(共23张PPT)
28.2.2 应用举例
第2课时
第二十八章 锐角三角函数
1.测量高度时,仰角与俯角有何区别
2.解答下面的问题
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC.
A
E
D
C
B
甲
乙
1.能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的实际问题.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
【例题】
如图 ，在Rt△APC中
PC=PA·cos（90°－65°）
≈ 80×cos25°
=72.505
在Rt△BPC中，∠B=34°
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130n mile．
65°
34°
P
B
C
A
解析：
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略.
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
α
α
l
l
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长li，测出相应的仰角ai，这样就可以算出这段山坡的高度hi=lisinai.
hi
li
ai
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平距离（l）的比叫做坡面
坡度（或坡比）.记作i，即i= .
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶ .
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝ =tan α
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的
倾斜程度.
h
l
i 坡度或坡比
l水平长度
铅垂高度
坡角
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
【例题】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角α和β;
（2）斜坡AB和DC的长（精确到0.1m）.
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
在Rt△CDE中，∠CED=90°
【解析】
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
（2）在Rt△AFB中，
∴BF=9m
且AF=6m
∴
在Rt△CDE中，
且EC=18m
∴DE=6m
∴
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
【跟踪训练】
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m
解析：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）
因此
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的
数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解
决问题的综合能力.
1.（2020 大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100m B． C． D．
A
由题意得，∠AOB=90°-60°=30° ∴AB=1/2OA=100（m）
解析：
分析：
2.（2021 南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°
方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处
与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt△BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．
解：过P作PC⊥AB于C，如图所示： 由题意得：∠APC=30°，∠BPC=45°，PA=50海里 在Rt△APC中，cos∠APC=PC/PA ∴PC=PA cos∠APC=50× = （海里） 在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC/PB， ∴PB=PC cos∠BPC= = （海里） 故答案为：
3.如图，在一海域执行护航任务的海军某军舰由东向西行驶．
在航行到B处时，发现灯塔A在军舰的正北方向500米处；
当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在
军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程．
（计算过程和结果均不取近似值)
【解析】∵∠A=60°,
∴BC=AB×tanA=500×tan60°=
任何人都是自己行为的镜子!看他人的优点，自我鞭策;看他人的缺点、反省自己。
