2.2 第3课时 二次函数y=a(x－h)2和y=a(x－h)2+k的图象与性质 课件(共40张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

(共40张PPT)
北师版·九年级下册
第3课时
二次函数y=a(x－h) 和y=a(x－h) +k的图象与性质
复习导入
说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
请说出二次函数y=ax +c与y=ax 的平移关系.
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2
当c>0时，向上平移c个单位
当c<0时，向下平移 个单位
a,c 的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线 x = 0）
y轴（直线 x = 0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x = 0 时，y最小值 = c
x = 0 时，y最大值 = c
问题1 说说二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象的特征.
y = ax2
y = ax2 + c
上下平移
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移后会得到新的抛物线吗？
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
2x2
2(x - 1)2
8
0
8
18
0
2
18
32
18
8
2
8
2
0
32
50
32
18
二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
1
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示：
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都
是 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是
_________________；
抛物线
向上
x = 0，x = 1
(1，0)
(0，0)，
(5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______；
(6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
___________________________
___________________________.
低
小
y = 0
当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小，
当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大
想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
解：列表如下：
例2 画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
(-1 , 0 )
直线 x = 0
直线 x = 1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0 )
(1) 顶点都是最____点，函数都
有最____值，都为_______；
(2) 函数的增减性：
根据图象回答下列问题:
做一做
高
大
y = 0
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？
当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大
当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大
-2
2
-2
-4
4
-4
O
x
y
归纳总结
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，0)
(h，0)
当 x = h 时，y最小值 = 0
当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的
增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随 x 的
增大而增大；x＞h 时，
y随 x 的增大而减小.
典例精析
例1 在函数 y＝(x－5)2 中，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．
例1变式 在二次函数 y＝－(x－m)2 (m 为常数)中，
当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大，则 m＝ .
3
增大
探索新知
我们已经认识了二次函数y=2x2的图象，那么二次函数y=2(x-1) 2，y=2(x+1) 2的图象与y=2x2有什么关系？
画出二次函数y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象.
（1）列表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2x2 18 8 2 0 2 8 18
y=2(x-1)2 32 18 8 2 0 2 8
y=2(x+1)2 8 2 0 2 8 18 32
（2）描点
（3）连线
y=2x2
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
y = 2(x + 1)2
y = 2(x - 1)2
y = 2(x + 1)2
y = 2(x - 1)2
y = 2x2
向右平移
1 个单位
向左平移
1 个单位
向 x 轴正方向平移
向 x 轴负方向平移
从形的角度探究
y = 2x2
y=2x2
y=2(x+1)2的呢
y=2(x-1)2 的对称轴和顶点坐标分别是什么
对称轴x=1，顶点坐标(1，0)，
对称轴x=-1，顶点坐标(-1，0)
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
向左平移
1 个单位
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
向右平移
1 个单位
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
x
y
归纳总结
y = ax2
向右平移
h 个单位
y = a(x - h)2
向左平移
h 个单位
y = a(x + h)2
左右平移规律：
自变量左加右减，括号外不变.
当 h > 0：
y=2x2
二次函数y = a(x－h)2的图象和性质:
对称轴x=h，顶点坐标(h，0).
注意此处符号！
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
将y=2x 的图象向 平移 单位，就得到的y=2(x-1) 图象;
将y=2x 的图象向 平移 单位，就得到的y=2(x+1) 图象.
y=2x2
右
1
左
1
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=2x2
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=ax2
y=a(x－h)2
当h>0时，向右平移h个单位
当h<0时，向左平移|h|个单位
链接中考
1. (武汉) 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　)
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度
C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度
C
由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数 的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
想一想
y=2(x＋3)2
y=2x2
y=2x2
y=2(x＋3)2
y=2x2
向左平移三个单位
向下平移半个单位
向下平移半个单位
向左平移三个单位
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
都可以通过y=ax2的图象平移得到.
y=ax2
h
k
y=a(x-h)2+k
h<0，将抛物线y=ax2向左平移，
h>0，将抛物线y=ax2向右平移；
k>0，将抛物线y=ax2向上平移；
k<0，将抛物线y=ax2向下平移，
可概括为：左加右减，上加下减.
2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.
1. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
3. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线 x = 3
( 3, 0 )
直线 x = 2
直线 x = 1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
4. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_______________.
y1 ＞y2 ＞ y3
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数 y= 2(x-2)2的图象由函数 y= 2x2 的图象向右平移 2 个单位得到.
y
O
x
y = 2x2
2
随堂练习
1. 抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到．
2. 二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
右
2
向下
（1，0）
x=1
3. 要得到抛物线y= (x－4)2，可将抛物线y= x2( )
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
C
4. 对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2
C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
C
5. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1
C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+1
C
6. 若抛物线的顶点为(3，5)，则此抛物线的解析式可设为( )
A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5
C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
B
7.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1；
（3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3.
开口向上
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，1）
开口向下
对称轴为x=2
顶点坐标为（2，-1）
开口向上
对称轴为x=4
顶点坐标为（4，3）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-3）
8.对于二次函数y=-3(x+2)2，
（1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
解：二次函数y=-3(x+2)2的图象可以看成是由二次函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度得到的，它们的形状相同，开口都向下，只是位置不同.二次函数y=-3(x+2)2的图象是轴对称图形，抛物线开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2,0).
8.对于二次函数y=-3(x+2)2，
（2）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
解：当x<-2时，y的值随x值的增大而增大；当x>-2时，y的值随x值的增大而减小.
课堂小结
y=2x2
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=ax2
h
k
y=a(x-h)2+k
a > 0，开口向上
a < 0，开口向下
a 的符号和 h 的值决定增减性
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
开口方向及增减性
对称轴
直线 x = h
(h，0)
y = ax2
左右平移
h 个单位
顶点坐标
平移规律：
自变量
左加右减，
括号外
保持不变.
课后作业
习题2.4
1、2、3、4