2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质 课件(共40张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

(共40张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时 二次函数y=ax 和y=ax +c的图象与性质
复习导入
y =－x2
y =x2
二次函数y＝x2与y=－x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数？
画出函数 y = 2x2 的图象.
列表.
x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ···
y ··· ···
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
二次函数 y = ax2 的图象与性质
1
合作探究
描点，连线.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？
二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y 轴就是它的对称轴.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察思考
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0，0).
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？
当 x = 0 时，ymin= 0.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在 x 轴上方
开口向下，在 x 轴下方
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
当 x = 0 时，y最小值=0
当 x = 0 时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
顶点坐标是原点（0，0）
3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点.
2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是 抛物线的最____点.
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
向上
向下
y轴
y 轴
(0,0)
(0,0)
4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是
，顶点是 .
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
练一练
x ··· －2 －1 0 1 2 ···
··· 2 0.5 0 0.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ···
在画有y =x2直角坐标系中，画出 ，y =2x2的图象.
探究新知
y =x2
①列表；
②描点；
③连线.
y=2x2
y =x2
y=2x2
函数 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向上，
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
在画有 y =－x2的直角坐标系中，画出 的图象．
y =－x2
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
··· -2 -0.5 0 -0.5 -2 ···
y = -2x2 ··· -8 -2 0 -2 -8 ···
①列表；
②描点；
③连线.
y=-2x2
y =－x2
y=-2x2
函数 ，y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向下；
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
a值越小，抛物线的开口越小．
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
最值
向上
向下
(0，0)
(0，0)
y轴 (x=0)
y轴 (x=0)
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号)
（1）y = 3x2 的图象是_______；
（2）y = x2 的图象是_______；
（3）y = -x2 的图象是_______；
（4）y = x2 的图象是_______．
③
①
④
②
o
练一练
在画有y =2x2直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
x … -2 -1 0 1 2 …
y =2x2+1 … 9 3 1 3 9 …
y = 2x2 －1 … 7 1 -1 1 7 …
y=2x2
①列表；
y=2x2＋1
y=2x2－1
②描点；
③连线.
y=2x2
y=2x2＋1
y=2x2－1
二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.
将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
将二次函数y=2x2＋1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
下
2
抛物线
y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1
y=2x2
与抛物线
有什么关系？
二次函数 y = ax2+c 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移 c 个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移 -c 个单位长度得到.
二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
要点归纳
抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象____（c＞0）或 （c＜0）平移 个单位.
抛物线
y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1
y=2x2
与抛物线
有什么关系？
y=ax2+c
y=ax2
y = ax2
c
y = ax2+c（c＞0）
c
y = ax2＋c（c＜0）
向上
向下
|c|
6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　　)
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
A
练一练
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2x2
y =2x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点
坐标
对称
轴
向上
向上
(0，1)
(0，-1)
y 轴
y 轴
向上
(0,0)
y 轴
合作探究
问题 抛物线 y = 2x2+1, y = 2x2-1 的增减性又如何？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
根据图象回答下列问题：
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_________________；
抛物线
向下
y 轴
(0，1)，
(0， 1)
想一想
1
O
-1
1
x
y
-1
-2
y = -2x2 + 1
y = -2x2 - 1
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________.
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
___________________________.
高
大
y = 1
y = 1
对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
对称轴右侧 y 随 x 增大而减小
1
O
-1
1
x
y
-1
-2
y = -2x2 + 1
y = -2x2 - 1
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + c 的性质是什么？
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
图象 c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
随堂练习
1. 抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到．
2. 抛物线y＝－ x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=－ x2．
3. 抛物线y＝－2x2－5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
上
3
下
1
向下
y轴
（0，－5）
4. 下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( )
A. y＝2x2与y＝3x2 B. y= x2+2与y=2x2+
C. y＝2x2与y＝x2+2 D. y＝x2与y＝x2－2
D
5. 对于二次函数y＝－ x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1B
开口向下
当x＞0时，y随x增大而减小.
6. 写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y= x2+3; （2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，3）.
（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，-4）.
7. 求抛物线y=2x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式.
y=2x2－1
解：抛物线y=2x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=－2x2+1.
8. 二次函数y＝3x2－ 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看.
解：二次函数 与y=3x2的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数y=3x2的图象向下平移 个单位长度，就得到 的图象.二次函数 与y=3x2的图象都是轴对称图形，它们的对称轴都是y轴（直线x=0），开口都向上，顶点坐标分别是 .
9. 二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系？
解：二次函数 与二次函数 的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数 的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数 的图象.
想一想
1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？
2. 抛物线 y = ax2 + c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标.
对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c).
例1 关于抛物线 y = x2 + 1 与 y = x2 1，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而增大
C
分析： y = x2 + 1 y = x2 1
开口方向：
顶点：
对称轴：
增减性：
向下
向上
(0，1)
(0， 1)
y 轴
y 轴
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象和性质
图象
性质
与 y = ax2的关系
1. 开口方向由 a 的符号决定；
2. c 决定顶点位置；
3.对称轴是 y 轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
c 正向上；
c 负向下.
1. 填表：
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点
y = 3x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
(0，0)
(0，1)
(0，-5)
y 轴
y 轴
y 轴
有最低点
有最低点
有最高点
2. 不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题：
(1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2.
(2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 .
(3) 试说出抛物线 y = x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移 1 个单位.
＞0
= 0
1
(0，1)
(-1，0)，(1，0)
开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标(0，-3).
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若 -4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则 y1 与 y2 的大小关系是__________.
y1＞y2
4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　)
方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
课堂小结
课后作业
习题2.3
1、2、3