∵ AD平分∠BAC
D
A
B
C
6
【解析】
没有伟大的意志力，就不可能有雄才大略。
——巴尔扎克
