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二次函数最值 图像与系数关系 专项练习
一．选择题（共44小题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜（a+c）2；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；①a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【思路点拔】依据题意，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，从而（a+c）2﹣b2＜0，进而b2＞（a+c）2，故可判断②，由抛物线对称性及x＝0时y＞0可判断③，由a与b的数量关系及a﹣b+c＜0可得a与c的数量关系，从而判断④，由x＝1时y取最大值可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴1．
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
由图可得，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0．
∴（a+c）2﹣b2＜0．
∴b2＞（a+c）2，故②错误．∵抛物线对称轴为直线x＝1，x＝0时y＞0，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，③正确．
∵b＝﹣2a，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
∵2c﹣3b＜﹣6a+6a＝0，
∴2c＜3b，④正确．
∵x＝1时y取最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），即a+b＞m（am+b）（m≠1），⑤正确．
故选：C．
2．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】由抛物线满足：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，判断抛物线与x轴的交点，根据图象判断a、c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，
由①a，c同号，排除D选项．
由②可得b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点，故排除A选项．
由③可知：当x＝﹣1时，y＜0，排除B选项．
故满足条件的图象可能是C，
故选：C．
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上有一点（﹣1，0），对称轴是直线
x＝1，给出下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据二次函数的图象与性质的特点，逐一判断各选项即可得到结果．
【解答】解：①∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴ac＜0，
故该结论正确，符合题意；
②∵对称轴为x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∵二次函数图象与x轴相交于（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴3a+c＝0，
故该结论正确，符合题意；
③∵抛物线的图象中顶点在第一象限，
∴，
∵a＜0，
∴4ac﹣b2＜0，
故该结论正确，符合题意；
④根据函数图象，可得到：
当x≤1时，y随x的增大而增大
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故该结论错误，不符合题意．
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
①0；
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
又抛物线的对称轴是直线x1，
∴b＝2a＜0．
又抛物线交y轴正半轴，
∴当x＝0时，y＝c＞0．
∴0，故①错误．
由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c，
∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c．
∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c．
∴am2+bm≤a﹣b，故②正确．
由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
又b＝2a，
∴3a+c＜0＜1，故③正确．
由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴x1+x22＞﹣3，故④错误．
综上，正确的有②③共2个．
故选：B．
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；③b+c＞0；④若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）且0＜x1＜4＜x2，则y1＜y2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】依据题意，由抛物线开口向下，从而a＜0，又抛物线为x2，故b＝﹣4a＞0，再结合抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，进而可以判断①；又b＝﹣4a，从而可以判断②；又当x＝1时，y＝a+b+c＞0，又a＜0，故b+c＞﹣a＞0，进而可以判断③；由抛物线的对称轴是直线x＝2，从而当x＝0时与当x＝4时函数值相等，进而可得当0＜x1＜4＜x2，则y1＞y2，故可以判断④．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
又抛物线为x2．
∴b＝﹣4a＞0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
∴abc＞0，故①正确．
又b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，故②正确．
由题意，当x＝1时，y＝a+b+c＞0．
又a＜0，
∴b+c＞﹣a＞0，故③正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴当x＝0时与当x＝4时函数值相等．
∴当0＜x1＜4＜x2，则y1＞y2，故④错误．
综上，正确的有：①②③．
故选：C．
6．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．
其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④a+b≤m（am+b）（其中m≠1）；⑤b﹣c＞0；正确的结论有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【思路点拔】根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点可判断②正确；由对称轴为直线可判断③错误；由x＝1时，函数取得最小值，可判断④正确；由②③可求得b和c的值可判断⑤错误；据此即可求出答案．
【解答】解：①二次函数的图象开口向上，a＞0，函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④当x＝1时，函数取得最小值，又m≠1，则a+b+c＜m（am+b）+c，即a+b＜m（am+b），故④错误，不符合题意；
⑤由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则，故，故⑤错误，不符合题意；
综上，②正确．
故选：A．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b＜0；
②2a+b＝0；③4ac＜b2；④c＞a．其中错误结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】通过开口和对称轴判断出a，b之间的关系，即可判断出说法①②的正确性，再通过与x轴的交点个数，可判断③，通过与y轴的交点得到c的取值范围，即可判断④．
【解答】解：①由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，故说法①错误；
②2a+b＝0，故说法②正确；
③由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，即b2＞4ac，故说法③正确；
④由图象可知，当x＝0时，y＝c＞0，
∵a＜0，
∴c＞a，故说法④正确，
∴错误的结论个数有1个，
故选：D．
9．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），其中结论正确的个数为（ ）
①abc＜0，
②b2＞4ac，
③4a+2b+c＞0，
④3a+c＞0，
⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），
⑥当x＜﹣1时，y的值随着x的值增大而增大．
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】依据题意，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵1，
∴b＝﹣2a＜0．
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且当x＝0时和当x＝2时的函数值相等，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确；
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
综上，正确的有②④⑤，共3个．
故选：A．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＝0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①②；利用图象得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c＝0，即可判断③；根据函数增减性，判断④．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x1，
∴2a﹣b＝0，
故②不正确；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
且过点（﹣3，0），
∴图象一定过（1，0）点，
则a+b+c＝0，
故③正确；
∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞2，
∴y1＞y2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），有以下结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+a＞0；其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拔】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，则4a+c＜2b，故②正确，符合题意；
∵该函数图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a＝b﹣c，
∵b＝a﹣am＝a（1﹣m），
∴b＝（b﹣c）（1﹣m），
整理得：，
故③正确，符合题意；
抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），
则a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，
则am2+bm+b＝a，
若am2+（2a+b）m+a+b+a＝2am+3a＞0，
则m与图象不符，故④错误，不符合题意，
故选：A．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
【思路点拔】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a 22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
故选：D．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，且经过点（2，0）．有下列判断：①2a﹣b＝0；②16a﹣4b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若A（﹣3，y1），B（1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【思路点拔】①根据直线x＝﹣1是对称轴，确定b﹣2a的值；
②根据x＝﹣4时，y＝0确定16a﹣4b+c＝0的符号；
③根据x＝﹣4时，y＝0，求得c＝﹣8a，即可得到结论；
④根据抛物线的对称性，得到y1与y2的大小关系即可．
【解答】解：∵直线x＝﹣1是对称轴，
∴，即b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故①正确；
∵直线x＝﹣1是对称轴，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（2，0），
∴抛物线经过点（﹣4，0），
∴当x＝﹣4时，y＝0，
即y＝ax2+bx+c＝16a﹣4b+c＝0，故②错误；
当x＝﹣4时，y＝ax2+bx+c＝16a﹣4b+c＝16a﹣4×2a+c＝8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，
∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，，（﹣3，y1）与是抛物线上两点，
∴y1＞y2，故④正确，
综上，正确的是①③④，故B正确．
故选：B．
14．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（﹣2，0）．有下列说法：①abc＜0；②2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，，是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
【思路点拔】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号及a与b的关系，进而判断①②，由抛物线经过（1，0）且抛物线开口向下可得x＝2时y＜0，从而判断③，由抛物线对称轴为直线x，开口向下，根据点（，y1），（，y2）与对称轴的距离可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴交点在y轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵，
∴b＝a，
∵抛物线经过（﹣2，0），对称轴为直线x，
∴抛物线经过点（1，0），
∴a+b+c＝2b+c＝0，②正确．
∵抛物线经过（1，0）且抛物线开口向下，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，③正确，
∵抛物线开口向下，（）（），
∴y1＞y2，④错误．
故选：C．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
⑤∵bx1bx2，
∴bx1bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故选：D．
16．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】结合函数图象可得开口向上，a＞0，对称轴为，函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，与x轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果．
【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确；
③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵c＜0，
∴c（a﹣b+c）＜0，
即ac﹣bc+c2＜0，④正确；
综上可得：②③④正确，
故选：C．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③a+c＞﹣b；④5a﹣2b+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
∵该函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
则a﹣（﹣2a）+c＞0，
即3a+c＞0，故②正确，符合题意；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，故③错误，不符合题意；
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，a＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，经过点（﹣1，0），有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对③进行判断，利用x＝﹣1时，y＝0可对②进行判断；把x＝2代入解析式中可对③进行判断；利用x＝1时，函数的最大值为a+b+c可对④进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
即a+c＝b，所以②错误；
③把x＝2代入解析式中得，4a+2b+c＞0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞am2+mb+c，
即a+b＞m（am+b），所以④正确．
正确的有3个．
故选：C．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x．对于下列结论：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm（a﹣2b）（其中m）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法得到b＝a，c＝﹣2a，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据am2+bm＝am2+am＝a（m）2.（a﹣2b）（a﹣2a）a，a＜0，m，可以得到a（m）2＜0，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
把（﹣2，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
，
解得，
∴2a+c＝0，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m）2.（a﹣2b）（a﹣2a）a，
∴am2+bm（a﹣2b）＝a（m）2，
又∵a＜0，m，
∴a（m）2＜0，
即am2+bm（a﹣2b）（其中m），故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口朝下，
∴当x时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＜y2，故④错误，
故选：B．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）
①abc＜0；
②4ac＜b2；
③a+c＞b；
④a﹣c＞0．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拔】观察图象可知a＞0，b＞0，c＜0，可判断①；图象与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，可判断②；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，从而a+c＜b，可判断③；a＞0，c＜0，故a﹣c＞0，可判断④．
【解答】解：观察图象可知抛物线开口向上，故a＞0，
对称轴在y轴左侧，故b＞0，与y轴交于负半轴，故c＜0，
故abc＜0，①正确；
图象与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，则4ac＜b2，②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，从而a+c＜b，③错误；
∵a＞0，c＜0，
∴a﹣c＞0，④正确．
故①②④正确．
故选：B．
21．已知二次函数；y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③a﹣b+c＜0；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．③④ C．③⑤ D．④⑤
【思路点拔】由二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当x＝﹣1时，得y＜0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac，
故②错误；
∵当x＝﹣1时，y＜0．即a﹣b+c＜0．故③正确；
∵x＝1时函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确．
将x轴下方二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，
由对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．
综上：③④正确．
故选：B．
22．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．2
【思路点拔】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝3，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6+3＝6，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为6．
故选：B．
23．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
【思路点拔】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
24．已知二次函数y（x﹣h）2，当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，则常数h的值为（ ）
A．1或3 B．﹣1或1 C．3或5 D．﹣1或5
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得h的值．
【解答】解：∵二次函数y（x﹣h）2，
∴该函数的对称轴为直线x＝h，
当h＜1时，
∵当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，
∴x＝1时，y＝﹣2，即﹣2（1﹣h）2，得h1＝﹣1，h2＝3（舍去）；
当1≤h≤3时，y的最大值为0，不符合题意；
当h＞3时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，
∴x＝3时，y＝﹣2，即﹣2（3﹣h）2，得h3＝1（舍去），h4＝5；
由上可得，h的值是﹣1或5，
故选：D．
25．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【思路点拔】依据题意，先求得抛物线对称轴，然后分两种情况讨论得到关于m的方程，解方程即可求得m值．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为2，
∴①当m＞0时，x＝1时，y＝2，
则m﹣2m+3＝2，
解得m＝1．
②当m＜0时，
∵对称轴是直线x＝1，
∴当x＝﹣1时，y取最小值＝2，
则m+2m+3＝2，
解得m．
故m的值为1或，
故选：D．
26．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2
【思路点拔】依据题意，由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，从而当x＝1时，y取最小值为﹣4．，再分三种情形①m+2＜1②m≤1，m+2≥1③m＞1，分别进行分析可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＝1时，y取最小值为﹣4．
①当m+2＜1时，即m＜﹣1时，
有（m+2）2﹣2（m+2）﹣3＝﹣4．
∴m＝﹣1，不合题意．
②当m≤1，m+2≥1时，即﹣1≤m≤1．
此时当x＝1时，y取最小值为﹣4，符合题意．
③当m＞1时，
有m2﹣2m﹣3＝﹣4．
∴m＝1，不合题意．
总上，﹣1≤m≤1．
故选C．
27．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或
【思路点拔】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，
解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
解得：m；
故选：C．
28．如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．8
【思路点拔】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为﹣4+c；根据已知条件可得﹣4+c＝0，据此可求出c的值，进而解答．
【解答】解：函数解析式可转化为y＝（x﹣2）2﹣4+c，
根据该图象开口向上，可知函数的最小值是﹣4+c，
又由已知条件可知函数的最小值是0，可得：
﹣4+c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
29．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A．和﹣4 B．0和﹣4 C．和0 D．和﹣6
【思路点拔】由题意知，，则对称轴为直线x＝﹣1，由，可知当x＝﹣1时，y有最大值为；当x＝﹣2时，y＝0；当x＝2时，y＝﹣4；由﹣4＜0，可得y的最小值为﹣4，然后判断作答即可．
【解答】解：由题意知，，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵，
∴当x＝﹣1时，y有最大值为；
当x＝﹣2时，y＝0；当x＝2时，y＝﹣4；
∵﹣4＜0，
∴y最小值为﹣4．
∴函数的最大值和最小值分别为和﹣4．
故选：A．
30．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【思路点拔】根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出a的值即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），且二次函数的图象开口向下，
∵当x时，y1，
∴a＜﹣1，
当y＝1时，﹣a2﹣2a+3＝1，
解得a＝﹣1或1（舍去），
故选：A．
31．已知二次函数y＝2x2﹣8x+1，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值为（ ）
A．11 B．1 C．﹣5 D．﹣7
【思路点拔】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵2＞0，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤1，
∴当x＝1时，二次函数有最小值，即为：y＝2×12﹣8×1+1＝﹣5；
故选：C．
32．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣5＜y＜3 B．﹣5＜y＜4 C．﹣5＜y≤4 D．3＜y≤4
【思路点拔】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣2＜x＜2时，x＝1取得最大值为4，
x＝﹣2时取得最小值为﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
∴y的取值范围是﹣5＜y≤4．
故选：C．
33．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【思路点拔】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
34．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【思路点拔】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a；
综上所述：a的值为4或，
故选：D．
35．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值b，则a+b的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
【思路点拔】根据配方法求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性和最值问题即可求解．
【解答】解：函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
则对称轴为x＝1，且a＝1＞0，开口向上，
在0≤x≤4中，当x＝1时，y有最小值b，b＝2，
当x＝4时，y有最大值a，a＝11，
∴a+b＝13．
故选：A．
36．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值11 B．有最小值3
C．有最小值2 D．有最大值3
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上，
∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2，
故选：C．
37．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0
B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4
D．有最大值5，有最小值﹣4
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
38．二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（ ）
A．±2 B．2 C．±2.5 D．2.5
【思路点拔】分m≤0、m≥1和0≤m≤1三种情况，根据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2（m为常数），
①若m≤0，当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+m2＝4，
m不存在，
②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2＝4，
解得：m＝2.5；
③若0≤m≤1，当x＝m时，y＝m2＝4，
即：m2＝4，
解得：m＝2或m＝﹣2，
∵0≤m≤1，
∴m＝﹣2或2都舍去，
故选：D．
39．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值的差为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【思路点拔】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到该函数的最大值与最小值，然后作差即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，
∵﹣2≤x≤3，1﹣（﹣2）＝3，3﹣1＝2，
∴当x＝﹣2时，该函数取得最大值，此时y＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，此时y＝﹣4，
∵5﹣（﹣4）＝5+4＝9，
∴当﹣2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值的差为9，
故选：D．
40．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【思路点拔】根据二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，可以得到该函数的对称轴，再根据﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，可以得到x＝4时y＝5，然后计算即可．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
∴当x＝4时，a（4﹣1）2﹣4＝5，
解得a＝1，
故选：C．
41．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1
【思路点拔】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+5＝4
解得m＝﹣3；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值为5，不合题意；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+5＝4，
解得m＝2．
故选：C．
42．若二次函数y＝mx2﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（ ）
A．m＝4 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝﹣4
【思路点拔】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数有最大值，
∴m＜0且3，
解得m＝﹣4．
故选：D．
43．二次函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣1≤x≤2时，y的最大值为m，最小值为n，则m+n＝（ ）
A．3 B．4 C．7 D．1
【思路点拔】依据题意，求出函数的对称轴，再由抛物线的增减性可以判断得解．
【解答】解：由抛物线的表达式知，对称轴为直线x＝1．
∵抛物线开口向下，
∴离直线x＝1越远，函数值越小，
当﹣1≤x≤2时，
∵1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，
∴当x＝1时，y最大值为4，当x＝﹣1时，y取最小值为y＝﹣（﹣1﹣1）2+4＝0；．
∴m＝4，n＝0．
∴m+n＝4．
故选：B．
44．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．﹣4或 B．4或 C．﹣4或 D．4或
【思路点拔】先求出对称轴为x＝1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2﹣m+2，
∴对称轴为直线x＝1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝1时，有最小值y＝﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝4；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝﹣2时，有最小值y＝9m﹣m+2＝﹣2，
解得：m；
故选：B．
二．填空题（共7小题）
45．二次函数y＝﹣x2+2x+3在﹣1≤x≤4范围内的最小值为 ﹣5 ．
【思路点拔】先求得对称轴与顶点坐标，以及函数图象与x轴的交点坐标，进而得到二次函数的图象，根据图象即可求得函数在﹣1≤x≤4范围时的最小值．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1，x＝3，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0）（3，0），
根据图象可知当﹣1≤x≤4时，函数的最小值为x＝4时的y值，
∴当x＝4时，y＝﹣42+2×4+3＝﹣5，
∴二次函数在﹣1≤x≤4范围内的最小值为﹣5．
故答案为：﹣5．
46．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣h）2，当2≤x≤5时，函数有最大值﹣1，则h的值为 1或6 ．
【思路点拔】分h＞5，h＜2，2≤h≤5三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝h，
∴当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤5时，函数有最大值﹣1，
①当h＞5时，则：当x＝5时，函数有最大值为：﹣（5﹣h）2＝﹣1，解得：h＝4（舍去）或h＝6；
②当h＜2时，则当x＝2时，函数有最大值为：﹣（2﹣h）2＝﹣1，解得：h＝3（舍去）或h＝1；
③当2≤h≤5时，则：当x＝h时，函数有最大值为：﹣（h﹣h）2＝0，不符合题意；
故答案为：1或6．
47．已知二次函数y＝x2﹣2ax+3（其中x是自变量且a≠0），且﹣2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是 或 ．
【思路点拔】先求出二次函数的对称轴x＝a，然后分a≤﹣2，﹣2＜a≤1，a＞1三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，
∴二次函数对称轴为直线x＝a，抛物线开口向上，
当a≤﹣2时，在﹣2≤x≤1时，y随着x的增大而增大，
当x＝﹣2时，y取得最小值，y＝（﹣2）2﹣2a×（﹣2）+3＝7+4a，
∵y的最小值为1，
∴7+4a＝1，
解得，不合题意舍去，
当﹣2＜a≤1时，在﹣2≤x≤1时，
当x＝a时，y取得最小值，y＝a2﹣2a×a+3＝﹣a2+3，
∵y的最小值为1，
∴﹣a2+3＝1，
解得（不合题意，舍去）或，
此时符合题意；
当a＞1时，在﹣2≤x≤1时，y随着x的增大而减小，
当x＝1时，y取得最小值，y＝12﹣2a×1+3＝﹣2a+4，
∵y的最小值为1，
∴﹣2a+4＝1，
解得，
此时符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
48．二次函数y＝x2﹣4x﹣3，当﹣2＜x≤3时，y的范围是 ﹣7≤y＜9 ．
【思路点拔】根据函数解析式求出对称轴和开口方向，可知抛物线在对称轴处有最小值，再求出端点处的函数值即可得出最后结果．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x﹣3的对称轴为，开口方向向上，
当x＝2时，函数有最小值y＝4﹣8﹣3＝﹣7，
当x＝﹣2时，y＝x2﹣4x﹣3＝9，
当x＝3时，y＝x2﹣4x﹣3＝﹣6，
∴﹣7≤y＜9，
故答案为：﹣7≤y＜9．
49．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，则函数y的最大值为 4 ．
（2）若当﹣1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为 1或 ．
【思路点拔】（1）由题意可知此时二次函数为y＝﹣x2+2x+3（a≠0）．，再将其变为顶点式即得出答案；
（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线x＝1，再分类讨论当a＞0时和当a＜0时，结合二次函数的图象和性质求解即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，该二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4．
故答案为：4；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴该二次函数的对称轴为直线x＝1．
当a＞0时，抛物线开口向上，
∴当﹣1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1＜x≤4时，y随x的增大而增大．
∵x轴上x＝4到x＝1的距离比x＝﹣1到x＝1的距离大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴5＝a（4﹣1）2﹣4a，
解得：a＝1；
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣4a，
∴5＝﹣4a，
解得：．
综上可知a的值为1或．
故答案为：1或．
50．已知二次函数y＝x2﹣8x+c的最小值为0，那么c的值等于 16 ．
【思路点拔】由二次函数y＝x2﹣8x+c的最小值为0得出顶点的纵坐标为0，利用抛物线的顶点公式即可求出c的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣8x+c的开口向上，
∴y＝x2﹣8x+c顶点的纵坐标为0，
∴，
解得c＝16，
故答案为16．
51．二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，则a的值为 ﹣6或 ．
【思路点拔】分0≤x对称轴≤2，x对称轴＜0及x对称轴＞2讨论即可得到答案；．
【解答】解：①当0≤x对称轴≤2，
∵二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，
∴﹣6＝a2﹣2a a+a，
解得：a1＝﹣2，a2＝3，不符合题意，
②当x对称轴＜0，函数在0≤x≤2上y随x增大而增大，
∵二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，
∴﹣6＝02﹣2a×0+a，
解得：a＝﹣6，
③当x对称轴＞2，函数在0≤x≤2上y随x增大而减小，
∵二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，
∴﹣6＝22﹣2a×2+a，
，
故答案为：﹣6或．中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数最值 图像与系数关系 专项练习
一．选择题（共44小题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜（a+c）2；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；①a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．③④⑤ D．②③⑤
2．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上有一点（﹣1，0），对称轴是直线
x＝1，给出下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
①0；
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；③b+c＞0；④若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）且0＜x1＜4＜x2，则y1＜y2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．
其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④a+b≤m（am+b）（其中m≠1）；⑤b﹣c＞0；正确的结论有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b＜0；
②2a+b＝0；③4ac＜b2；④c＞a．其中错误结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），其中结论正确的个数为（ ）
①abc＜0，
②b2＞4ac，
③4a+2b+c＞0，
④3a+c＞0，
⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），
⑥当x＜﹣1时，y的值随着x的值增大而增大．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＝0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），有以下结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+a＞0；其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，且经过点（2，0）．有下列判断：①2a﹣b＝0；②16a﹣4b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若A（﹣3，y1），B（1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
14．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（﹣2，0）．有下列说法：①abc＜0；②2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，，是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③a+c＞﹣b；④5a﹣2b+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，经过点（﹣1，0），有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x．对于下列结论：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm（a﹣2b）（其中m）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）
①abc＜0；
②4ac＜b2；
③a+c＞b；
④a﹣c＞0．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
21．已知二次函数；y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③a﹣b+c＜0；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．③④ C．③⑤ D．④⑤
22．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．2
23．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
24．已知二次函数y（x﹣h）2，当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，则常数h的值为（ ）
A．1或3 B．﹣1或1 C．3或5 D．﹣1或5
25．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
26．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2
27．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或
28．如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．8
29．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A．和﹣4 B．0和﹣4 C．和0 D．和﹣6
30．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
31．已知二次函数y＝2x2﹣8x+1，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值为（ ）
A．11 B．1 C．﹣5 D．﹣7
32．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣5＜y＜3 B．﹣5＜y＜4 C．﹣5＜y≤4 D．3＜y≤4
33．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
34．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
35．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值b，则a+b的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
36．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值11 B．有最小值3
C．有最小值2 D．有最大值3
37．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0
B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4
D．有最大值5，有最小值﹣4
38．二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（ ）
A．±2 B．2 C．±2.5 D．2.5
39．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值的差为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
40．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
41．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1
42．若二次函数y＝mx2﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（ ）
A．m＝4 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝﹣4
43．二次函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣1≤x≤2时，y的最大值为m，最小值为n，则m+n＝（ ）
A．3 B．4 C．7 D．1
44．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．﹣4或 B．4或 C．﹣4或 D．4或
二．填空题（共7小题）
45．二次函数y＝﹣x2+2x+3在﹣1≤x≤4范围内的最小值为 ．
46．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣h）2，当2≤x≤5时，函数有最大值﹣1，则h的值为 ．
47．已知二次函数y＝x2﹣2ax+3（其中x是自变量且a≠0），且﹣2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是 ．
48．二次函数y＝x2﹣4x﹣3，当﹣2＜x≤3时，y的范围是 ．
49．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，则函数y的最大值为 ．
（2）若当﹣1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为 ．
50．已知二次函数y＝x2﹣8x+c的最小值为0，那么c的值等于 ．
51．二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，则a的值为 ．
