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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024河北张家口·期末）以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．3，5，8 B．4，5，10 C．6，6，10 D．5，6，11
2．（2024河北沧州·期末）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河北石家庄·期末）小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024河北石家庄·期末）使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．只有a B．只有b C．a，b都可以 D．a，b都不可以
5．（2024河北张家口·期末）将按如图所示折叠，使C与B重合，折痕为，连接，则是的一条（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线
6．（2024河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．7
7．（2024河北石家庄·期末）四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024河北沧州·期末）如图，中，点分别是的中点，交于点．若的面积是，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024河北唐山·期末）如图， 的中线 ， 相交于点F， 若 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
10．（2024河北石家庄·期末）如图．屋顶钢架外枢是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一”
11．（2024河北廊坊·期末）的边长如图所示，写出一个符合条件的的整数值： ．
12．（2024河北张家口·期末）已知等腰三角形的两边长分别是6cm，2cm，则这个三角形的周长是 ．
13．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
14．（2024河北沧州·期末）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)将向左平移8个单位长度，请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的中线和高线；
(3)的面积为______．
15．（2024河北唐山·期末）已知a， b， c是的三边．
(1)，， 则c的取值范围是 ；
若c为偶数，则的最大周长为 ．
(2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024河北保定·期末）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角，则顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024河北唐山·期末）若的三个内角，，满足关系式，则此三角形（ ）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60°
3．（2024河北廊坊·期末）如果一个三角形中最小的一个内角为，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
4．（2024河北石家庄·期末）下列条件能判定是直角三角形的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2024河北沧州·期末）下列图形中，可以求出度数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024河北张家口·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
A．80° B．50° C．30° D．20°
7．（2024河北唐山·期末）如图，已知，以B为圆心，长为半径画弧，交于D点，以C为圆心，长为半径画弧，交于E点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024河北保定·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，M，N分别为和上的点，将沿折叠，使点B落在上的点P处，沿将剪下，若想获得的为直角三角形，则的大小为多少？对于这个问题，甲给出的答案为；乙给出的答案为；丙给出的答案为，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的答案对
B．甲、丙两人的答案合在一起才完整
C．甲、乙两人的答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
9．（2024河北廊坊·期末）如图，，，则 度
10．（2024河北石家庄·期末）在则 °．
11．（2024河北保定·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
12．（2024河北石家庄·期末）某加工零件标出部分数据(如图)，小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应为 ．
13．（2024河北唐山·期末）如图，已知点P是射线 上一动点 (不与点O重合)， ， 若 是钝角三角形， 则 的取值范围是__________．
14．（2024河北石家庄·期末）将一副三角板按图中方式叠放，则角的度数为 ．
15．（2024河北沧州·期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为 ．
16．（2024河北廊坊·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
17．（2024河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ．
18．（2024河北石家庄·期末）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如、、……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则最多能焊接 根．
19．（2024河北保定·期末）如图，在ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B=50°，∠ANC=80°，求∠C的度数．
20．（2024河北唐山·期末）如图，在中，，．
(1)求的度数；(2)求的度数．
21．（2024河北唐山·期末）的两条角平分线，相交于点 I．
(1)如图1，①若求 的度数；
②若直接写出 °(用含β的式子表示)；
(2)如图2，连接， 平分，作分别交，于点D，E．你发现与一定相等的角有 ；与一定相等的角有 ．
22．（2024河北石家庄·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：．
(1)如图1，在“对顶三角形”与中，若，则．
(2)如图2，在中，分别平分和，若，比大，求的度数．
23．（2024河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点．
(1)点在运动过程中，则的度数为______；
(2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
(3)若，请直接写出______；______．
考点三 多边形及其内角和
1．（2024河北石家庄·期末）正十二边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024河北保定·期末）下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河北保定·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024河北保定·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024河北唐山·期末）四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（ ）
A．x=y B．x=2y C．x=y+180 D．y=x+180
6．（2024河北保定·期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（ ）
A．60° B．56° C．52° D．40°
7．（2024河北衡水·期末）一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定
8．（2024河北廊坊·期末）如图，六边形的每个内角相等，若，则的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
9．（2024河北保定·期末）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2024河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加；
④六边形的内角和为．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．（2024河北衡水·期末）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ．
12．（2024河北张家口·期末）若正n边形的一个外角为，则 ．
13．（2024河北唐山·期末）如图，五边形是正五边形，若，则 ．
14．（2024河北廊坊·期末）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
(1)求小明一共走了多少米；
(2)求这个正多边形的内角和．
15．（2024河北廊坊·期末）如图，五边形的内角都相等，各边也都相等，是它的一个外角，求的度数．
参考答案
考点一 与三角形有关的线段
1．【答案】C
【分析】根据三角形的构成条件即可计算判断．
【详解】解：A. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形；
B. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形；
C. 满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能构成三角形；
D. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形；
故此题答案为C
2．【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.
【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，此题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．【答案】D
【分析】此题考查的是三角形的三边关系，已知两边长求出第三边的范围即可求解，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
【详解】解：设木条的长度为，
则，即，
符合的数值为．
故此题答案为D．
4．【答案】B
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断．
【详解】解：∵，
∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架．
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】根据折叠得到，即可得出结论．
【详解】解：由折叠可知：，
∴是的一条中线，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴与的周长之差
，
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：所给图形中，线段能表示的高的是D选项，
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】根据点分别是的中点，可得分别是的中线，可得，再根据的面积是，即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴分别是的中线，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为．
9．【答案】A
【详解】解：∵ 的中线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故此题答案为A．
10．【答案】D
【分析】此题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故此题答案为D．
11．【答案】4（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三边的取值范围，然后再写出一个符合条件的的整数值即可．
【详解】解：∵，即，
∴m的整数值可以是4、5、6．
故此题答案为：4．（答案不唯一）
12．【答案】14cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为cm；
②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是14cm．
13．【答案】
【详解】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，则
14．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据中线、高线的定义作图即可；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作；
（2）解：由中线、高线的定义作图，如图1，中线和高线即为所作；
（3）解：由题意知，
15．【答案】(1)；18；
(2)另外两边长为6，6
【详解】（1）解：∵，，
∴c的取值范围是，即；
∵c为偶数，∴，6，8，
∴的最大周长为.
（2）解：当为腰时，另外两边为，
∵，
∴此时三边不能构成三角形，不符合题意舍去；
当为底时，另外两边为，
此时等腰三角形的三边为，6，6.
综上,另外两边长为6，6．
考点二 与三角形有关的角
1．【答案】D
【详解】解：是等腰三角形，且底角，
，
，
故此题答案为D．
2．【答案】D
【分析】本题可利用三角形内角和公式求出的度数，继而可利用举反例进行排除求解本题．
【详解】因为三角形内角和为180°，，
故180°，
所以=60°，故D选项正确．
假设△ABC为等边三角形，此时符合题干要求，故可用此特例排除A，B，C选项．
故此题答案为D．
3．【答案】B
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，根据三角形内角和推理最大角的度数范围是解题的关键．
根据最小角为，设的最大角为，最小角为，结合三角形的内角和可推得最大角为锐角．
【详解】不妨设中的最小角，最大角为，则
∵
∴
∵
∴
即：三角形最大角为锐角．
故三角形一定为锐角三角形．
故此题答案为B．
4．【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理是180度求出中某个角为90度即可判断是直角三角形．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
②∵，，
∴，
∴是直角三角形，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故③符合题意；
故此题答案为D．
5．【答案】A
【分析】利用三角形的内角和定理，三角形的外角性质对各选择进行分析即可．
【详解】解：A、，故符合题意；
B、，不可求出度数，故不符合题意；
C、，不可求出度数，故不符合题意；
D、，不可求出度数，故不符合题意；
故此题答案为A．
6．【答案】D
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行，
∴∠4＝∠2＝50°，
∵∠1＝30°，
∴∠3＝∠4 ∠1＝50° 30°＝20°．
故此题答案为D．
7．【答案】C
【详解】解：依题意，，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
8．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，由折叠的性质得： ，然后分两种情况：当时；当时，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得： ，
当时，，
∴，
∴，故丙给出的答案正确；
当时，，
∴，
∴，
∴，故甲给出的答案正确；
综上所述，甲、丙两人的答案合在一起才完整．
故此题答案为B
9．【答案】
【分析】此题考查的是三角形的外角的性质．根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”计算即可．
【详解】解：．
故此题答案为：．
10．【答案】
【分析】此题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是理解并掌握直角三角形的两个锐角互余．
根据直角三角形中两个锐角互余，即可进行求解．
【详解】解：∵，
解得：
故此题答案为：．
11．【答案】/105度
【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
、，，
，
．
12．【答案】
【分析】延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求的度数．
【详解】解：延长交于点，如图，
，，是的外角，
，
，是的外角，
．
13．【答案】 或
【分析】根据三角形内角和为 和钝角三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：当 为锐角时，则 为钝角，
∴ ， ，
∵ ，
∴此时 ；
当 为钝角时，则 ，
综上分析可知， 或 ．
14．【答案】75°/75度
【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2＝45°，∠1＝90° 45°＝45°，
∴∠α＝∠1＋30°＝45°＋30°＝75°．
故此题答案为：75°．
【关键点拨】此题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
15．【答案】/度
【分析】先根据平行线性质推得，结合三角板的角度及三角形外角性质得到的即可得解．
【详解】解：根据三角板特征可得：，，，
，
，
，
，
是的外角，
16．【答案】63°或27°
【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数：
【详解】有两种情况：
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，
∵∠ABD=36°，
∴∠A=90°-36°=54°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×（180°-54°）=63°.
（2）如图 当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，
∵∠HFE=36°，
∴∠HEF=90°-36°=54°，
∴∠FEG=180°-54°=126°.
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G=×（180°-126°）=27°．
【关键点拨】考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；分类思想的应用．
17．【答案】38
【分析】根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，，，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴
18．【答案】17
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理求解．
【详解】解：焊接的钢管的长度都与的长度相等，即，
，即第一个等腰的底角是；
，即第二个等腰的底角是；
，即第三个等腰的底角是；
……
等腰三角形的底角度数是5的倍数，且最大的角为，
最多能焊接（根），
故此题答案为：17．
【关键点拨】此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，找到规律是解题的关键．
19．【答案】
【分析】根据三角形内角和为，分别列出和的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．
【详解】∵AN平分∠BAC交BC于N，
∴，
∵在中，，
在中，，
∠B=50°，∠ANC=80°，
∴，
解得，
∴，
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为是解题的关键．
20．【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
，，
（2）在中，，，
是的外角，，．
21．【答案】(1)①；②；
(2)，；，
【详解】（1）解：①∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∴；
②∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，∴，∵，
∴，根据解析（1）可知，
根据三角形外角的性质可知，
，∴；
根据解析（1）可知，∵平分，
∴，∵，
∴．
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由“对顶三角形”性质及三角形内角和定理即可求得；
（2）由三角形内角和及角平分线的性质可得，由“对顶三角形”性质得，由已知得一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵与是“对顶三角形”，
∴；
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
∵与是“对顶三角形”，
∴，
∵比大，即，
∴，
．
23．【答案】(1)
(2)的大小不变，理由见解析
(3)，．
【分析】三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是．
先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，再根据三角形内角和是即可求解；
根据是的平分线，平分可知，，再根据三角形内角和是即可求解；
仿照中的计算方法即可得到，．
【详解】（1）解：在中，由，得，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴
（2）的大小不变．
证明：∵分别平分和，
∴，，
∴，
即，
∴，
又由可知，
∴，
在中，由，，得
；
（3），．
理由：∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
∵分别平分和，
∴，，
∵是的外角，
∴，
是的外角，
考点三 多边形及其内角和
1．【答案】A
【分析】根据n边形的内角和为进行求解即可．
【详解】解：，
∴正十二边形的内角和为，
故此题答案为A．
2．【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式，则，进行计算即可得．
【详解】解：∵多边形的内角和为，
∴根据题意得，，
，
，
即四边形的内角和为，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
3．【答案】C
【分析】此题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键．利用规律从而可求出答案．
【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将九边形分成4个三角形．
∴，，
则，
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】此题考查的是多边形的内角和定理与外角和的应用，熟记多边形的外角和是，再列式计算即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
，
∴这个多边形的边数为6．
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】根据多边形的内角和与外角和的关系分别求出x，y即可比较.
【详解】∵四边形的内角和等于360°，故x=360，
五边形的外角和等于360°，故y=360，
∴x=y，故此题答案为A.
6．【答案】B
【分析】延长DE，FA交于点H，由正五边形的性质，解得，再由三角形的外角和性质解得，据此代入数值解答即可．
【详解】解：延长DE，FA交于点H，如图，
五边形ABCDE是正五边形，
故此题答案为B．
7．【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2） 180° 判断即可．
【详解】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°，
∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°，
故此题答案为A．
8．【答案】A
【分析】先根据多边形内角和定理求出，即可根据四边形内角和定理求出∠CAD，再由∠2=∠CDE-∠CDA即可得到答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴，
∴∠CDA=360°-∠1-∠B-∠C=62°，
∴∠2=∠CDE-∠CDA=58°，
故此题答案为A．
【关键点拨】此题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
9．【答案】C
【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620°．n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【详解】解：根据题意，得
（n-2） 180°=360°×4+180°，
解得：n=11．
则这个多边形的边数是11．
故此题答案为C．
10．【答案】D
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．
【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是，
∴③的说法错误；
∵五边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为．
∴④的说法正确；
综上可知：说法正确的是②④，
故此题答案为D．
11．【答案】6或7或8
【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解．
【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，
或或，
解得或7或6
12．【答案】5
【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可．
【详解】解：由题意知，
13．【答案】72
【分析】延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
【详解】延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
14．【答案】(1)小明一共走了120米
(2)这个多边形的内角和是．
【分析】此题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和．
（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴，（米）；
答：小明一共走了120米；
（2）解：根据题意得：
，
答：这个多边形的内角和是．
15．【答案】
【分析】此题主要考查了正多边形的内角和外角的综合，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握多边形的外角的和为．先求出正五边形的外角为，再求出每个内角度数为，然后根据等腰三角形性质求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵五边形的内角都相等，
∴五边形的外角都相等，
∴，
∴五边形的每个内角度数为：，
∵，
∴，
∴．
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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024河北张家口·期末）以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．3，5，8 B．4，5，10 C．6，6，10 D．5，6，11
【答案】C
【分析】根据三角形的构成条件即可计算判断．
【详解】解：A. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形；
B. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形；
C. 满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能构成三角形；
D. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形；
故此题答案为C
2．（2024河北沧州·期末）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.
【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，此题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．（2024河北石家庄·期末）小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是三角形的三边关系，已知两边长求出第三边的范围即可求解，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
【详解】解：设木条的长度为，
则，即，
符合的数值为．
故此题答案为D．
4．（2024河北石家庄·期末）使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．只有a B．只有b C．a，b都可以 D．a，b都不可以
【答案】B
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断．
【详解】解：∵，
∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架．
故此题答案为B．
5．（2024河北张家口·期末）将按如图所示折叠，使C与B重合，折痕为，连接，则是的一条（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线
【答案】C
【分析】根据折叠得到，即可得出结论．
【详解】解：由折叠可知：，
∴是的一条中线，
故此题答案为C．
6．（2024河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．7
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴与的周长之差
，
故此题答案为C．
7．（2024河北石家庄·期末）四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：所给图形中，线段能表示的高的是D选项，
故此题答案为D．
8．（2024河北沧州·期末）如图，中，点分别是的中点，交于点．若的面积是，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点分别是的中点，可得分别是的中线，可得，再根据的面积是，即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴分别是的中线，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为．
9．（2024河北唐山·期末）如图， 的中线 ， 相交于点F， 若 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵ 的中线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故此题答案为A．
10．（2024河北石家庄·期末）如图．屋顶钢架外枢是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【分析】此题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故此题答案为D．
11．（2024河北廊坊·期末）的边长如图所示，写出一个符合条件的的整数值： ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三边的取值范围，然后再写出一个符合条件的的整数值即可．
【详解】解：∵，即，
∴m的整数值可以是4、5、6．
故此题答案为：4．（答案不唯一）
12．（2024河北张家口·期末）已知等腰三角形的两边长分别是6cm，2cm，则这个三角形的周长是 ．
【答案】14cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为cm；
②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是14cm．
13．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，则
14．（2024河北沧州·期末）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)将向左平移8个单位长度，请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的中线和高线；
(3)的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据中线、高线的定义作图即可；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作；
（2）解：由中线、高线的定义作图，如图1，中线和高线即为所作；
（3）解：由题意知，
15．（2024河北唐山·期末）已知a， b， c是的三边．
(1)，， 则c的取值范围是 ；
若c为偶数，则的最大周长为 ．
(2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长．
【答案】(1)；18；
(2)另外两边长为6，6
【详解】（1）解：∵，，
∴c的取值范围是，即；
∵c为偶数，∴，6，8，
∴的最大周长为.
（2）解：当为腰时，另外两边为，
∵，
∴此时三边不能构成三角形，不符合题意舍去；
当为底时，另外两边为，
此时等腰三角形的三边为，6，6.
综上,另外两边长为6，6．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024河北保定·期末）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角，则顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：是等腰三角形，且底角，
，
，
故此题答案为D．
2．（2024河北唐山·期末）若的三个内角，，满足关系式，则此三角形（ ）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60°
【答案】D
【分析】本题可利用三角形内角和公式求出的度数，继而可利用举反例进行排除求解本题．
【详解】因为三角形内角和为180°，，
故180°，
所以=60°，故D选项正确．
假设△ABC为等边三角形，此时符合题干要求，故可用此特例排除A，B，C选项．
故此题答案为D．
3．（2024河北廊坊·期末）如果一个三角形中最小的一个内角为，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，根据三角形内角和推理最大角的度数范围是解题的关键．
根据最小角为，设的最大角为，最小角为，结合三角形的内角和可推得最大角为锐角．
【详解】不妨设中的最小角，最大角为，则
∵
∴
∵
∴
即：三角形最大角为锐角．
故三角形一定为锐角三角形．
故此题答案为B．
4．（2024河北石家庄·期末）下列条件能判定是直角三角形的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理是180度求出中某个角为90度即可判断是直角三角形．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
②∵，，
∴，
∴是直角三角形，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故③符合题意；
故此题答案为D．
5．（2024河北沧州·期末）下列图形中，可以求出度数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形的内角和定理，三角形的外角性质对各选择进行分析即可．
【详解】解：A、，故符合题意；
B、，不可求出度数，故不符合题意；
C、，不可求出度数，故不符合题意；
D、，不可求出度数，故不符合题意；
故此题答案为A．
6．（2024河北张家口·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
A．80° B．50° C．30° D．20°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行，
∴∠4＝∠2＝50°，
∵∠1＝30°，
∴∠3＝∠4 ∠1＝50° 30°＝20°．
故此题答案为D．
7．（2024河北唐山·期末）如图，已知，以B为圆心，长为半径画弧，交于D点，以C为圆心，长为半径画弧，交于E点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
8．（2024河北保定·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，M，N分别为和上的点，将沿折叠，使点B落在上的点P处，沿将剪下，若想获得的为直角三角形，则的大小为多少？对于这个问题，甲给出的答案为；乙给出的答案为；丙给出的答案为，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的答案对 B．甲、丙两人的答案合在一起才完整
C．甲、乙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，由折叠的性质得： ，然后分两种情况：当时；当时，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得： ，
当时，，
∴，
∴，故丙给出的答案正确；
当时，，
∴，
∴，
∴，故甲给出的答案正确；
综上所述，甲、丙两人的答案合在一起才完整．
故此题答案为B
9．（2024河北廊坊·期末）如图，，，则 度
【答案】
【分析】此题考查的是三角形的外角的性质．根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”计算即可．
【详解】解：．
故此题答案为：．
10．（2024河北石家庄·期末）在则 °．
【答案】
【分析】此题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是理解并掌握直角三角形的两个锐角互余．
根据直角三角形中两个锐角互余，即可进行求解．
【详解】解：∵，
解得：
故此题答案为：．
11．（2024河北保定·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
、，，
，
．
12．（2024河北石家庄·期末）某加工零件标出部分数据(如图)，小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应为 ．
【答案】
【分析】延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求的度数．
【详解】解：延长交于点，如图，
，，是的外角，
，
，是的外角，
．
13．（2024河北唐山·期末）如图，已知点P是射线 上一动点 (不与点O重合)， ， 若 是钝角三角形， 则 的取值范围是__________．
【答案】 或
【分析】根据三角形内角和为 和钝角三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：当 为锐角时，则 为钝角，
∴ ， ，
∵ ，
∴此时 ；
当 为钝角时，则 ，
综上分析可知， 或 ．
14．（2024河北石家庄·期末）将一副三角板按图中方式叠放，则角的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2＝45°，∠1＝90° 45°＝45°，
∴∠α＝∠1＋30°＝45°＋30°＝75°．
故此题答案为：75°．
【关键点拨】此题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
15．（2024河北沧州·期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】先根据平行线性质推得，结合三角板的角度及三角形外角性质得到的即可得解．
【详解】解：根据三角板特征可得：，，，
，
，
，
，
是的外角，
16．（2024河北廊坊·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
【答案】63°或27°
【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数：
【详解】有两种情况：
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，
∵∠ABD=36°，
∴∠A=90°-36°=54°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×（180°-54°）=63°.
（2）如图 当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，
∵∠HFE=36°，
∴∠HEF=90°-36°=54°，
∴∠FEG=180°-54°=126°.
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G=×（180°-126°）=27°．
【关键点拨】考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；分类思想的应用．
17．（2024河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ．
【答案】38
【分析】根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，，，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴
18．（2024河北石家庄·期末）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如、、……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则最多能焊接 根．
【答案】17
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理求解．
【详解】解：焊接的钢管的长度都与的长度相等，即，
，即第一个等腰的底角是；
，即第二个等腰的底角是；
，即第三个等腰的底角是；
……
等腰三角形的底角度数是5的倍数，且最大的角为，
最多能焊接（根），
故此题答案为：17．
【关键点拨】此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，找到规律是解题的关键．
19．（2024河北保定·期末）如图，在ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B=50°，∠ANC=80°，求∠C的度数．
【答案】
【分析】根据三角形内角和为，分别列出和的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．
【详解】∵AN平分∠BAC交BC于N，
∴，
∵在中，，
在中，，
∠B=50°，∠ANC=80°，
∴，
解得，
∴，
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为是解题的关键．
20．（2024河北唐山·期末）如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
，，
（2）在中，，，
是的外角，，．
21．（2024河北唐山·期末）的两条角平分线，相交于点 I．
(1)如图1，①若求 的度数；
②若直接写出 °(用含β的式子表示)；
(2)如图2，连接， 平分，作分别交，于点D，E．你发现与一定相等的角有 ；与一定相等的角有 ．
【答案】(1)①；②；
(2)，；，
【详解】（1）解：①∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∴；
②∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，∴，∵，
∴，根据解析（1）可知，
根据三角形外角的性质可知，
，∴；
根据解析（1）可知，∵平分，
∴，∵，
∴．
22．（2024河北石家庄·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：．
(1)如图1，在“对顶三角形”与中，若，则．
(2)如图2，在中，分别平分和，若，比大，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由“对顶三角形”性质及三角形内角和定理即可求得；
（2）由三角形内角和及角平分线的性质可得，由“对顶三角形”性质得，由已知得一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵与是“对顶三角形”，
∴；
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
∵与是“对顶三角形”，
∴，
∵比大，即，
∴，
．
23．（2024河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点．
(1)点在运动过程中，则的度数为______；
(2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由．
(3)若，请直接写出______；______．
【答案】(1)
(2)的大小不变，理由见解析
(3)，．
【分析】三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是．
先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，再根据三角形内角和是即可求解；
根据是的平分线，平分可知，，再根据三角形内角和是即可求解；
仿照中的计算方法即可得到，．
【详解】（1）解：在中，由，得，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴
（2）的大小不变．
证明：∵分别平分和，
∴，，
∴，
即，
∴，
又由可知，
∴，
在中，由，，得
；
（3），．
理由：∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
∵分别平分和，
∴，，
∵是的外角，
∴，
是的外角，
考点三 多边形及其内角和
1．（2024河北石家庄·期末）正十二边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据n边形的内角和为进行求解即可．
【详解】解：，
∴正十二边形的内角和为，
故此题答案为A．
2．（2024河北保定·期末）下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式，则，进行计算即可得．
【详解】解：∵多边形的内角和为，
∴根据题意得，，
，
，
即四边形的内角和为，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
3．（2024河北保定·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】此题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键．利用规律从而可求出答案．
【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将九边形分成4个三角形．
∴，，
则，
故此题答案为C．
4．（2024河北保定·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】此题考查的是多边形的内角和定理与外角和的应用，熟记多边形的外角和是，再列式计算即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
，
∴这个多边形的边数为6．
故此题答案为C．
5．（2024河北唐山·期末）四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（ ）
A．x=y B．x=2y C．x=y+180 D．y=x+180
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和与外角和的关系分别求出x，y即可比较.
【详解】∵四边形的内角和等于360°，故x=360，
五边形的外角和等于360°，故y=360，
∴x=y，故此题答案为A.
6．（2024河北保定·期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（ ）
A．60° B．56° C．52° D．40°
【答案】B
【分析】延长DE，FA交于点H，由正五边形的性质，解得，再由三角形的外角和性质解得，据此代入数值解答即可．
【详解】解：延长DE，FA交于点H，如图，
五边形ABCDE是正五边形，
故此题答案为B．
7．（2024河北衡水·期末）一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2） 180° 判断即可．
【详解】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°，
∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°，
故此题答案为A．
8．（2024河北廊坊·期末）如图，六边形的每个内角相等，若，则的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】A
【分析】先根据多边形内角和定理求出，即可根据四边形内角和定理求出∠CAD，再由∠2=∠CDE-∠CDA即可得到答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴，
∴∠CDA=360°-∠1-∠B-∠C=62°，
∴∠2=∠CDE-∠CDA=58°，
故此题答案为A．
【关键点拨】此题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
9．（2024河北保定·期末）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620°．n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【详解】解：根据题意，得
（n-2） 180°=360°×4+180°，
解得：n=11．
则这个多边形的边数是11．
故此题答案为C．
10．（2024河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加；
④六边形的内角和为．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．
【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是，
∴③的说法错误；
∵五边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为．
∴④的说法正确；
综上可知：说法正确的是②④，
故此题答案为D．
11．（2024河北衡水·期末）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ．
【答案】6或7或8
【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解．
【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，
或或，
解得或7或6
12．（2024河北张家口·期末）若正n边形的一个外角为，则 ．
【答案】5
【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可．
【详解】解：由题意知，
13．（2024河北唐山·期末）如图，五边形是正五边形，若，则 ．
【答案】72
【分析】延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
【详解】延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
14．（2024河北廊坊·期末）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
(1)求小明一共走了多少米；
(2)求这个正多边形的内角和．
【答案】(1)小明一共走了120米
(2)这个多边形的内角和是．
【分析】此题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和．
（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴，（米）；
答：小明一共走了120米；
（2）解：根据题意得：
，
答：这个多边形的内角和是．
15．（2024河北廊坊·期末）如图，五边形的内角都相等，各边也都相等，是它的一个外角，求的度数．
【答案】
【分析】此题主要考查了正多边形的内角和外角的综合，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握多边形的外角的和为．先求出正五边形的外角为，再求出每个内角度数为，然后根据等腰三角形性质求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵五边形的内角都相等，
∴五边形的外角都相等，
∴，
∴五边形的每个内角度数为：，
∵，
∴，
∴．
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