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《三角形内角和定理》同步提升训练题（一）
一．选择题（共35小题）
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【思路点拔】在△ABC中，由∠A＝∠B＝2∠C，结合三角形内角和定理，可求出各角的度数，进而可得出△ABC是锐角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴C＝36°，
∴∠A＝∠B＝2∠C＝2×36°＝72°，
∴△ABC是锐角三角形．
故选：A．
2．如图，△ABC中，BE为△ABC的高，∠1＝∠2，∠EAB：∠ABE＝3：2，那么∠3是（ ）
A．59° B．63° C．56° D．52°
【思路点拔】由∠EAB：∠ABE＝3：2，设∠EAB＝∠1+∠2＝6x，则∠ABE＝4x，∠1＝∠2＝3x，进而利用直角三角形的两锐角互余求得x，从而即可得解．
【解答】解：∵∠EAB：∠ABE＝3：2，∠1＝∠2，
设∠EAB＝∠1+∠2＝6x，则∠ABE＝4x，
∴∠1＝∠2＝3x，
∵BE为△ABC的高，
∴BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2+∠ABE＝90°，
即3x+3x+4x＝90°，
解得x＝9°，
∴∠1＝27°，
∵BE⊥AC，
∴∠3＝∠AFE＝90°﹣∠1＝90°﹣27°＝63°，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【思路点拔】根据三角形的内角和定理，三角形角平分线、高线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝45°，
∵CD是高线，
∴CD⊥AB，
即∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（ ）
A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1
C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2
【思路点拔】根据外角的性质和角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∴∠3＝∠2+∠DAC＝∠2+∠BAD，
∵∠1+∠BAD＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠1+∠2+∠BAD＝2∠2．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．若∠AEC＝80°，∠BFC＝128°，则∠ABC的度数是（ ）
A．28° B．38° C．42° D．62°
【思路点拔】根据∠BFC的度数以及BD⊥AC，可求出∠ACE度数，进而得出∠ACB度数，再结合∠AEC度数，求出∠A度数，最后利用三角形的内角和定理即可解题．
【解答】解：因为BD是AC边上的高，
所以∠BDC＝90°．
又∠BFC＝128°，
所以∠ACE＝128°﹣90°＝38°，
又∠AEC＝80°，
则∠A＝62°．
又CE是∠ACB的平分线，
所以∠ACB＝2∠ACE＝76°．
故∠ABC＝180°﹣62°﹣76°＝42°．
故选：C．
6．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（ ）
A．12° B．13° C．17° D．18°
【思路点拔】由三角板的特征得出∠DEF＝45°，∠ABC＝30°，即可求出∠BED、∠ABE的度数，在△BED中根据三角形内角和定理即可求出∠EDB的度数．
【解答】解：根据题意得，∠DEF＝45°，∠ABC＝30°，
∵∠FEB＝62°，
∴∠BED＝∠FEB﹣∠DEF＝62°﹣45°＝17°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°，
∴∠EDB＝180°﹣∠ABE﹣∠BED＝180°﹣150°﹣17°＝13°，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
【思路点拔】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案．
【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，
故选：C．
8．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75° B．60° C．105° D．120°
【思路点拔】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
9．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（ ）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
【思路点拔】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故选：C．
10．如图，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A． B．2（∠B﹣∠C） C．∠B﹣2∠C D．∠B﹣∠C
【思路点拔】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC∠BAC＝90°（∠B+∠C），
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣∠C﹣[90°（∠B+∠C）]（∠B﹣∠C），
故选：A．
11．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【思路点拔】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示．
在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°，
∴∠MBC+∠MCB
＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM
＝180°﹣70°﹣40°﹣30°
＝40°．
又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC，
∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°．
故选：B．
12．如图，在△ABC中，∠A＝50度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．230 B．180 C．320 D．120
【思路点拔】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠B+∠C的度数，再在四边形BCED中，利用四边形内角和定理，即可求出∠1+∠2的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
在四边形BCED中，∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°．
故选：A．
13．把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠ADE的大小为（ ）
A．165° B．155° C．145° D．135°
【思路点拔】根据垂直推出∠FEC+∠F＝180°，得到DF∥EC，进而得到∠FDB＝∠ABC＝60°，求出∠ADF＝120°，再根据∠ADE＝∠ADF+∠FDE计算出答案．
【解答】解：∵FE⊥CE，
∴∠FEC＝90°＝∠F，
∴∠FEC+∠F＝180°，
∴DF∥EC，
∴∠FDB＝∠ABC＝60°，
∴∠ADF＝120°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF+∠FDE＝165°，
故选：A．
14．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【思路点拔】因为BD是∠ABC的角平分线，所以，由AD⊥BD，得∠ADB＝90°，则，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，即可作答．
【解答】解：因为BD是∠ABC的角平分线，
∴，
由AD⊥BD，得∠ADB＝90°，
在△ABD中，，
因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，
把∠DAC＝20°，∠C＝38°代入，
得，
那么∠ABC＝64°，
所以，
故选：B．
15．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【思路点拔】先根据三角形的内角和定理可得∠C＝40°，再根据三角形的内角和定理可得∠CDE+∠CED＝140°，然后根据四边形的内角和即可得．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
在△CDE中，∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∵四边形ABED的内角和为180°×（4﹣2）＝360°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠CDE+∠CED＝360°，
即65°+75°+20°+∠2+140°＝360°，
解得∠2＝60°，
故选：D．
16．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【思路点拔】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数．
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
17．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用三角形的内角和定理进行推导即可．
【解答】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定△ABC为直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝36°，
则∠A＝∠B＝2∠C＝72°，故不能确定△ABC为直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x+3x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，故可确定直角三角形；
④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定直角三角形；
⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B∠A，∠C∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A180°，
解得：∠A＝（98）°，
故不能确定△ABC为直角三角形．
则能确定△ABC为直角三角形的条件有3个，
故选：C．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E＝100°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【思路点拔】根据三等分线可得∠ABE，，依据三角形内角和定理可得∠A＝100°﹣（∠ABE+∠ACE）＝100°（∠ABC+∠ACB）＝100°，解出∠A即可确定选项正误．
【解答】解：∵BG、BE是∠ABC的三等分线，CF、CE是∠ACB的三等分线，
∴∠ABE，，
∵∠E＝100°，
∴∠ABE+∠ACE+∠A＝100°
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝100°﹣（∠ABE+∠ACE）＝100°（∠ABC+∠ACB）＝100°，
∴∠A＝60°．
故选：B．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【思路点拔】由AE平分∠BAC，可得∠1＝∠EAD+∠2，由∠1＝40°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD中再利用两锐角互余可求得答案．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
20．如图，∠A＝40°，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
【思路点拔】利用三角形的内角和分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，∠5+∠6的度数后再将它们相加即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠1+∠2＝180°﹣40°＝140°；∠3+∠4＝180°﹣40°＝140°；∠5+∠6＝180°﹣40°＝140°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝140°+140°+140°＝420°，
故选：D．
21．在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝54°，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC，交BC于E，则∠CDE的大小是（ ）
A．40° B．43° C．46° D．54°
【思路点拔】由三角形的内角和可求得∠ACB＝80°，再由角平分线的定义得，由DE∥AC，可得∠CDE＝∠ACD，然后作答即可．
【解答】解：∵∠A＝46°，∠B＝54°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180床﹣46°﹣54°＝80°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD＝40°，
故选：A．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【思路点拔】根据角平分线，高线，三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC边于点E，∠ABE＝25°，
∴∠ABD＝2∠ABE＝50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°，
故选：A．
23．如图所示，△ABC与某长方形相交于A、E、D、F点，如果∠B＝35°，∠BAF＝20°，那么∠CDE＝（ ）
A．15° B．55° C．45° D．50°
【思路点拔】由题意可知DE∥AF，∠CFA＝∠B+∠BAF＝55°，然后根据平行线的性质可进行求解．
【解答】解：由题意可知：DE∥AF，
∴∠CFA＝∠CDE，
∵∠B＝35°，∠BAF＝20°，
∴∠CDE＝∠CFA＝∠B+∠BAF＝35°+20°＝55°；
故选：B．
24．如图，AB⊥CD于点O，点E，F分别是射线OA，OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M，N．若△MEN中有一个角是另一个角的4倍，则∠EFO为（ ）
A．36°或45° B．30°或60° C．45°或60° D．72°或45°
【思路点拔】先根据角平分线和平角的定义可得：∠MEN＝90°，分4种情况讨论，①当∠MEN＝4∠M时，②当∠MEN＝4∠N时，③当∠N＝4∠M时，④当∠M＝4∠N时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论．
【解答】解：∵EM平分∠FEB，EN平分∠BEG，
∴∠MEB＝∠FEM，∠NEB＝∠NEG，
∴∠MEB+∠NEB（∠FEB+∠BEG）＝90°，
∴∠MEN＝90°；
①当∠MEN＝4∠M时
∴∠M∠MEN＝22.5°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOB＝45°，
∴∠MEO＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠FEO＝45°，
∴∠EFO＝90°﹣45°＝45°；
②当∠MEN＝4∠N时，
∴∠N∠MEN＝22.5°，
∴∠M＝90°﹣22.5°＝67.5°＞45°，
此种情况不成立；
③当∠N＝4∠M时，
设∠M＝x°，
∴x+4x＝90，
x＝18°，
∴∠MEO＝45°﹣18°＝27°，
∴∠FEO＝54°，
∴∠EFO＝90°﹣54°＝36°；
④当∠M＝4∠N时，
设∠N＝y°，
∴y+4y＝90，
y＝18°，
∴∠M＝72°＞45°
此种情况不成立；
综上所述，∠EFO的度数为36°或45°；
故选：A．
25．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠A＝118°，则∠BDC的度数为（ ）
A．149° B．140° C．124° D．150°
【思路点拔】利用三角形内角和定理和角平分线定理进行计算即可．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝118°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣118°＝62°，
∴2∠DBC+2∠DCB＝62°，
∴∠DBC+∠DCB＝31°，
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣31°＝149°，
故选：A．
26．如图，将△ABC沿AE折叠，使点C落在边BC上的点D处，且AD恰好是△ABE的角平分线，若∠BAC＝75°，则∠C＝（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【思路点拔】先根据折叠的性质及角平分线的定义得出∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝25°，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：由折叠知，∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAE，∠AEC＝90°，
∵AD为∠ABE的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠DAE+∠CAE＝∠BAC＝75°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝25°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故选：C．
27．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【思路点拔】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
28．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD为边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A．60° B．70° C．30° D．50°
【思路点拔】先根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，再根据角平分线定义求出，进而根据AD⊥BC得△BDF为直角三角形，由此可得∠BFD的度数，即可根据∠AFE＝∠BFD求解．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°．
∴∠AFE＝∠BFD＝60°
故选：A．
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是∠BAC的角平分线，则∠ADB＝（ ）
A．65° B．75° C．85° D．90°
【思路点拔】先根据角平分线的定义得出∠BAD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC＝40°，AD是∠BAC的角平分线，∠B＝75°，
∴∠BAD∠BAC40°＝20°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣75°﹣20°＝85°．
故选：C．
30．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【思路点拔】根据三角形的内角和定理可直接求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝75°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣40°＝65°，
故选：A．
31．一个三角形，其中有两个角分别是50°和70°，第三个角是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【思路点拔】根据三角形的内角和定理求解即可得．
【解答】解：∵三角形两个角分别是50°和70°，
∴第三个角是180°﹣50°﹣70°＝60°，
故选：A．
32．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【思路点拔】根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF（180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°，
故选：C．
33．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE、CF相交于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．110° B．70° C．80° D．75°
【思路点拔】由BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，根据角平分线的定义，可求得∠EBC与∠FCB的度数，然后又三角形外角的性质，求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，
∴∠CBE∠ABC＝40°，∠FCB∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠CBE+∠FCB＝70°．
故选：B．
34．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．若已知∠BAO＝45°，则∠C＝（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
【思路点拔】先运用三角形外角的性质求出∠ABN的度数，再运用角平分线求出∠ABE的度数，再运用角平分线求出∠BAC，用三角形外角性质即可求出∠C的度数．
【解答】解：∵∠BAO＝45°，∠MON＝90°，
∴∠ABN＝∠BAO+∠MON＝90°+45°＝135°，
∵BE平分∠NBA，
∴∠ABE135°＝67.5°，
又∵AC平分∠BAO的平分线，
∴∠BAC＝22.5°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：A．
35．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【思路点拔】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故选：D．
二．填空题（共14小题）
36．已知△ABC中，2（∠B+∠C）＝3∠A，则∠A＝ 72° ．
【思路点拔】根据三角形的内角和定理即可得．
【解答】解：∵2（∠B+∠C）＝3∠A，
∵，
由三角形的内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，
即有，
解得：∠A＝72°．
故答案为：72°．
37．已知△ABC中，∠A＝120°，2∠B+∠C＝80°，则∠B＝ 20 °．
【思路点拔】根据三角形内角和定理可得∠B+∠C＝60°，由题意2∠B+∠C＝80°，组成方程组求解即可．
【解答】解：∵∠A＝120°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵∠C+2∠B＝80°，
∴∠B＝20°，
故答案为：20．
38．已知：△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠B：∠A＝5：3，则∠A＝ 60° ，∠C＝ 20° ．
【思路点拔】设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝x°，利用三角形内角和定理，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入∠A＝3x°与∠C＝x°中，即可求出结论．
【解答】解：设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝x°，
根据题意得：3x+5x+x＝180，
解得：x＝20，
∴∠A＝3x°＝3×20°＝60°，∠C＝x°＝20°．
故答案为：60°，20°．
39．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥AE，交AB于H，下列四个结论：
①∠DAE＝∠F；
②∠AEC＝∠B+∠EAC；
③2∠AEF＝∠ACF+∠BAE；
④2∠F＝∠ACB﹣∠B．
其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【思路点拔】根据三角形内角和定理和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可．
【解答】解：∵FH⊥AE，AD⊥BC，
∴∠AMF＝∠ADF＝90°，
∵∠AGM＝∠DGF，
∴∠DAE＝∠F；
故①符合题意；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠B+∠EAC，
故②符合题意；
∵∠AEF＝∠BAE+∠B，
∴2∠AEF＝2∠BAE+2∠B＝∠BAC+2∠B，
∵∠ACF＝∠BAC+∠B，
∴2∠AEF＝∠B+∠ACF，
故③不符合题意；
∴∠EAC＝∠DAE+∠CAD＝∠F+∠CAD，
∵AE是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠EAC＝2∠F+2∠CAD，
即∠BAC＝2∠F+2（90°﹣∠ACB）＝180°+2∠F﹣2∠ACB，
又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB，
∴180°+2∠F﹣2∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠ACB，
整理得：2∠F＝∠ACB﹣∠B．
故结论④符合题意．
综上：正确的有①②④．
故答案为：①②④．
40．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为36°，那么这个三角形的“友好角”α的度数为 36°或72°或96° ．
【思路点拔】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，可确定“友好角”的度数为96°．
【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，
∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为72°；
当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为36°；
当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，
解得：x＝48°，2x＝96；
综上所述：这个“友好三角形”的“友好角”的度数为36°或72°或96°．
故答案为：36°或72°或96°．
41．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB＝ 10°或20°或40°或110° ．
【思路点拔】分为四种情况，一是点P1在点B右侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B＝90°；二是点P2在点B右侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2＝90°；三是点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3＝90°；四是点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4＝90°，画出图形，分别求出∠AP1B、∠AP2B、∠AP3B、∠AP4B的度数即可．
【解答】解：如图，若点P1在点B右侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B＝90°，
∵∠BAP1+∠AP1B＝∠ABC＝50°，
∴∠BAP1+50°＝90°，
∴∠BAP1＝40°，
∴∠AP1B＝∠ABC﹣∠BAP1＝10°；
若点P2在点B右侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2＝90°，
∵∠AP2B+∠BAP2＝∠ABC＝50°，
∴∠AP2B+50°＝90°，
∴∠AP2B＝40°；
若点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3＝90°，
∵∠ABP3＝∠ABC＝50°，
∴2∠BAP3+50°＝90°，
∴∠BAP3＝20°，
∴∠AP3B＝180°﹣∠ABP3﹣∠BAP3＝180°﹣50°﹣20°＝110°；
若点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4＝90°，
∵∠ABP4＝∠ABC＝50°，
∴2∠AP4B+50°＝90°，
∴∠AP4B＝20°，
综上所述，∠APB的度数为10°或40°或110°或20°．
故答案为：10°或20°或40°或110°．
42．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝36°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜60°）．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 58.5 °．
【思路点拔】由∠MON＝40°，AB⊥OM，利用三角形的内角和定理可求得∠ABC＝50°，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【解答】解：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，
当△ABC为“灵动三角形”时，
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×54°＝162°，
∴∠OAC＝162°﹣∠O＝162°﹣38°＝124°（不合题意舍去），
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+54°＝180°，
∴∠CAB＝31.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝58.5°，
综上，∠OAC＝56.5°．
故答案为：58.5．
43．已知△ABC中，∠ACB＞90°，AD为∠BAC的角平分线，AE为BC边上的高，∠ACB﹣∠B＝90°，若∠CAE：∠CAD＝5：4，则∠B＝ 25° ．
【思路点拔】根据∠CAE：∠CAD＝5：4，设∠CAE＝5x，∠CAD＝4x，进而利用三角形内角和定理和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠CAE：∠CAD＝5：4，AD为∠BAC的角平分线，
设∠CAE＝5x，∠CAD＝4x，
∴∠ACB＝5x+90°，∠CAB＝8x，
∵∠ACB﹣∠B＝90°，
∴∠B＝5x，
∴8x+5x+90°+5x＝180°，
解得：x＝5°，
∴∠B＝5×5°＝25°，
故答案为：25°．
44．在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝64°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC的度数为 83.5°或59.2°或40° ．
【思路点拔】根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可．
【解答】解：设∠OAC＝x，则∠BAC＝90°﹣x，
∵∠MON＝64°，
∴∠ACB＝64°+x，∠ABC＝26°
∵△ABC为“高倍三角形”，
当∠ABC＝4∠BAC时，
即26°＝4（90°﹣x），
解得：x＝83.5°；
当∠ABC＝4∠ACB时，
即26°＝4（64°+x），
解得：x＝﹣57.5°（舍去）；
当∠BCA＝4∠BAC时，
即64°+x＝4（90°﹣x），
解得：x＝59.2°；
当∠BCA＝4∠ABC时，
即64°+x＝26°×4，
解得：x＝40°；
当∠BAC＝4∠ABC时，
即90°﹣x＝4×26°，
解得：x＝﹣14°（舍去）；
当∠BAC＝4∠ACB时，
即90°﹣x＝4（64°+x），
解得：x＝﹣33.2°（舍去）；
故答案为：83.5°或59.2°或40°．
45．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 20° ．
【思路点拔】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝∠ACB﹣∠ACN﹣∠FCB＝20°，
故答案为：20°．
46．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，D是边BC上一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，垂足为点D，DF交边AC于点F，当∠A＝40°，则∠DFA＝ 160 度．
【思路点拔】由三角形的内角和求得∠B＝∠D＝70°，由垂直可得∠CDF＝90°，再次利用三角形的内角和可求∠CFD的度数，由平角的定义即可求∠DFA的度数．
【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝70°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF＝90°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝20°，
∴∠DFA＝180°﹣∠CFD＝160°．
故答案为：160．
47．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是 ①②③ ．
【思路点拔】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°∠CGE，
∴∠CGE＝2∠DFB，
∴∠DFB∠CGE，故正确．
故答案为：①②③
48．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝40°，则∠D的度数为 20 °．
【思路点拔】根据平行线的性质求得∠ACB度数，然后根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，最后利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED＝40°，
∴∠ACB＝∠AED＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝20°，
故答案为：20．
49．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数是 80 °．
【思路点拔】利用三角形内角和定理求出∠B，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+30°＝80°，
故答案为80．
三．解答题（共11小题）
50．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE延长线上一点，且FD⊥BC于D，试找出∠EFD与∠B、∠C的大小关系．
【思路点拔】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE∠BAC[180°﹣（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED＝∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD＝90°﹣∠FED．
【解答】解：∠EFD（∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC．
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）；
∴∠BAE[180°﹣（∠B+∠C）]；
∴∠FED＝∠B+∠BAE＝∠B[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°（∠B﹣∠C）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°；
∴∠EFD＝90°﹣[90°（∠B﹣∠C）]（∠C﹣∠B）．
51．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，且AE，BF相交于点O，已知∠C＝80°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝40°，求∠DAE的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义，可得，再由三角形内角和定理可得∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝100°，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC＝10°，再由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°，然后根据角平分线的定义，可得，即可求解．
【解答】解：（1）∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∴，
∴．
∵在△ABC中，∠C＝80°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝100°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBC﹣∠OBA＝180°（∠BAC+∠ABC）＝180°100＝130°，
所以∠AOB的度数为130°．
（2）∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣80°＝10°，
∵∠C＝80°，∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE∠BAC60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣10°＝20°，
所以∠DAE的度数为20°．
52．阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°，90°，60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为90°；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 45° ；
（2）如图，∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以∠AOC为“优雅角”的“优雅角三角形”AOC，求∠ACB的度数．
【思路点拔】（1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
（2）先求出∠MON＝60°，结合△AOC是“优雅三角形”，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵一个“优雅三角形”的一个内角为120°，
∴另两个角之和为：180°﹣120°＝60°，
∵“优雅角”为锐角，
根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：45°；
（2）由题意可知：∠OAB＝∠MAB＝90°，
∵点C在线段OB上，
∴0°≤∠OAC≤90°，
∵∠MON＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵△AOC是以∠AOC为优雅角的“优雅三角形”，
∴∠OAC＝20°，
则∠ACO＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝180°﹣100°＝80°．
53．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数．
【思路点拔】由三角形内角和定理求出∠BAC＝80°，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC∠BAC＝40°，由外角的性质和余角的性质可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝80°，
∵DE是△ADC的高线，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝50°．
54．如图，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）填空：当∠ABC＝62°，∠ACB＝68°时，∠D＝ 115 °，∠P＝ 65 °；
（2）当∠A＝48°时，求∠D，∠P的度数；
（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．
【思路点拔】（1）先根据已知条件求出∠CBE和∠BCF，再根据角平分线的定义，求出∠DBC，∠DCB，∠PBC，∠BCP，最后利用三角形的内角和定理求出答案；
（2）先根据已知条件求出∠ACB+∠ABC，∠CBE+∠BCF，再根据角平分线的性质求出∠DBC+∠DCB和∠PBC+∠BCP，最后利用三角形的内角和定理求出答案；
（3）由（2）把∠D和∠P都用∠A表示出来，然后求出∠D+∠P即可判断．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝68°，∠ABC＝62°，
∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝112°，∠CBE＝180°﹣∠ABC＝118°，
∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴，，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°﹣59°﹣56°＝65°，∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣31°﹣34°＝115°，
故答案为：115，65；
（2）∵∠A＝48°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣48°＝132°，
∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠ACB+∠BCF＝360°，
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝228°，
∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴，，
∴，，
∴∠P＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣114°＝66°，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣66°＝114°，
（3）当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变化，理由：
由（2）可知：∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
，
∠P＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）
，
∴，
∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变化．
55．在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）∠ABO的度数为 30 °，△AOB 不是 （填“是”或“不是”）“智慧三角形”；
（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．（直接写出答案）
【思路点拔】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∠ABO的度数为30°
∴△AOB为直角三角形，不是“智慧三角形”，
故答案为：30；不是；
（2）∵∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”；
（3）∵△ABC为“智慧三角形”，
①当点C在线段OB上时，∵∠ABO＝30°，
∴∠BAC+∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，
∴∠OAC＝80°，
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴∠ACB＝10°
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴∠BAC+3∠BAC＝150°，
∴∠BAC＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣60°＝30°（舍去，此时为直角三角形不符合题意），
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝0°（舍去），
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴3∠ACB+∠ACB＝150°，
∴∠ACB＝37.5°，
∴此种情况不存在，
②当点C在线段OB的延长线上时，
∵∠ACO＝30°，
∴∠ABC＝150°，
∴∠ACB+∠BAC＝30°，
Ⅰ、当∠ACB＝3∠BAC时，
∴3∠BAC+∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝7.5°，
∴∠OAC＝90°+∠BAC＝97.5°，
Ⅱ、当∠BAC＝3∠BCA时，
∴3∠BCA+∠BCA＝30°，
∴∠BCA＝7.5°，
∴∠BAC＝3∠BCA＝22.5°，
∴∠OAC＝90°+22.5°＝112.5°
当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或97.5°或112.5°．
56．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【思路点拔】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠EAF的度数，进而得到∠ADC的度数；
（2）依据BE⊥AD，即可得到∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，即可得出∠AFE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
57．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F．
（1）【问题呈现】
如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数；
（2）【问题推广】
如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数；
（3）【问题拓展】
若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝α，∠ACB＝β．射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β的式子表示）．
【思路点拔】（1）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再根据角平分线定义得2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，则∠FBC+∠FCB（180°﹣∠A）＝90°∠A，然后根据三角形外角性质得∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝90°∠A；据此可得∠BFD的度数；
（2）根据∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2得∠AMF+∠ANF＝200°，根据折叠性质得∠AMF+∠ANF＝100°，则∠A＝80°，再根据（1）得∠BFD＝90°∠A＝50°，进而可得∠BFC的度数；
（3）依题意可分为以下两种情况：
①射线CF与∠APQ的平分线相交于点H，由（1）得∠BFH＝90°A，则∠BFD＝90°∠A，再求出∠1＝90°∠Aα＝∠BFDα，然后根据∠PHC＝∠1+∠ACH＝∠BFDαβ，由此可得∠PHC与∠BFC之间的数量关系；②射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时，同理∠1＝∠BFDα，∠PHC＝180°﹣∠1﹣∠ACH＝180°﹣（∠BFDα）β，由此可得∠PHC与∠BFC之间的数量关系，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠FBC+∠FCB（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∵∠BFD是△FBC的一个外角，
∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝90°∠A；
∵∠A＝100°，
∴∠BFD＝90°100°＝40°；
（2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°，
∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°，
由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM，
∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°，
∴∠AMN+∠ANM＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°，
由（1）得：∠BFD＝90°﹣1/2∠A，
∴∠BFD＝90°80°＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFD＝130°；
（3）∵P，Q分别是线段AB，AC上的点，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H，
∴有以下两种情况：
①射线CF与∠APQ的平分线相交于点H，设射线PH交AC于K，如图1所示：
由（1）得：∠BFH＝90°∠A，
∴∠BFD＝180°﹣∠BFH＝90°∠A，
∵CF平分∠ACB，PH平分∠APQ，∠ACB＝β，
∴∠ACH∠ACBβ，∠APK∠APQ，
∵∠APQ＝180°﹣∠A﹣∠AQP＝180°﹣∠A﹣α，
∴∠APK＝∠APQ＝90°∠A﹣1/2α，
∵∠1＝∠APK+∠A
∴∠1＝90°∠Aα+∠A＝90°∠Aα，
即∠1＝∠BFDα，
∵∠PHC＝∠1+∠ACH，
∴∠PHC＝∠BFDαβ，
∴∠PHC﹣∠BFDβα；
②射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时，设射线PH交AC于K，如图2所示：
同理：∠1＝∠BFDα，
在△KHC中，∠PHC＝180°﹣∠1﹣∠ACH＝180°﹣（∠BFDα）β
∴∠PHC+∠BFD＝180°αβ．
综上所述：∠PHC与∠BFC之间的数量关系是：∠PHC﹣∠BFDβα或∠PHC+∠BFD＝180°αβ．
58．已知：如图，△ABC中，AE和BF是△ABC的角平分线，它们相交于O，过点O作OD⊥BC于点D，若∠ABC＝40°，∠C＝60°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）求∠DOE的度数．
【思路点拔】（1）由角平分线的定义可得出，由三角形内角和定理可求出∠BAC＝80°，从而可求解；
（2）由角平分线的定义可得出，结合三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF∠ABC40°＝20°．
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∴∠AFB＝180﹣∠BAC﹣∠ABF＝80°，
所以∠AFB的度数为80°；
（2）∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC80°＝40°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝80°．
∵OD⊥BC，
∴∠DOE＝90°﹣∠AEC＝10°．
59．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 45 °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
（2）如图2，若∠OAD∠OAB，∠NBC∠NBA，求∠D的度数.
【思路点拔】（1）①先求出∠OBA＝30°，则∠ABN＝150°，再根据角平分线定义得∠DAB＝30°，∠NBC＝75°，则∠DBO＝∠NBC＝75°，进而得∠DBA＝105°，然后再根据三角形的内角和定理可得出∠D的度数；
②设∠BAO＝2θ，则∠OBA90°﹣2θ，∠ABN＝90°+2θ，再根据角平分线定义得∠DAB＝θ，∠NBC＝45°+θ，则∠DBO＝∠NBC＝45°+θ，进而得∠DBA＝∠DBO+∠OBA135°﹣θ，然后再根据三角形的内角和定理可得出∠D的度数；
（2）根据∠OAD∠OAB，∠NBC∠NBA，设∠OAB＝4α，∠NBA＝4β，则∠OAD＝3α，∠NBC＝3β，进而得∠DBO＝∠NBC＝3β，∠DAB＝α，∠OBA＝90°﹣4α，再根据三角形的内角和定理得∠D＝90°﹣3（β﹣α），然后再根据∠OBA+∠NBA＝180°得β﹣α＝22.5°，由此可得出∠D的度数．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝180°﹣（∠MON+∠BAO）＝30°，
∴∠ABN＝180°﹣∠OBA＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D，
∴∠DAB∠BAO＝30°，∠NBC∠ABN＝75°，
∴∠DBO＝∠NBC＝75°，
∴∠DBA＝∠DBO+∠OBA＝75°+30°＝105°，
在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠DBA+∠DAB）＝180°﹣（105°+30°）＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A，B的移动发生变化，始终是45°，理由如下：
设∠BAO＝2θ，
则∠OBA＝180°﹣（∠MON+∠BAO）＝180°﹣（90°+2θ）＝90°﹣2θ，
∴∠ABN＝180°﹣∠OBA＝180°﹣（90°﹣2θ）＝90°+2θ，
∵BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D，
∴∠DAB∠BAO＝θ，∠NBC∠ABN（90°+2θ）＝45°+θ，
∴∠DBO＝∠NBC＝45°+θ，
∴∠DBA＝∠DBO+∠OBA＝45°+θ+90°﹣2θ＝135°﹣θ，
在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠DBA+∠DAB）＝180°﹣（135°﹣θ+θ）＝45°；
（2）∵∠OAD∠OAB，∠NBC∠NBA，
∴设∠OAB＝4α，∠NBA＝4β，
∴∠OAD＝3α，∠NBC＝3β，
∴∠DBO＝∠NBC＝3β，∠DAB＝∠OAB﹣∠OAD＝α
∵∠MON＝90°，
∴∠OBA＝180°﹣（∠MON+∠OAB）＝180°﹣（90°+4α）＝90°﹣4α，
∴∠DBA＝∠DBO+∠OBA＝3β+90°﹣4α，
在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠DBA+∠DAB）＝180°﹣（3β+90°﹣4α+α）＝90°﹣3（β﹣α），
∵∠OBA+∠NBA＝180°，
∴90°﹣4α+4β＝180°，
∴β﹣α＝22.5°，
∴∠D＝90°﹣3×22.5°＝22.5°．
60．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ 40 °；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ 90 °；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数．
【思路点拔】（1）根据三等分线的定义即可得到答案；
（2）根据BD是“邻BC三分线”，根据三角形的外角性质计算即可；
（3）根据三角形内角和定理得到∠PBC+∠PCB＝180°﹣90°＝90°，根据“邻三分线”的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，
∴，
故答案为：40；
（2）如图，
∵BD是“邻BC三分线”时，∠ABD∠ABC＝30°，
则∠BDC＝∠ABD+∠A＝30°+60°＝90°，
故答案为：90；
（3）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°．
∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∠ABC∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°．中小学教育资源及组卷应用平台
《三角形内角和定理》同步提升训练题（一）
一．选择题（共35小题）
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．如图，△ABC中，BE为△ABC的高，∠1＝∠2，∠EAB：∠ABE＝3：2，那么∠3是（ ）
A．59° B．63° C．56° D．52°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（ ）
A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1
C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2
5．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．若∠AEC＝80°，∠BFC＝128°，则∠ABC的度数是（ ）
A．28° B．38° C．42° D．62°
6．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（ ）
A．12° B．13° C．17° D．18°
7．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
8．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75° B．60° C．105° D．120°
9．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（ ）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
10．如图，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A． B．2（∠B﹣∠C） C．∠B﹣2∠C D．∠B﹣∠C
11．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
12．如图，在△ABC中，∠A＝50度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．230 B．180 C．320 D．120
13．把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠ADE的大小为（ ）
A．165° B．155° C．145° D．135°
14．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
15．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
16．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
17．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E＝100°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
20．如图，∠A＝40°，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
21．在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝54°，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC，交BC于E，则∠CDE的大小是（ ）
A．40° B．43° C．46° D．54°
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
23．如图所示，△ABC与某长方形相交于A、E、D、F点，如果∠B＝35°，∠BAF＝20°，那么∠CDE＝（ ）
A．15° B．55° C．45° D．50°
24．如图，AB⊥CD于点O，点E，F分别是射线OA，OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M，N．若△MEN中有一个角是另一个角的4倍，则∠EFO为（ ）
A．36°或45° B．30°或60° C．45°或60° D．72°或45°
25．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠A＝118°，则∠BDC的度数为（ ）
A．149° B．140° C．124° D．150°
26．如图，将△ABC沿AE折叠，使点C落在边BC上的点D处，且AD恰好是△ABE的角平分线，若∠BAC＝75°，则∠C＝（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
27．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
28．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD为边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A．60° B．70° C．30° D．50°
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是∠BAC的角平分线，则∠ADB＝（ ）
A．65° B．75° C．85° D．90°
30．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
31．一个三角形，其中有两个角分别是50°和70°，第三个角是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
32．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
33．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE、CF相交于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．110° B．70° C．80° D．75°
34．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．若已知∠BAO＝45°，则∠C＝（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
35．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
二．填空题（共14小题）
36．已知△ABC中，2（∠B+∠C）＝3∠A，则∠A＝ ．
37．已知△ABC中，∠A＝120°，2∠B+∠C＝80°，则∠B＝ °．
38．已知：△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠B：∠A＝5：3，则∠A＝ ，∠C＝ ．
39．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥AE，交AB于H，下列四个结论：
①∠DAE＝∠F；
②∠AEC＝∠B+∠EAC；
③2∠AEF＝∠ACF+∠BAE；
④2∠F＝∠ACB﹣∠B．
其中正确的结论是 （填写序号）．
40．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为36°，那么这个三角形的“友好角”α的度数为 ．
41．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB＝ ．
42．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝36°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜60°）．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 °．
43．已知△ABC中，∠ACB＞90°，AD为∠BAC的角平分线，AE为BC边上的高，∠ACB﹣∠B＝90°，若∠CAE：∠CAD＝5：4，则∠B＝ ．
44．在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝64°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC的度数为 ．
45．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 ．
46．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，D是边BC上一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，垂足为点D，DF交边AC于点F，当∠A＝40°，则∠DFA＝ 度．
47．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是 ．
48．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝40°，则∠D的度数为 °．
49．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数是 °．
三．解答题（共11小题）
50．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE延长线上一点，且FD⊥BC于D，试找出∠EFD与∠B、∠C的大小关系．
51．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，且AE，BF相交于点O，已知∠C＝80°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝40°，求∠DAE的度数．
52．阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°，90°，60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为90°；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ；
（2）如图，∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以∠AOC为“优雅角”的“优雅角三角形”AOC，求∠ACB的度数．
53．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数．
54．如图，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）填空：当∠ABC＝62°，∠ACB＝68°时，∠D＝ °，∠P＝ °；
（2）当∠A＝48°时，求∠D，∠P的度数；
（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．
55．在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”）“智慧三角形”；
（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．（直接写出答案）
56．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
57．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F．
（1）【问题呈现】
如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数；
（2）【问题推广】
如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数；
（3）【问题拓展】
若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝α，∠ACB＝β．射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β的式子表示）．
58．已知：如图，△ABC中，AE和BF是△ABC的角平分线，它们相交于O，过点O作OD⊥BC于点D，若∠ABC＝40°，∠C＝60°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）求∠DOE的度数．
59．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
（2）如图2，若∠OAD∠OAB，∠NBC∠NBA，求∠D的度数.
60．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ °；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数．
