2024-2025学年上海嘉定一中高三上学期数学月考试卷及答案（2024.10）（含答案）

上海嘉定一中2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合,则 .
2.不等式的解集是 .
3.双曲线的离心率为 .
4.某校学生志愿者协会共有200名成员,其中高一学生100名,高一学生60名,高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿,需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查,则高三学生应抽取 名.
5.抛物线过点,则点到抛物线焦点的距离为 .
6.已知向量,且满足,则 .
7.已知扇形的圆心角为,半径为4,则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于 .
8.设实数满足,则的最大值为 .
9.已知展开式的二项式系数之和为32,则该展开式中的系数为 .
10.已知和的图像的连续三个交点构成,则的面积为 .
11.在矩形中,边的长分别为2,1,若分别是边上的点（不包括端点）,且满足,则的取值范围是 .
12.设集合是由所有满足下面两个条件的有序数组构成:
(1)；(2);则集合中的元素共有 个.
二.选空题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13.设，则""是""的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）.
A.全等 B.相似 C.相似但不全等 D.不相似
15.若实数使得（其中为虚数单位），则（ ）.
A. B. C.且 D.可以是任意实数
16.已知函数是定义在R上的严格单调减函数且为奇函数，数列是等差数列，若其前2024项和小于零,则的值（ ）.
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负
三.解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）
如图,在四面体中,,从顶点做平面的垂线,垂足恰好落在的中线上.
(1)若的面积为3,求四面体的体积;
(2)若,且与重合,求二面角的大小.
18.（本题满分14分）第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设函数.
（1）求方程的实数解;
（2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
19.（本题满分14分）第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分6分.
甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有点），每人每次投掷两颗，
（1）甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率;
（2）甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大8点的概率;
（3）若第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概堉.
20.（本题满分18分）第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图,椭圆的左右焦点分别为,设是第一象限内椭圆上的一点,的延长线分别交椭圆于点;
(1)若轴,求的面积;
(2)若,求点的坐标;
(3)求的最小值.
21.（本题满分18分）第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设函数,直线是曲线在点处的切线.
(1)当时,求的单调区间.
(2)求证:不经过点.
(3)当时,设点为与轴的交点,与分别表示与的面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.10; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.在矩形中,边的长分别为2,1,若分别是边上的点（不包括端点）,且满足,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴,建立坐标系如图,
设
即，
故答案为:
二、选择题
13.A 14.B 15.D 16.A
15.若实数使得（其中为虚数单位），则（ ）.
A. B. C.且 D.可以是任意实数
【答案】D
【解析】因为,所以不能同时成立；解得.故可以是任意实数； 故选:.
16.已知函数是定义在R上的严格单调减函数且为奇函数，数列是等差数列，若其前2024项和小于零,则的值（ ）.
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负
【答案】A
【解析】由题意得,且当时,,当时,,因为数列是等差数列,其前2024项和小于零，所以由等差数列的性质得，,则,
所以,即,
同理可得,,
所以,故选:A.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．（1） （2） （3）
21.（本题满分18分）第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设函数,直线是曲线在点处的切线.
(1)当时,求的单调区间.
(2)求证:不经过点.
(3)当时,设点为与轴的交点,与分别表示与的面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
【答案】（1）的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）见解析 （3）存在，有两个.
【解析】(1),,
当时,在上单调递减,
当在上单调递增,
则的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)的斜率为,
故切线方程为
代入
则令
若过,则在存在零点.
故在上单调递增,不满足假设,故不过.
（3）
,设与轴交点为,时,若,
则此时与必有交点,与切线定义矛盾.
由（2）知,,则切线的方程为
令,则,,
则,,
记,满足条件的有几个即有几个零点.
时,单调递减;时,单调递增;时,单调递减;
,
由零点存在性定理及的单调性,在上必有一个零点，在上必有一个零点.综上所述,有两个零点,即满足的有两个.