(共25张PPT)
4.3.1等比数列的性质及应用
(第2课时)
人教A版(2019)
选择性必修第二册
新知导入
等比数列 等差数列
定义
公比(公差) q不可以是0 d可以是0
等比(差)中项 等比中项 等差中项 2A=a+b
通项公式
性质 若m+n=p+q
温故知新
新知导入
问题:
等比中项与等差中项的区别?
提示:
(1)只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项
(2)两个数 a, b 的等差中项只有一个,两个同号且不为0的数的等比中项有两个.
新知讲解
拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列,均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列 也为等比数列.
合作探究
例4 用10 000 元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获得多少利息(精确到1元)?
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到)?
分析:
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息,所以若原始本金为a元,每期的利率为r,则从第一期开始,各期的本利和.
合作探究
解:
(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ,则是等比数列,
首项 ,
公比q=1+0.400% ,所以
所以,
12个月后的利息为(元)
合作探究
(2)设季度利率为r,这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列,则也是一个等比数列,
首项,公比为1+r,于是
因此,以季度复利计息,存4个季度后的利息为 元.
解不等式,得
所以,当季度利率不小于1.206%时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.
合作探究
例5 已知数列的首项 .
(1)若为等差数列,公差d=2,证明数列为等比数列;
(2)若等比数列,公比为 ,证明数列为等差数列.
分析:
根据题意,需要从等差数列、等比数列的定义出发,利用指数、对数的知识进行证明.
合作探究
例5 已知数列的首项 .
(1)若为等差数列,公差d=2,证明数列为等比数列;
(2)若等比数列,公比为 ,证明数列为等差数列.
证明:
(1)由, d=2,得的通项公式为 .
设 ,
则
又
所以,是以27为首项,9为公比的等比数列.
合作探究
例5 已知数列的首项 .
(1)若为等差数列,公差d=2,证明数列为等比数列;
(2)若等比数列,公比为 ,证明数列为等差数列.
证明:
(2)由, ,得
两边取以3为底的对数,得
所以
又 24
所以,是首项为1,公差为-2的等差数列.
合作探究
思考
(1)已知,如果数列是等差数列,那么数列是否一定是等比数列?
(2)如果数列是各项均为正的等比数列,那么数列是否一定是等差数列?
提示:
(1) 设 的首项为,公差为d,
则 .
, 则 ,
又因为,所以常数
故是首项为,公比为的等比数列.
合作探究
(2)如果数列是各项均为正的等比数列,那么数列是否一定是等差数列?
思考
(2)设数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),则数列的各项分别为
提示:
对各项分别取以b为底的对数,得
即
这就形成首项是,公差是的等差数列.
合作探究
拓展
等比、等差数列的两个性质:
(1)已知,如果数列是等差数列,那么数列是等比数列.
(2)如果数列是各项均为正的等比数列,那么数列是等差数列.
合作探究
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品,产品合格率为90%. 从今年1月开始,工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产,以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%,产品合格率比前一个月增加0.4%,那么生产该产品一年后,月不合格品的数量能否控制在100个以内?
分析:
设从今年1月起,各月的产量及不合格率分别构成数列,,则各有不合格品的数量构成数列. 由题意可知,数列是等比数列,是等差数列。由于数列既非等差数列,又非等比数列,所以可以先列表观察规律,再寻求问题的解决方法.
合作探究
解:
设从今年1月起,各月的产量及不合格率分别构成数列,.
由题意,知
其中,n=1,2,…,24,
则从今年1月起,各月不合格产品的数量是
由计算工具计算(精确到0.1),并列表(表4.3-1)
合作探究
n 1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
表 4.3-1
观察发现,数列先递增,在第6项以后递减,
所以只要设法证明当时,递减,且 即可.
由
得
所以,当时,递减,
又
所以,当时,
所以,生产该产品一年后,月不合格品的数量能控制在100以内.
课堂练习
1(等比数列的性质)
(1)在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,则插入的n个数的积为( )
A. B. C. D.
(2)在等比数列,, ,则等于________.
解:
(1)设这n+2个数为
且 ,,则
(2) 因为,
所以
又因为 , 所以
因为 ,所以q=2 .
所以
A
课堂练习
2 设是等比数列,且,,则
A.12 B.24 C.30 D.32
解:
是等比数列,且,
则 ,
即 q=2,
所以
D
课堂练习
3 在正项等比数列中,
则
解:
根据题意,正项等比数列中,
则
则
4 已知均为正项等比数列,分别为数列的前n项积,且则的值为____.
解:
数列均为正项等比数列,
设它们的公比分别为q,m,
分别为数列的前n项积,
因为
课堂练习
课堂练习
所以
,
解得
由
解得
所以
则
答案:
课堂练习
5 如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2.过点 A作BC 的垂线,垂足为A1 ;过点 A1作 AC的垂线,垂足为 A2;过点A2 作A1C 的垂线,垂足为A3 ;…,依此类推.
设BA=a1 ,AA1=a2 , A1A2=a3 ,…, A5A6=a7 ,则 a7=________.
解:
等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以
则,
同理
故数列是首项,公比为的等比数列,
故
课堂总结
1 复习
2 拓展
3 例题
4 课堂练习
板书设计
1 温故知新
2 拓展
3 例4~6
4 课堂练习
作业布置
课本41页习题4.3
5、7(1)