立体几何中有关角的专项训练（含解析） 人教A版 选择性必修1

立体几何中有关角的专项训练
姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件
3．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．空间中，过点且一个法向量为方平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线与是平行直线
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．平面截正方体所得的截面面积为
10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线AP与所成角的取值范围是
C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．已知菱形ABCD的边长为，将沿AC翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点，使得
B．无论点在何位置，总有面PBD
C．当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为
D．当时，为PB上一点，则的最小值为2
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 .
13．已知正方体的棱长为，若点在正方体的内部，且满足，则平面与平面所成二面角的余弦值为 .
14．已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是 ，二面角的余弦值是 （用表示）.
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点.

(1)当平面时，求的值；
(2)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(3)当时，求平面与平面所成的角的大小.
16.（本小题15分）
如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2.
(1)求证：平面；
(2)当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题15分）
如图，在正三棱柱中，点为线段的中点，点为线段上的一个动点（不包括端点），．

(1)若点为线段的中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成角为，
（i）求的值；
（ii）求二面角的余弦值．
18.（本小题17分）
如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19.（本小题17分）
如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：；
(2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
立体几何中有关角的专项训练解析版
姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，得,设，则，
以为原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则有，
所以，，
所以，
即异面直线和所成角的余弦值为.
故选：A.

2．已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】若直线与平面内一条直线所成角的大小为，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行，直线与平面所成角的大小不一定为.
故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”.
若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行.
故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”.
故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件.
故选：B.
3．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设l与所成的角为，则.
因为，所以.
故选：A.
4．如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，，，并且，的中点为，
因为底面是菱形，所以，
又因为四棱柱为直四棱柱，
所以底面，
又因为，所以底面，
所以，.
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
则，，，，，
于是，，，
所以，，
设异面直线，所成角为，
则.
故选：D
【点睛】
5．空间中，过点且一个法向量为方平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意平面的一个法向量是，
平面与的法向量分别是，
设直线的一个方向向量为，
则，所以，取得，
所以，
所以直线l与平面所成角的正弦值为，
故选：B．
6．在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，可得，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，可得，
所以，
设直线与平面所成角的为，
则.
故选：D.

7．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面，
即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角，
设底面边长为，则，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，所以，
则，即，所以，
所以，
所以，
所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为.
故选：C．
8．二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【详解】由可得,
故，
进而可得,
由于，
由于，故，
由于夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°，
故选：C
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线与是平行直线
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【详解】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，．
∵分别为棱的中点，∴、，
则，，∴和不共线，故A错误；
对于B，∵，，∴，
∴，∴直线与所成的角为，故B正确．
对于C，由于平面的一个法向量为，
，
∴，直线与平面所成的角为，故C正确；
对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，

∵棱长为2，∴，，，
∴等腰梯形的高为，
∴，故D正确，
故选：BCD．
10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线AP与所成角的取值范围是
C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于A，，平面，平面，
所以平面，因为点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，因为平面，，
所以，此时，与所成的角为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，
，
则，即，
令，则，则得，
面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；
对于D，则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
11．已知菱形ABCD的边长为，将沿AC翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点，使得
B．无论点在何位置，总有面PBD
C．当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为
D．当时，为PB上一点，则的最小值为2
【答案】BC
【详解】对于A，的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧，
显然圆锥轴截面的顶角为，大于，
则存在两条母线互相垂直，即存在点，使得，
而翻折前，因此存在点，使得，故A错误；
对于B，依题意，都是等边三角形，
取的中点，则，
又平面，于是平面，
又平面，因此，
因为四边形是菱形，所以，又，平面PBD，
因此平面PBD，故B正确；
对于C，由选项B知，平面是二面角的平面角，
三棱锥的体积，
当且仅当时取等号，此时平面，
等腰的面积，
设点到平面PBC的距离为，
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，
则，，故C正确；
对于D，当时，三棱锥为正四面体，
将，展开在同一平面内，如图，
显然四边形为菱形，，
当三点共线时，取得最小值，故D错误；
故选：BC.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 .
【答案】或
【详解】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是
，，则，∴，
①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角
，，则，∴，二面角为
∴二面角的大小是：或.
故答案为：或.
13．已知正方体的棱长为，若点在正方体的内部，且满足，则平面与平面所成二面角的余弦值为 .
【答案】
【详解】以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，所以，，，故，从而点的坐标为.
显然平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，.
令，得，故可取，则.
由于点在正方体内部，故平面与平面所成二面角为锐角，所以该二面角的余弦值为.
故答案为：.
14．已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是 ，二面角的余弦值是 （用表示）.
【答案】
【详解】
如图所示，由题意当点在位置时，即与共面时，分别有最大值和最小值，
当在时，；
当在时，作于，在中由等面积可得，
所以，
由对称性可得，
所以的取值范围是；
在矩形中，作于交于，作于，
因为，由等面积可得，
，，
翻折后，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则二面角的平面角为，设，
，
，
解得，
故答案为：；
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点.

(1)当平面时，求的值；
(2)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(3)当时，求平面与平面所成的角的大小.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）连接交于点，连接，因为当平面平面，平面平面，
所以，所以，
在梯形中，，所以；
（2）取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，
又因为侧面底面，且侧面底面侧面，
所以侧面又侧面，所以，
又平面，所以平面，又平面，
所以，所以上存在一点，使得与总垂直；
（3），所以，所以，
所以是的中点，取的中点，连接，则，
又侧面底面，侧面底面平面，所以底面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，则平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量，
所以平面与平面所成角的大小为.
16.（本小题15分）
如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2.
(1)求证：平面；
(2)当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设是的中点，连，
依题意，在等腰梯形中，，
点在以为直径的半圆上，且，
由等边三角形可知分布在同一个圆周上，
且，
则六边形为正六边形，
面面.
（2）在图1中连交于，则，连交于，则，
故在图2中，平面，
所以平面，同理可证得平面，
记面与面所成角为，则，
，
故，即面面.
法一（几何法）：延长交于延长交于
则为面与面交线且，取中点，
连接，则，则即为面与面所成角.
在中，，
故，
故面与面所成角的余弦值为.
法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴，
建立空间直角坐标系，则
，
，有，
令得，
同理可得面法向量，设面与面所成角为，
故.
17.（本小题15分）
如图，在正三棱柱中，点为线段的中点，点为线段上的一个动点（不包括端点），．

(1)若点为线段的中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成角为，
（i）求的值；
（ii）求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）; （ii）
【详解】（1）取的中点，连接，
∵平面，平面，∴，同理，
又，结合题设，可得，
易知，
∴，则．
∵平面，
∴平面，
又平面，∴，
∵平面，
∴平面．

（2）（i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，
设，
则．
设平面的法向量为，
则，取，则
设直线与平面所成的角为，

则 ，
化简得，解得或．
当时，点与点重合，不符合题意．
∴，∴．
（ii）由（i）得面平面的一个法向量为，
．
设平面的法向量为，
则，取，则
∴．
由图可知二面角为钝角，故余弦值为．
18.（本小题17分）
如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面，
所以平面
（2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，，
由二面角是直二面角，即平面平面，
平面平面，平面，平面，
∵平面，∴
以分别为轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面法向量为，则，
令，得，
所求点面距为.
（3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
设，显然，
，
，得出，则，
则，
点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形，
则，即，且且，即，
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，
，
则，
令，函数在上递减，，
因此，则，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.
19.（本小题17分）
如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：；
(2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）∵，，
∴，即，，
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴.
（2）∵二面角是直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，∴平面，
如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
∴，.
设平面法向量为，
，令，则，，故，
由题意得，平面法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则.
（3）
分别以、所在直线分别为轴、轴，过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
由（1）得，二面角的平面角为，即，故，
∴，.
由题意得，平面的法向量为，
，解得，
∴存在点，.