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《三角形外角的性质》同步提升训练题
一．选择题（共26小题）
1．如图所示，将含角45°角的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠2＝95°，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．85° C．70° D．50°
2．如图，BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E，若∠A＝30°，∠E＝25°，则∠ACB是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．65°
3．将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则∠ABC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．8°
4．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（ ）
A．12° B．15° C．18° D．22°
5．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
6．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，给出下列结论：其中错误的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2
C． D．∠BOC＝90°+∠2
7．如图，若∠B＝45°，∠C＝38°，则∠ADF等于（ ）
A．97° B．83° C．93° D．70°
8．如图，∠DBA＝105°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．50°
9．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．95° B．85° C．75° D．65°
10．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．以下结论①∠OCE＝90°，②∠1＝2∠2，③，④∠BOC＝3∠2，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ABC＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠ACD＝130°，则∠E的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
13．如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．∠E＝∠A B．∠DBE＝90°
C．2∠D＝∠A D．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD
14．将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点B落在EF上，则∠CBF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
15．如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
16．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）
A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3
17．已知三角形的一个外角等于60°，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大10°，则这个三角形的三个内角分别是（ ）
A．120°，35°，25° B．110°，45°，25°
C．100°，55°，25° D．120°，40°，20°
18．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是（ ）
A．∠1+∠2＝∠3+∠4 B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝∠2﹣∠4 D．∠1+∠3＝∠2+∠4
19．如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．37° B．70° C．74° D．84°
20．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠PAO+∠PCE＝90° B．
C．∠P＝90°+∠D D．∠P＝90°﹣2∠B
21．如图，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系是（ ）
A．∠1+∠2＝∠3+∠4 B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1+∠4＝∠2+∠3 D．∠1+∠4＝∠2﹣∠3
22．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的角平分线交于点E，则∠AEC的度数为（ ）
A．67° B．40° C．77° D．57°
23．如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求∠BAC与∠B，∠E的关系是（ ）
A．∠BAC＝∠B+∠E B．∠BAC＝∠B+2∠E
C．∠BAC＝2∠B+∠E D．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（ ）
A．40° B．30° C．25° D．20°
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则以下结论：①∠BAC＝70°；②∠DOC＝90°；③∠BDC＝35°；④∠DAC＝55°．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
26．若一个三角形的3个内角的度数之比1：2：3，则与之对应的3个外角的度数之比为（ ）
A．5：3：4 B．3：4：5 C．5：4：3 D．3：5：4
二．填空题（共10小题）
27．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
28．如图，∠A＝30°，∠B＝55°，∠C＝20°，则∠ADC的度数为 ．
29．如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为 ．
30．如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 ．
31．如图，BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，BF、CE交于点G，如果∠BDC＝120°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为 度．
32．如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得∠ACD＝120°，∠ABC＝2∠BAC，则∠ABC＝ 度．
33．如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 ．
34．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝60°，则∠2的大小为 ．
35．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD、CD交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为 ．
36．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2023BC和∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024＝ ．
三．解答题（共24小题）
37．如图，在△ABC中，外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，连接DE，且AC∥DE．已知∠B＝28°，∠EAC＝84°，求∠CED的度数．
38．追本溯源
我们知道，三角形三个内角的和等于180°，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
推论证明
（1）已知：如图1，∠ACD是△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B；
知识应用
（2）如图2，在△ABC中，∠B＝50°，点D在边BC上，DE∥AB交AC于点F．若∠1＝95°，求∠C的度数．
39．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
40．自主学习，综合运用
材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B、C，若∠A＝40°，求∠ABD+∠ACD的度数．
②如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∠BPC＝130°，∠A＝40°，求∠BDC的度数．
41．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别等于30°和20°，李师傅量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
42．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于点A．
（1）求证：∠DFE＝∠A+∠D+∠E；
（2）若∠A＝34°，∠DFE＝64°，求∠E的度数；
（3）在（2）的条件下，若在图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线交于E3，以此类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+1，请用含有n的式子表示∠En+1的度数（直接写答案）．
43．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
44．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你的猜想．
45．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，求∠A+∠P的度数．
46．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠E＝25°，∠BAC＝80°，求∠B的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
47．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
48．如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝80°．求∠C的度数．
49．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的大小．
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
50．（1）如图1，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝30°，∠ADC＝26°，求∠P的度数．
（2）如图2，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求此时∠P的度数．
（3）在图3中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
51．综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．
探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC∠ABN，∠BAD∠BAO，求∠D的度数．
（3）在图1的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图3），∠D＝ （用含α的代数式表示）
52．在△ABC中，CE平分∠ACB，∠A＞∠B．
（1）如图①，若CD⊥AB于点D，∠A＝60°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
（2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，在线段CE上任取一点P，过点P作PD⊥AB于点D，请尝试写出∠A、∠B、∠DPE之间的数量关系，并说明理由．
53．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°．
（1）求证：AE∥BC；
（2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数．
54．如图，∠1＝∠2，∠DEH+∠EHG＝180°，∠C＝∠A．
（1）试说明：∠AEH＝∠F；
（2）若∠B＝40°，∠F＝25°，则∠DEF＝ °．
55．探究：
如图①，在四边形ABDC中，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
应用：
如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝ 度；
拓展：
如图③，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，则∠BEC＝ 度．
56．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°．
（1）如图①，若I是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，则∠BIC＝ °；
（2）如图②，若D是△ABC的外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）如图③，点G在BC的延长线上，若E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由；
（4）在（3）的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．
57．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠A＝60°，则∠BPC的度数是 ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
58．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠ABD＝35°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
59．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下：
【原问呈现】
（1）如图1，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P＝ ；
【问题推广】
（2）如图1，△ABC中，若∠A＝θ，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数；
（4）如图3，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，请直接写出∠A的度数（结果用含n的代数式表示）．
60．如图，在△ABC中，∠B＝90°
（1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E＝ °；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．中小学教育资源及组卷应用平台
《三角形外角的性质》同步提升训练题
一．选择题（共26小题）
1．如图所示，将含角45°角的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠2＝95°，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．85° C．70° D．50°
【思路点拔】先根据三角形外角性质求出∠3的度数，再利用平角定义求解即可．
【解答】解：如图，∠＝95°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠2﹣∠4＝95°﹣45°＝50°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠3＝180°﹣60﹣50°＝70°，
故选：C．
2．如图，BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E，若∠A＝30°，∠E＝25°，则∠ACB是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．65°
【思路点拔】由三角形的外角性质得∠DBE＝∠A+∠E，∠ACB＝∠E+∠CBE，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠E＝25°，
∴∠DBE＝∠A+∠E＝55°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠DBE＝55°，
∴∠ACB＝∠E+∠CBE＝80°；
故选：C．
3．将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则∠ABC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．8°
【思路点拔】先由三角板中角度的特点得到∠FBC＝90°，∠DAE＝45°，∠F＝30°，再由三角形外角的性质得到∠FBA＝15°，则由角的和差关系可得∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝75°．
【解答】解：由三角板中角度的特点可得：
∠FBC＝90°，∠DAE＝45°，∠F＝30°，
∵∠DAE＝∠F+∠FBA，
∴∠FBA＝15°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
4．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（ ）
A．12° B．15° C．18° D．22°
【思路点拔】由∠FEB＝63°，∠FED＝45°，结合∠DEB＝∠FEB﹣∠FED，可求出∠DEB的度数，由∠ABC是△BDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠EDB的度数．
【解答】解：∵∠FEB＝63°，∠FED＝45°，
∴∠DEB＝∠FEB﹣∠FED＝63°﹣45°＝18°．
又∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠EDB＝∠ABC﹣∠DEB＝30°﹣18°＝12°．
故选：A．
5．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【思路点拔】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，给出下列结论：其中错误的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2
C． D．∠BOC＝90°+∠2
【思路点拔】根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得：，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）即可判断选项BCD．
【解答】解：A．∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴，，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
则，
∴∠1＝2∠2，故A正确，不符合题意；
B．C．D：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
则，，
则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）90°+∠2，
故选项C、D不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
7．如图，若∠B＝45°，∠C＝38°，则∠ADF等于（ ）
A．97° B．83° C．93° D．70°
【思路点拔】根据三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：由外角性质可得：∠ADF＝∠B+∠C＝83°．
故选：B．
8．如图，∠DBA＝105°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．50°
【思路点拔】根据邻补角的性质求出∠ABC，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵∠DBA＝105°，
∴∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠A＝∠ECA﹣∠ABC＝125°﹣75°＝50°，
故选：D．
9．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．95° B．85° C．75° D．65°
【思路点拔】根据角平分线的定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．以下结论①∠OCE＝90°，②∠1＝2∠2，③，④∠BOC＝3∠2，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】先根据角平分线的定义可得，，再根据∠OCE＝∠ACO+∠ACE即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得∠BOC＝90°+∠2，再结合结论③即可判断②正确；假设④∠BOC＝3∠2正确，从而可得∠2＝45°，再根据结论②可得∠1＝90°，由此即可判断④错误．
【解答】解：∵CO平分∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，
∴，，
∵∠ACB+∠ACD＝180°，
∴90°，结论①正确；
∵BO平分∠ABC，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO
，结论③正确；
又∵∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，
∴，
∴∠1＝2∠2，结论②正确；
假设∠BOC＝3∠2，
∴3∠2＝90°+∠2，
解得∠2＝45°，
∴∠1＝90°，
由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故选：C．
11．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ABC＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据角平分线的定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°（∠EAC+∠ACF）
＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°（180°﹣∠ABC）
＝90°∠ABC，
∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，
∴④错误；
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠DCF＞∠DBC，
∴∠ADC∠ABC，
∴⑤错误；
即正确的有3个，
故选：C．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠ACD＝130°，则∠E的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【思路点拔】利用角平分线得到∠DCE的度数，利用外角等于与它不相邻的两内角和，去求出∠E．
【解答】解：∵OE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠DCE＝∠ACE∠ACD＝65°，
∠DCE是△BCE的外角，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝65°，
∴∠E＝65°﹣35°＝30°．
故选：C．
13．如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．∠E＝∠A B．∠DBE＝90°
C．2∠D＝∠A D．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD
【思路点拔】根据角平分线的定义和平角判定选项B；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定C；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定A；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定D．
【解答】解：∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°A）＝90°∠A，故A错误；
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴2∠D＝∠A，故C正确；
∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBG，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠DBE＝90°，故B正确；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD，故D正确；
故选：A．
14．将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点B落在EF上，则∠CBF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【思路点拔】由三角形的外角性质得到∠ABF＝∠DFE﹣∠A＝15°，即可求出∠CBF的度数．
【解答】解：∵∠DFE＝45°，∠A＝30°，
∴∠ABF＝∠DFE﹣∠A＝15°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣15°＝75°．
故选：D．
15．如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【思路点拔】先根据∠CBD＝70°求出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠CBD＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠A＝∠ADE﹣∠ABD＝150°﹣110°＝40°．
故选：C．
16．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）
A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3
【思路点拔】根据三角形的外角性质进行解答即可．
【解答】解：因为∠1＝∠2+∠DCB，
所以∠1＞∠2，
因为∠3＝∠1+∠ACD，
所以∠3＞∠1，
所以∠3＞∠1＞∠2，
即∠2＜∠1＜∠3，
故选：D．
17．已知三角形的一个外角等于60°，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大10°，则这个三角形的三个内角分别是（ ）
A．120°，35°，25° B．110°，45°，25°
C．100°，55°，25° D．120°，40°，20°
【思路点拔】先设三角形的一个内角，根据三角形的外角与内角的关系得方程，求出两个内角，再根据外角与相邻内角的关系求出另一个内角．
【解答】解：设三角形中与这个外角不相邻的一个内角为x°，则另一个内角为x°+10°，
由三角形外角与内角的关系得：x+x+10＝60．
解得x＝25．
25+10＝35，180﹣60＝120．
所以该三角形的三个内角的度数为：25°，35°，120°．
故选：A．
18．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是（ ）
A．∠1+∠2＝∠3+∠4 B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝∠2﹣∠4 D．∠1+∠3＝∠2+∠4
【思路点拔】在图中标记∠5，利用三角形的外角性质，可得出∠5＝∠1+∠2，∠4＝∠3+∠5，进而可得出∠1+∠2＝∠4﹣∠3．
【解答】解：在图中标记∠5，如图所示．
由三角形外角的性质可得：∠5＝∠1+∠2，∠4＝∠3+∠5，
∴∠5＝∠4﹣∠3，
∴∠1+∠2＝∠4﹣∠3．
故选：B．
19．如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．37° B．70° C．74° D．84°
【思路点拔】先根据∠B＝∠1，∠BAC＝70°得出∠BAD+∠B＝70°，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC＝70°，
∴∠BAD+∠1＝70°，
∵∠B＝∠1，
∴∠B+∠BAD＝70°，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2＝∠B+∠BAD＝70°，
故选：B．
20．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠PAO+∠PCE＝90° B．
C．∠P＝90°+∠D D．∠P＝90°﹣2∠B
【思路点拔】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可得∠BAO＝∠BCD，即可得∠BAO+∠BCE＝180°，结合角平分线的定义可得∠PAO+∠PCE＝90°，∠PAB∠BCD，进而可判定A，B选项，延长AP交BC于点M，利用三角形外角的性质可得∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP，进而可得∠APC＝90°+∠D，即可判定C，D选项．
【解答】解：∵∠B+∠BAO+∠AOB＝180°，∠D+∠BCD+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∠B＝∠D，
∴∠BAO＝∠BCD，
∵∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BAO+∠BCE＝180°，
∵AP平分∠BAO，CP平分∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAO∠BAO，∠PCE∠BCE，
∴∠PAO+∠PCE＝90°，故A选项不符合题意；
∠PAB∠BCD，故B选项不符合题意；
延长AP交BC于点M，
∵∠APC＝∠AMC+∠BCP，∠AMC＝∠B+∠BAM，
∴∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP，
∵∠B＝∠D，∠BAP+∠BCP＝∠PAO+∠PCE＝90°，
∴∠APC＝90°+∠D，故C选项不符合题意；
∴∠APC≠90°﹣2∠B，故D选项符合题意，
故选：D．
21．如图，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系是（ ）
A．∠1+∠2＝∠3+∠4 B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1+∠4＝∠2+∠3 D．∠1+∠4＝∠2﹣∠3
【思路点拔】如图，由三角形外角的性质可得∠1+∠4＝∠5，∠2＝∠5+∠3，整理可求得∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系．
【解答】解：
如图，由三角形外角的性质可得∠1+∠4＝∠5，∠2＝∠5+∠3，
∴∠1+∠4＝∠2﹣∠3，
故选：D．
22．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的角平分线交于点E，则∠AEC的度数为（ ）
A．67° B．40° C．77° D．57°
【思路点拔】根据题意求出∠DAC+∠FCA＝226°，根据角平分线的定义求出∠EAC+∠ECA＝113°，即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠ACF，
∴，，
∴∠EAC+∠ECA（∠DAC+∠FCA）226°＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
所以∠AEC的度数为67°，
故选：A．
23．如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求∠BAC与∠B，∠E的关系是（ ）
A．∠BAC＝∠B+∠E B．∠BAC＝∠B+2∠E
C．∠BAC＝2∠B+∠E D．
【思路点拔】根据三角形外角性质求出∠ECD，根据三角形外角求出∠BAC即可．
【解答】解：∠BAC＝∠B+2∠E，
理由：
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ECD，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∠ECD＝∠ACE＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
故选：B．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（ ）
A．40° B．30° C．25° D．20°
【思路点拔】根据折叠的性质得到∠BA′D＝∠A＝65°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠BA′D＝∠A＝65°，
∵∠ABC＝90°，∠A＝65°，
∴∠C＝25°，
∴∠A′DC＝∠BA′D﹣∠C＝40°，
故选：A．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则以下结论：①∠BAC＝70°；②∠DOC＝90°；③∠BDC＝35°；④∠DAC＝55°．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【思路点拔】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，①正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴，
∴∠DOC＝∠DBC+∠ACB＝25°+60°＝85°，②错误；
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°，
又∵DC平分∠ACE，
∴∠DCE＝60°，
∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°，故③正确；
∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，
如图，设点D到AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴h1＝h3，h2＝h3
∴h1＝h2
即：点D到边AB、CA的距离相等，
∴AD是∠BAC的外角平分线，
∴，④正确．
因此正确的答案有①③④．
故选：B．
26．若一个三角形的3个内角的度数之比1：2：3，则与之对应的3个外角的度数之比为（ ）
A．5：3：4 B．3：4：5 C．5：4：3 D．3：5：4
【思路点拔】根据比例可求出三角形各个内角的度数，可得对应外角的度数，再进行计算即可求解．
【解答】解：∵三角形3个内角的度数之比为1：2：3，
∴设三个角分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
∴三角形的三个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴对应的外角的度数分别为150°，120°，90°，
∴150：120：90＝5：4：3，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
27．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ 40° ．
【思路点拔】过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，由角平分线的性质及判定可得CP平分∠BCE，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质可推知∠ACB＝2∠APB，进而可求解．
【解答】解：过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，
∵AP平分∠BAC，
∴PE＝PG，∠BAC＝2∠BAP，
∵BP平分∠CBD，
∴PF＝PG，∠CBD＝2∠DBP，
∴PE＝PF，
∴CP平分∠BCE，
∴∠BCP＝∠PCE，
∵∠ACP＝130°，
∴∠PCE＝180°﹣∠ACP＝50°，
∴∠BCP＝50°，
∴∠ACB＝∠ACP﹣∠BCP＝130°﹣50°＝80°，
∵∠DBC＝∠BAC+∠ACB，∠DBP＝∠BAP+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，
∴∠APB＝40°．
故答案为40°．
28．如图，∠A＝30°，∠B＝55°，∠C＝20°，则∠ADC的度数为 105° ．
【思路点拔】连接BD并延长，根据三角形外角的性质得出∠ADE＝∠A+∠ABD，∠CDE＝∠C+∠CBD，即可求出则∠ADC的度数．
【解答】解：如图，连接BD并延长，
∵∠ADE是△ABD的一个外角，
∴∠ADE＝∠A+∠ABD，
∵∠CDE是△CBD的一个外角，
∴∠CDE＝∠C+∠CBD，
∴∠ADE+∠CDE＝∠A+∠ABD+∠C+∠CBD＝∠A+∠ABC+∠C，
∵∠A＝30°，∠B＝55°，∠C＝20°，
∴∠ADC＝30°+55°+20°＝105°，
故答案为：105°．
29．如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为 ∠1＜∠2＜∠3 ．
【思路点拔】根据三角形外角性质得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出答案．
【解答】解：在△BDE中，∠3＞∠2，
在△ABC中，∠2＞∠1，
∴∠1＜∠2＜∠3，
所以∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为：∠1＜∠2＜∠3．
故答案为：∠1＜∠2＜∠3．
30．如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 68° ．
【思路点拔】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．
【解答】解：三角板重合部分的角的度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，
∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．
故答案为：68°．
31．如图，BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，BF、CE交于点G，如果∠BDC＝120°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为 80 度．
【思路点拔】利用三角形外角的性质证明∠ABF+∠ACE＝110°﹣∠A，由角平分线的定义可得∠ABD+∠ACD＝200°﹣2∠A，延长CD交AB于点M，再根据三角形外角的性质可得∠A+200°﹣2∠A＝120°，进而可求解∠A的度数．
【解答】解：∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BGC＝∠BEC+∠ABF，
∴∠BGC＝∠A+∠ACE+∠ABF，
∴∠ABF+∠ACE＝∠BGC﹣∠A，
∵∠BGC＝100°，
∴∠ABF+∠ACE＝100°﹣∠A，
∵BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ABD＝2∠ABF，∠ACD＝2∠ACE，
∴∠ABD+∠ACD＝2（∠ABF+∠ACE）＝2（100°﹣∠A）＝200°﹣2∠A，
延长CD交AB于点M，
∵∠BDC＝∠DMB+∠ABD，∠DMB＝∠A+∠ACD，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD+∠ABD，
∵∠BDC＝120°，
∴∠A+200°﹣2∠A＝120°，
解得∠A＝80°．
故答案为80．
32．如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得∠ACD＝120°，∠ABC＝2∠BAC，则∠ABC＝ 80 度．
【思路点拔】由三角形的外角的性质可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，再建立方程求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠BAC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠ACD＝120°，
∴，
∴∠ABC＝80°，
故答案为：80．
33．如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 ．
【思路点拔】利用平分线的性质，可得出∠CBDm°，结合邻补角互补，可得出∠CBG＝180°m°，结合角平分线的定义，可得出∠CBE＝90°m°，由∠FCB是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠FCB＝m°+n°，由BE∥AC，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得出m+n＝90，再将其代入nm（nm）中，即可求出结论．
【解答】解：∵BD平分∠CBA，且∠CBA＝m°，
∴∠CBD∠CBAm°，
∵延长DB至点G，
∴∠CBD+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°m°，
∵BE平分∠CBG，
∴∠CBE∠CBG（180°m°）＝90°m°．
∵∠FCB是△ABC的外角，且∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，
∴∠FCB＝∠CBA+∠CAB＝m°+n°．
又∵BE∥AC，
∴∠FCB+∠CBE＝180°，
∴m°+n°+90°m°＝180°，
∴m+n＝90，
∴nm（nm）90．
故答案为：．
34．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝60°，则∠2的大小为 30° ．
【思路点拔】先证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，
∴，
∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴，
∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ECD+∠ECB＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣∠ABC+∠1）＝∠1+∠ABC，∠ECD＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（180°﹣∠EBC+∠1）＝∠EBC+∠2，
∴，
所以∠2的大小为30°．
故答案为：30°．
35．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD、CD交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为 35° ．
【思路点拔】根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，得∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．根据三角形外角的性质，得DBC）＝2∠D，从而推断除．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC）＝2∠D．
∵∠A＝70°，
∴．
故答案为：35°．
36．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2023BC和∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024＝ ． ．
【思路点拔】根据角平分线的性质可得∠A1CD∠ACD，∠A1BD∠ABC，再根据外角的性质可得∠A1∠A，找出规律即可求出∠A2024．
【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD∠ACD，∠A1BD∠ABC，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD∠ACD∠∠ABC∠A，
同理可得∠A2∠A1∠A，
∴∠A2024∠A，
∵∠A＝m°，
∴∠A2024°，
故答案为：．
三．解答题（共24小题）
37．如图，在△ABC中，外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，连接DE，且AC∥DE．已知∠B＝28°，∠EAC＝84°，求∠CED的度数．
【思路点拔】根据三角形的外角性质求出∠ACB，根据邻补角的定义求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠B＝28°，∠EAC＝84°，
∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝84°﹣28°＝56°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝124°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE∠ACD124°＝62°，
∵AC∥DE，
∴∠CED＝∠ACE＝62°．
38．追本溯源
我们知道，三角形三个内角的和等于180°，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
推论证明
（1）已知：如图1，∠ACD是△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B；
知识应用
（2）如图2，在△ABC中，∠B＝50°，点D在边BC上，DE∥AB交AC于点F．若∠1＝95°，求∠C的度数．
【思路点拔】（1）利用三角形内角和为180°，平角为180°，等量代换即可证明；
（2）根据平行线的性质可得∠B＝∠FDC，再利用三角形外角的性质求出∠C．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝∠A+∠B；
（2）解：∵DE∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝50°，
∵∠1＝∠FDC+∠C，
∴∠C＝∠1﹣∠FDC＝95°﹣50°＝45°．
39．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，
∴∠HAC＝∠C＝40°，
∵∠FAH＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°；
（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
∵GH∥BC，AD⊥BC，
∴∠GAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
40．自主学习，综合运用
材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B、C，若∠A＝40°，求∠ABD+∠ACD的度数．
②如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∠BPC＝130°，∠A＝40°，求∠BDC的度数．
【思路点拔】（1）连接AD并延长，根据三角形外角的性质得出∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，即可得出∠BDC与∠A，∠B，∠C的关系；
（2）①由（1）可知∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC＝90°，结合∠A的度数，即可求出∠ABD+∠ACD的度数；
②（1）可知，∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠A＝90°，再结合角平分线的定义可求出∠ABD+∠ACD的度数，再根据∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD求解即可．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由如下：
连接AD并延长，如图①所示：
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠C+∠B+∠BAD，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①∵∠BDC＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°；
②∵∠BPC＝130°，∠A＝40°，
∴根据（1）可知，∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠A＝130°﹣40°＝90°，
∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，
∴，，
∴，
∴根据（1）可知，∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD＝40°+45°＝85°．
41．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别等于30°和20°，李师傅量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
【思路点拔】首先延长BC交AD于点E，然后根据三角形外角的性质得出∠1和∠DCB度数，从而得出答案．
【解答】解：如图，延长BC交AD相交于点E．
由三角形的外角性质，得∠1＝∠B+∠A＝30°+90°＝120°，
∠BCD＝∠1+∠D＝120°+20°＝140°．
∵李师傅量得∠BCD＝142°，不是140°，
∴这个零件不合格．
42．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于点A．
（1）求证：∠DFE＝∠A+∠D+∠E；
（2）若∠A＝34°，∠DFE＝64°，求∠E的度数；
（3）在（2）的条件下，若在图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线交于E3，以此类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+1，请用含有n的式子表示∠En+1的度数（直接写答案）．
【思路点拔】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE＝∠A+∠D，∠DFE＝∠DCE+∠E，由此可得结论；
（2）根据角平分线及三角形外角的性质可得出∠D＝2∠E，再利用上题结论∠DFE＝∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数；
（3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠BE1C∠E，同理可得∠BE2C∠BE1C，由此即可得出规律，
【解答】（1）证明：∵∠DCE＝∠A+∠D，∠DFE＝∠DCE+∠E，
∴∠DFE＝∠A+∠D+∠E；
（2）解：∵∠DCG＝∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，
∴∠ECG∠DCG（∠D+∠DBC）．
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC∠DBC．
∵∠ECG＝∠E+∠EBC＝∠E∠DBC，
∴∠E∠DBC（∠D+∠DBC），
∴∠E∠D，
∴∠D＝2∠E．
∵∠DFE＝64°，∠A＝34°，∠DFE＝∠A+∠D+∠E，
∴∠D+∠E＝30，
∴2∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝10°；
（3）解：
∵∠ECG＝∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG，
∴∠E1CG∠ECG（∠E+∠EBC）．
∵BE1平分∠EBC，
∴∠E1BC∠EBC．
∵∠E1CG＝∠BE1C+∠E1BC＝∠BE1C∠EBC，
∴∠BE1C∠EBC（∠E+∠EBC），
∴∠BE1C∠E．
同法可证：∠BE2C∠BE1C，
∴∠BE2C∠E∠E，
∴∠BEn+1C∠E．
∵∠E＝10°，
∴∠BEn+1C 20°．
43．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【思路点拔】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO＝∠AOB＝20°可得AO＝AB，∠OAB＝140°，由D为OB中点，根据等腰三角形的性质可得AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，可得α的值；
（2）分两种情况进行讨论：①当∠BDC＝2∠BFC时，②当∠DBF＝2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得α的值．
【解答】解：（1）如图，
①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当α＝70°时，D为OB中点，理由如下：
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴AO＝AB，∠OAB＝140°，
∵D为OB中点，
∴AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAC＝70°，
∴α＝70°时，D为OB中点；
（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABD＝100°﹣70°＝30°，
∴α＝30°；
②当∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝80°﹣50°﹣55°＝75°，
∴α＝75°．
③当C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°，
∴∠DCF∠DBF＝35°，∠AFC＝130，
∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°，
∴α＝15°．
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
44．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你的猜想．
【思路点拔】（1）根据三角形的外角性质求出∠BDO，根据三角形内角和定理求出∠B的度数；
（2）根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝25°，
∴∠BDO＝∠A+∠C＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝180°﹣75°﹣70°＝35°；
（2）猜想∠BOC＝∠A+∠B+∠C，
理由如下：∠BDO＝∠A+∠C，∠BOC＝∠BDO+∠B，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
45．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，求∠A+∠P的度数．
【思路点拔】由角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，由三角形内角和定理求出∠AOB＝100°，由对顶角的性质得到∠POC＝∠AOB＝100°，由三角形内角和定理得到∠P＝30°，于是∠A+∠P＝90°．
【解答】解：BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABP＝2×20°＝40°，
∵CP是∠ACM的平分线，
∴∠ACM＝2∠ACP＝2×50°＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
∴∠POC＝∠AOB＝100°，
∴∠P＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
∴∠A+∠P＝90°．
46．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠E＝25°，∠BAC＝80°，求∠B的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
【思路点拔】（1）由三角形的外角性质得到∠ACE＝∠BAC﹣∠E＝55°，由角平分线定义得到∠DCE＝55°，由三角形的外角性质求出∠B＝∠DCE﹣∠E＝30°；
（2）由角平分线定义得到∠DCE＝∠ACE，由三角形的外角性质推出∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠B+∠E，即可证明∠BAC＝∠B+2∠E．
【解答】（1）解：∵∠E＝25°，∠BAC＝80°，
∴∠ACE＝∠BAC﹣∠E＝55°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACE＝55°，
∴∠B＝∠DCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠B+2∠E．
47．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【思路点拔】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
48．如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝80°．求∠C的度数．
【思路点拔】根据三角形的外角性质可求出∠B＝∠BAD＝35°，再在△ABC中由三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【解答】解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD
又∵∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，
∴∠B＝∠BAD＝35°，
在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝80°，
∴∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣（35°+80°）＝65°．
49．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的大小．
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
【思路点拔】（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE＝20°，再利用角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABE＝40°，然后根据高的定义和互余可求出∠BAF的度数；
（2）先根据中线定义得到BC＝2BD＝10，然后利用三角形面积公式求AF的长．
【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝40°，
∵AF为高，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°；
（2）∵AD为中线，
∴BC＝2BD＝10，
∵S△ABCAF BC，
∴AF8．
50．（1）如图1，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝30°，∠ADC＝26°，求∠P的度数．
（2）如图2，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求此时∠P的度数．
（3）在图3中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° ．
【思路点拔】（1）设AP与BC交于点M，AD与CP交于点N，设∠BAP＝α，∠DCP＝β，根据角平分线的定义得∠DAP＝∠BAP＝α，∠BCP＝∠DCP＝β，再根据三角形的外角定理得∠BMP＝∠ABC+∠BAP＝∠P+∠BCP，∠PND＝∠P+∠DAP＝∠DCP+∠ADC，即30°+α＝∠P+β，∠P+α＝β+26°，据此可得∠P的度数；
（2）设PC与AD交于点K，PA的延长线交CE于点H，设∠FAH＝α，∠ECP＝β，根据角平分线的定义得∠DAH＝∠FAH＝α，∠EAD＝2∠FAH＝2α，∠BCP＝∠ECP＝β，∠BCE＝2∠ECP＝2β，进而得∠PAK＝180°﹣∠FAH＝180°﹣α，∠BAO＝180°﹣∠EAD＝180°﹣2α，∠DCK＝180°﹣∠ECP＝180°﹣β，∠DCO＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2β，再根据三角形的外角定理得∠PKD＝∠PAK+∠P＝∠ADC+∠DCK，∠BOD＝∠ABC+∠BAO＝∠ADC+∠DCO，
即180°﹣α+∠P＝16°+180°﹣β，36°+180°﹣2α＝16°+180°﹣2β，由此可求出∠P的度数；
（3）设PC与AD交于点T，设∠BAP＝α，∠ECP＝β，根据角平分线的定义得∠OAP＝∠BAP＝α，∠OAB＝2∠BAP＝2α，∠BCP＝∠ECP＝β，∠ECB＝∠ECP＝2β，进而得∠TCD＝180°﹣∠ECP＝180°﹣β，∠OCD＝180°﹣∠ECB＝180°﹣2β，再根据三角形的外角定理得∠PTD＝∠OAP+∠P＝∠TCD+∠D，∠BOA＝∠OAB+∠B＝∠D+∠OCD，即α+∠P＝180°﹣β+∠D，2α+∠B＝∠D+180°﹣2β，由此可得∠P与∠B、∠D之间的关系．
【解答】解：（1）设AP与BC交于点M，AD与CP交于点N，如图1所示：
设∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠DAP＝∠BAP＝α，∠BCP＝∠DCP＝β，
∵∠BMP是△ABM和△PCM的一个外角，∠PND是△ANP和△CND的一个外角，
∴∠BMP＝∠ABC+∠BAP＝∠P+∠BCP，∠PND＝∠P+∠DAP＝∠DCP+∠ADC，
∵∠ABC＝30°，∠ADC＝26°，
∴30°+α＝∠P+β，∠P+α＝β+26°，
由30°+α＝∠P+β，得：α﹣β＝∠P﹣30°，
由∠P+α＝β+26°，得：α﹣β＝26°﹣∠P，
∴∠P﹣30°＝26°﹣∠P，
∴∠P＝28°；
（2）设PC与AD交于点K，PA的延长线交CE于点H，如图2所示：
设∠FAH＝α，∠ECP＝β，
∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠DAH＝∠FAH＝α，∠EAD＝2∠FAH＝2α，
∠BCP＝∠ECP＝β，∠BCE＝2∠ECP＝2β，
∴∠PAK＝180°﹣∠FAH＝180°﹣α，∠BAO＝180°﹣∠EAD＝180°﹣2α，
∠DCK＝180°﹣∠ECP＝180°﹣β，∠DCO＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2β，
∵∠PKD是△PAK和△CDK的一个外角，∠BOD是△ABO和△CDO的一个外角
∴∠PKD＝∠PAK+∠P＝∠ADC+∠DCK，∠BOD＝∠ABC+∠BAO＝∠ADC+∠DCO，
∵∠ADC＝16°，∠ABC＝36°，
∴180°﹣α+∠P＝16°+180°﹣β，36°+180°﹣2α＝16°+180°﹣2β，
由180°﹣α+∠P＝16°+180°﹣β，得：∠P＝α﹣β+16°，
由36°+180°﹣2α＝16°+180°﹣2β，得：α﹣β＝10°，
∴∠P＝α﹣β+16°＝26°；
（3）猜想：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，理由如下：
设PC与AD交于点T，如图3所示：
设∠BAP＝α，∠ECP＝β，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠OAP＝∠BAP＝α，∠OAB＝2∠BAP＝2α，
∠BCP＝∠ECP＝β，∠ECB＝∠ECP＝2β，
∴∠TCD＝180°﹣∠ECP＝180°﹣β，∠OCD＝180°﹣∠ECB＝180°﹣2β
∵∠PTD是△PAT和△CDT的一个外角，∠BOD是△AOB和△COD的一个外角，
∠PTD＝∠OAP+∠P＝∠TCD+∠D，∠BOA＝∠OAB+∠B＝∠D+∠OCD，
∴α+∠P＝180°﹣β+∠D，2α+∠B＝∠D+180°﹣2β，
由α+∠P＝180°﹣β+∠D，得：α+β＝180°+∠D﹣∠P，
由2α+∠B＝∠D+180°﹣2β，得：2（α+β）＝180°+∠D﹣∠B，
∴2（180°+∠D﹣∠P）＝180°+∠D﹣∠B，
整理得：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
51．综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．
探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）①若∠BAO＝70°，则∠D＝ 45 °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC∠ABN，∠BAD∠BAO，求∠D的度数．
（3）在图1的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图3），∠D＝ α （用含α的代数式表示）
【思路点拔】（1）①先分别求出∠BAD＝35°，∠ABC＝80°，即可求出答案；②由∠D+∠BAD＝∠CBA，需求∠CBA﹣∠BAD，由AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，得，进而解决此题；
（2）根据∠D＝∠CBA﹣∠BAD，可得即可求出答案；
（3）由∠D+∠BAD＝∠CBA，需求∠CBA﹣∠BAD，由AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，得，进而解决此题．
【解答】解：（1）①∵∠BAO＝70°，AD平分∠BAO，
∴∠BAD＝35°，
∵∠MON＝90°，
∴∠ABN＝70°+90°＝160°，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝80°，
∵∠D+∠BAD＝∠CBA，
∴∠D＝45°；
故答案为：45；
②不变化，
理由如下：
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴，
∵∠D+∠BAD＝∠CBA，
∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD
，
∵∠MON＝90°，
∴∠D＝45°，
∴∠D的度数不发生变化；
（2）由（1）②知：∠D＝∠CBA﹣∠BAD，
∵，
∴，
∵∠MON＝90°，
∴∠D＝30°；
（3）∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴，
∵∠D+∠BAD＝∠CBA，
∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD
，
∵∠MON＝α，
∴．
故答案为：．
52．在△ABC中，CE平分∠ACB，∠A＞∠B．
（1）如图①，若CD⊥AB于点D，∠A＝60°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
（2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，在线段CE上任取一点P，过点P作PD⊥AB于点D，请尝试写出∠A、∠B、∠DPE之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）先求出∠BCA，根据角平分线定义求出∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠ACD，然后由∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD，代入计算即可；
（2）先利用三角形的内角和以及角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质可得∠ACD＝90°﹣∠A，然后由∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD，代入计算即可；
（3）过C作CF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠EPD＝∠ECF，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得，再根据直角三角形的性质可得∠ACF＝90°﹣∠A，然后由∠ECF＝∠ACE﹣∠ACF，代入计算可求解．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝80°，
∵CE平分∠BCA，
∴，
∵CD⊥BA，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD＝40°﹣30°＝10°．
∴∠ECD的度数为10°．
（2）．理由如下：
∵∠ACB+∠B+∠A＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠B+∠A），
∵CE平分∠BCA，
∴，
∵CD⊥BA，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD
，
即．
（3），理由如下：
过C作CF⊥AB于F，
∵PD⊥AB，
∴PD∥CF，
∴∠EPD＝∠ECF，
∵∠ACB+∠B+∠A＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠B+∠A），
∵CE平分∠BCA，
∴，
∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠A，
∴∠ECF＝∠ACE﹣∠ACF
，
即，
∴．
53．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°．
（1）求证：AE∥BC；
（2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数．
【思路点拔】（1）根据∠AEF+∠AEC＝180°，∠AEF+∠FCD＝180°可知∠AEC＝∠FCD，据此得出结论；
（2）由CF是∠ACD的平分线可知∠ACD＝2∠ACF，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AEF+∠AEC＝180°，∠AEF+∠FCD＝180°，
∴∠AEC＝∠FCD，
∴AE∥BC；
（2）解：∵CF是∠ACD的平分线，∠ACF＝62°，∠B＝28°，
∴∠ACD＝2∠ACF＝124°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝124°﹣28°＝96°．
54．如图，∠1＝∠2，∠DEH+∠EHG＝180°，∠C＝∠A．
（1）试说明：∠AEH＝∠F；
（2）若∠B＝40°，∠F＝25°，则∠DEF＝ 85 °．
【思路点拔】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
（2）解：∵AB∥DF，
∴∠CDF＝∠B＝40°，
∵∠1+∠2+∠CDF＝180°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝70°，
∵∠F＝25°，∠F+∠2+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣25°﹣70°＝85°．
故答案为：85．
55．探究：
如图①，在四边形ABDC中，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
应用：
如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝ 40 度；
拓展：
如图③，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，则∠BEC＝ 125 度．
【思路点拔】探究：连接AD并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案；
应用：根据探究的结论得到∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，据此代入数值计算即可；
拓展：根据探究的结论得到∠ABD+∠ACD＝50°，再由角平分线的定义得到∠ABE+∠ACE＝25°，据此根据探究的结论可得答案．
【解答】解：探究：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由如下：
如图，连接AD并延长至点 F，
由三角形外角的性质可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
应用：由探究的结论可知∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝40°，
故答案为：40；
拓展：由探究可知∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC，∠ABE+∠ACE＝∠BEC，
∵∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，
∴∠ABD+∠ACD＝50°，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴，
∴，
∴∠BEC＝100°+25°＝125°，
故答案为：125．
56．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°．
（1）如图①，若I是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，则∠BIC＝ 115 °；
（2）如图②，若D是△ABC的外角平分线的交点，则∠BDC＝ 65 °；
（3）如图③，点G在BC的延长线上，若E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由；
（4）在（3）的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案．
（2）根据三角形的外角的性质可求得∠FBC+∠MCB的值，根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案．
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质可求得，结合∠ECG＝∠CBE+∠BEC即可求得答案．
（4）根据平行线的性质求出∠ACE，再由角平分线的定义求出∠ACG，则由平角的定义可得答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°．
∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线，
∴．
∴．
∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115．
（2）∵∠FBC是△ABC的外角，∠MCB是△ABC的外角，
∴∠FBC＝∠BAC+∠ACB．∠MCB＝∠BAC+∠ABC．
∴∠FBC+∠MCB＝∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC＝180°+∠BAC＝180°+50°＝230°．
∵BD是∠FBC的平分线，
∴．
∵CD是∠MCB的平分线，
∴．
∴．
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65．
（3）∠BAC＝2∠BEC，理由如下：
∵BE是∠ABC的平分线，∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC．
∴．
∴∠BAC＝2∠BEC．
（4）∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝50°，
∴∠ACG＝2∠ACE＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG＝80°．
57．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠A＝60°，则∠BPC的度数是 120° ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A），则∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°∠A，再根据∠A＝60°可得∠BPC的度数；
（2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再由角平分线定义得∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）＝90°∠A，由此得∠Q，∠A之间的数量关系；
（3）先求出∠EBQ＝90°，根据∠Q＝90°∠A得∠E∠A，然后分四种情况讨论如下：①当∠EBQ＝3∠E时，则∠E＝30°，此时∠A＝2∠E＝60°，②当∠EBQ＝3∠Q时，则∠E＝60°，此时∠A＝2∠E＝120°，③当∠Q＝3∠E时，则∠E＝22.5°，此时∠A＝2∠E＝45°，④当∠E＝3∠Q时，则∠E＝67.5°此时∠A＝2∠E＝135°，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠BPC＝90°∠A＝90°60°＝120°，
故答案为：120°．
（2）∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°∠A，理由如下：
∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点
∴∠QBC∠MBC，∠QCB∠NCB
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）（180°+∠A）＝90°∠A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，
故∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°∠A；
（3）∵PB平分∠ABC，BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC＝180°，
∵∠PBC∠ABC，∠QBC∠MBC，
∴∠PBC+∠QBC（∠ABC+∠MBC）180°＝90°，
即∠EBQ＝90°，
∴∠E+∠Q＝90°，
由（2）可知：∠Q＝90°∠A，
∴∠E+90°∠A＝90°，
∴∠E∠A，
如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当∠EBQ＝3∠E时，则3∠E＝90°，
∴∠E＝30°，
此时∠A＝2∠E＝60°，
②当∠EBQ＝3∠Q时，则3∠Q＝90°，
∴∠Q＝30°，则∠E＝60°，
此时∠A＝2∠E＝120°，
③当∠Q＝3∠E时，则∠E+3∠E＝90°，
∴∠E＝22.5°，
此时∠A＝2∠E＝45°，
④当∠E＝3∠Q时，则3∠Q+∠Q＝90°，
∴∠Q＝22.5°，
∴∠E＝67.5°
此时∠A＝2∠E＝135°，
综上所述，∠A的度数是60° 或120° 或45° 或135°．
58．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠ABD＝35°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
【思路点拔】根据三角形的外角性质求得∠BDC的度数，根据角的平分线的定义求得∠DCE的度数，再利用三角形的外角性质即可求得∠BEC的度数．
【解答】解：∵∠A＝35°，∠ABD＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，
∴∠DCE∠ACB＝40°，
∴∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝70°+40°＝110°．
59．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下：
【原问呈现】
（1）如图1，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P＝ 115° ；
【问题推广】
（2）如图1，△ABC中，若∠A＝θ，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数；
（4）如图3，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，请直接写出∠A的度数（结果用含n的代数式表示）．
【思路点拔】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（3）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°；
（4）先由角平分线的定义得到∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB，∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠QCF，再由三角形内角和∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°，根据∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°，得到∠EBC+∠ECB＝180°﹣2∠F，由此得解．
【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴，，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°，
故答案为：115°；
（2）∵∠A＝θ，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣θ，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴2∠PBC+2∠PCB＝180°﹣θ，即
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝90°；
（3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，
∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∠ACB＝80°，
∴2∠CBP＝2∠BAP+∠ACB，
∴∠CBP＝∠BAP+40°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC，
∴∠ABC＝100°﹣2∠BAP
∴∠ABP＝∠ABC+∠CBP＝140°﹣∠BAP，
∴∠ABP+∠BAP＝140°，
∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，
∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°，
∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°；
（4）如图3所示，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠ECB，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠EBC＝2∠FBE＝2∠FBC，∠ECQ＝2∠ECF＝2∠QCF，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠BCN，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠DBC﹣2∠DCB
＝180°﹣2（180°﹣∠MBC）﹣2（180°﹣∠BCN）
＝2（∠MBC+∠BCN）﹣540°，
＝2（2∠EBC+2∠ECB）﹣540°
＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°，
又∵∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠EBC﹣∠FBE，∠FCB＝∠ECB+∠ECF，
即∠F+∠FBC+∠FCB＝∠F+∠EBC﹣∠FBE+∠ECB+∠ECF＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE），
又∠ECF＝∠QCF，∠FBE＝∠FBC，
∴∠ECF﹣∠FBE＝∠QCF﹣∠FBC＝∠F，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠F﹣（∠ECF﹣∠FBE）＝180°﹣2∠F，
∴∠A＝4（∠EBC+∠ECB）﹣540°＝4（180°﹣2∠F）﹣540°＝180°﹣8∠F＝180°﹣8n°．
60．如图，在△ABC中，∠B＝90°
（1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E＝ 45 °；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．
【思路点拔】（1）设∠CAG＝x，∠ACE＝y，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB+∠BAC＝90°，可得x﹣y＝45，由外角的性质得：∠E＝∠CAG﹣∠ACE＝x﹣y＝45°；
（2）根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论；
（3）先根据条件画图3，设∠FAH＝α，根据三角形的内角和定理列式：∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，分别表示∠FCH和∠FPH，代入已知可得m，n的值．
【解答】解：（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠CAG∠DAC，∠ACE∠ACB，
设∠CAG＝x，∠ACE＝y，
∵∠B＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∴2y+180﹣2x＝90，
x﹣y＝45，
∵∠CAG＝∠E+∠ACE，
∴∠E＝∠CAG﹣∠ACE＝x﹣y＝45°，
故答案为：45；
（2）如图1所示，
∵CF平分∠ECB，
∴∠ECFy，
∵∠E+∠EAF＝∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF＝∠Fy ①，
同理可得：∠E+∠EAB＝∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF＝90°+y，
∴∠EAF②，
把②代入①得：45°∠Fy，
∴∠F＝67.5°，
即∠AFC＝67.5°；
（3）如图2，
设∠FAH＝α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH＝∠EAF＝α，
∵∠AFM∠AFC67.5°＝22.5°，
∵∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，
∴45+α＝67.5+∠FCH，
∴∠FCH＝α﹣22.5①，
∵∠AHN∠AHC（∠B+∠BCH）（90+2∠FCH）＝30∠FCH，
∵∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，
∴α+22.5＝30∠FCH+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH，
∵∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5＝mα+n ，
解得：m＝2，n＝﹣3．
