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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的概念及其性质
1．（2024河北沧州·期末）下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024河北石家庄·期末）如图，，，，则等于（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
3．（2024河北廊坊·期末）如图，，，，则的度数是（ ）．
A．35° B．50° C．55° D．95°
4．（2023河北石家庄·期末）如图所示，两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023河北邯郸·期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
6．（2023河北石家庄·期末）如图，，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．平分
7．（2024河北·期中）如图，，其中，，则的长是 ．
8．（2024河北·期中）如图，已知，，，则 ．
9．（2024河北廊坊·月考）如图，在中，点，分别在边和上，，且的周长比的周长大6，则的长为 ．
10．（2024河北石家庄·月考）如图，直角三角形 直角三角形 ，已知 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为_______．
11．（2024河北·专题模块）如图,在3×3的正方形网格中,∠1+∠2+
∠3+∠4+∠5= °.
12．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期中）如图的正方形网格中，点均为格点，，点在同一直线上，请你写出图中线段或角之间的一个正确结论 ．
考点二 全等三角形的判定
1．（2024河北邢台·期末）与下图全等的三角形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024河北石家庄石外·开学摸底）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河北石家庄·期末）如图，已知，．要使，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024河北邢台·期末）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（ ）
A．只有（） B．（）和（）可以
C．（）和（）可以 D．（）、（）、（）都可以
5．（2024河北廊坊·期末）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）．
A．B．C．D．
6．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期中）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024河北沧州·期末）如图，一个三角形钢板插在水泥台面中，某同学说：“不用拔出钢板，就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形”，那么他所用到的数学知识是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024河北石家庄·期末）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024河北唐山·期末）如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？（ ）
A．重合 B．不重合 C．不一定重合 D．无法判断
10．（2024河北石家庄·月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )
A． B．
C． D．
11．（2024河北唐山·期末）如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（ ）
甲：作的平分线交于点C．
乙：过点P作，垂足为C．
丙：过点P作于点C，且．
其中，正确的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对
12．（2024河北廊坊·一模）如图1，已知，画一个△，使得△．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是
A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C．琪琪第二步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
考点三 全等三角形的判定与性质
1．（2024河北廊坊·期末）如图，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024河北沧州·期末）如图所示，，，若，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．（2024河北唐山·期末）如图，在中，，，将斜边绕点顺时针旋转至，连接，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
4．（2024河北廊坊·期末）如图，，，，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024河北唐山·期末）在和中，，，，已知，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2024河北张家口·期末）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（ ）
A．6 B．8 C． D．10
7．（2024河北张家口·期末）如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是（ ）
①先确定直线，过点作；
②在上取，两点，使得△；
③过点作；
④作射线口，交于点；
⑤测量☆的长度，即的长
A．△代表 B．□代表
C．☆代表 D．该方案的依据是
8．（2024河北廊坊·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：
方案Ⅰ①如图1，选定点；②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ①如图2，选定点；②连接，，并分别延长到点，，使，；③连接，测量的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
9．（2024河北廊坊·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024河北张家口·期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．若，，则的长度为 ．
11．（2024河北廊坊·期中）如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B 在上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合．若两堵木块墙的高度关系为，则 ．
12．（2024河北石家庄石外·开学摸底）如图为某单摆装置示意图，摆线长，当摆线位于位置时，过点B作于点D，测得，B到OA的距离，当摆线位于位置时，与恰好垂直，作于点E，则此时 cm.
13．（2024河北邢台·期中）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的平分线上面-点．连接BD，CD；全等三角形的对数是______
如图2．已知AB=AC，D，E为∠BAC的平分线上面两点．连接BD，CD，BE，CE；全等三角形的对数是___________
如图3．已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；全等三角形的对数是_______________
…
依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 __________
14．（2024河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路线向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路线向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点也停止运动．分别过点P和Q作于点E，于点F，当与全等时，点P的运动时间为 秒．
15．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，t的值为
s．
16．（2024河北·期中）如图所示，平分的延长线交于点，连接，若，请解决下列问题：
①设，则 （填“”“”“”“”或“”）；
②的面积是面积的 倍．
17．（2024河北廊坊·期末）问题 如图，小明和爸爸的身高分别是，，即，，二人配合测量树的高度．
操作 小明在距离树的处（）看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸可以前后移动，当时爸爸站着不动，这时小明测得．
问题解决 已知点A，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度．
考点四 角平分线的性质
1．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期末）是的角平分线，若，，则点到距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024河北石家庄·期末）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河北沧州·期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（）
A．28 B．14 C．21 D．7
4．（2024河北·专题模块）在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB的两边距离相等的格点是 ( )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5．（2024河北唐山·期末）如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；
②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；
③连接交于点．下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024河北沧州·一模）如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024河北保定·期中）根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是（ ）
A．B． C． D．
8．（2024河北廊坊·期末）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
9．（2024河北邢台·期末）对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024河北唐山·一模）在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确
11．（2024河北廊坊·期中）小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
已知：如图，点P在上，于点D，于点E，且．求证：是的平分线．证明：通过测量可得，．∴．∴是的平分线．
关于这个证明，下面说法正确的是（ ）
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
12．（2024河北沧州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 .
13．（2024河北石家庄·期末）如图，在RtABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
14．（2024河北邢台·期末）如图，在等腰三角形中，，，为的中点．
（1）连结，则 ；
（2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
15．（2024河北石家庄·期末）填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明．
证明：∵平分，
_____（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
（_____），
，
（_____）．
16．（2024河北廊坊·期中）如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
17．（2024河北石家庄·月考）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：．求作：的平分线．作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题：
(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）．
①；②；③；④．
(2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）
证明：由作图可知，
在和中，
④________．
⑤________．
为的角平分线．
18．（2024河北保定·一模）【操作应用】实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图1所示，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．连接，求证：平分；
【实践拓展】
(1)实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由；
(2)如图3，在中，，，E，F分别是边上的动点．当四边形为“筝形”时，的度数为______．
参考答案
考点一 全等三角形的概念及其性质
1．【答案】B
【分析】①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；
②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；
③面积相等的两个图形全等，错误；
④周长相等的两个图形全等，错误．
所以只有2个正确，
故此题答案为B.
【关键点拨】此题考查了全等形的概念，做题时要定义进行验证,能够完全重合的两个图形叫全等形.
2．【答案】C
【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】此题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和为，即可求出大小．
【详解】解：∵，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴，
又∵的内角和为，
∴．
故此题答案为：D．
4．【答案】B
【分析】由全等三角形的对应角相等，即可得出．
【详解】解：∵两三角形全等，
∴a、c两边的夹角相等，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，再根据三角形内角和定理即可求出∠EAD的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及三角形内角和，掌握全等三角形的性质是解题的关键.
6．【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，再逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
不能推出，故C选项错误；
，，
，
即平分，故本选项不符合题意；
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键．
7．【答案】7
【分析】全等三角形的性质，得到，即可．
【详解】解：∵，
∴；
故此题答案为：7．
【关键点拨】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
8．【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：．
9．【答案】3
【分析】根据得到，，结合的周长比的周长大6，得到，解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵的周长比的周长大6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
10．【答案】36
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
11．【答案】225
12．【答案】(或或或等，答案不唯一)
【分析】根据全等三角形的性质，，，从而可得，，再利用平角定义可得,即可求得．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，， ．
故此题答案为：(或或或等，答案不唯一)．
【关键点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二 全等三角形的判定
1．【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：由全等三角形的判定定理可知只有A选项的三角形可以通过证明与题干三角形全等，其他三个选项中的三角形不能证明与题干三角形全等，
故此题答案为A．
2．【答案】D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故此题答案为D．
3．【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的判定、平行的性质；先利用题目已知条件推导出、，再根据选项一一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
可知B、C选项可由题目条件推导出，不可作为添加条件，故B、C选项不符合题意；
若，则，故A选项符合题意；
若，结合、得到“边边角”，不可判定三角形全等，故D选项不符合题意；
故此题答案为：A．
4．【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法进行解答即可，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，．
【详解】解：（）中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
（）中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
（）中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形；
综上分析可知，（）和（）可以，
故此题答案为．
5．【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C选项：如图，
∵，，
∴，
而，
∴剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D选项：如图，
同理可得：，而，
但是不是两个角的夹边相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故此题答案为D
6．【答案】C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；
B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；
D. ．根据ASA一定符合要求．
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，已知三角形的两角及其夹边，根据就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形,
故此题答案为D
【关键点拨】此题考查了全等三角形判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定．利用三角形全等的判定证明．
【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等，
则．
故此题答案为D．
9．【答案】A
【分析】根据全等即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
∴（SSS），
∴将剪下来放到上，它们完全重合，
故此题答案为A．
10．【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
【详解】解：A.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C.
如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D.
如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故此题答案为C．
11．【答案】A
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】甲：作的平分线交于点．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
乙：过点作，垂足为．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
丙：过点作于点，且．
过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意.
故此题答案为A．
12．【答案】C
【详解】解：A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧，正确，不符合题意；B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是，正确，不符合题意；C．琪琪第二步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧，应该是以为圆心，线段的长为半径画弧，故原说法错误，符合题意；D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是，正确，不符合题意.故此题答案为C．
考点三 全等三角形的判定与性质
1．【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先证明得到，然后求得即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
．
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，利用证得，可得，再利用可证得和，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
，，
，
，（公共边），
；
，
（对顶角），
，
，，
，
，（公共角），
，
综上所述，图中全等三角形有3对，
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】根据题意，过点作于（图示见详解），因为，即可求得，所以得到，则有，由此即可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转到，
∴，，
过点作于，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为．
4．【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据平行线的性质得出，然后证明，得出，，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，故C正确．
故此题答案为C．
5．【答案】C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，∴，∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，∴，
∴，即.
综上，的值为或．
故此题答案为C．
【易错警示】解答时要注意分情况进行讨论：①在点D的两侧，在点的两侧；②在点D的两侧，在点的同侧.
6．【答案】A
【分析】作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．
【详解】解：作于M，于N，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点B，D到直线的距离之和为6．
故此题答案为A．
7．【答案】D
【分析】先根据方案补全作图步骤，再说明作图理由即可判断每一个选项的对错．
【详解】①先确定直线，过点作；
②在上取两点，使得；
故选项A正确；
③过点作；
④作射线，交于点；
故选项B正确；
⑤测量的长度，即的长；
故选项C正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴该方案的依据是；
故选项D错误；
故此题答案为D．
8．【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．分别证明，得出；证明，得出．
【详解】解：方案Ⅰ：∵，，，
∴，
∴；
方案Ⅱ：
∵，，，
∴，
∴；
综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行．
故此题答案为D．
9．【答案】D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故此题答案为D．
10．【答案】4m
【分析】首先证明除，得到，进而可得，即可得到答案．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
11．【答案】24
【分析】利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
12．【答案】7
【分析】先证，得出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．【答案】1；3；6；
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
在△BDE和△CDE中, ，
∴△BDE≌△CDE（SSS），
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
14．【答案】2或
【分析】根据全等三角形的性质可得，然后分不同情况求解关于运动时间t的方程即可．
【详解】解：∵与全等
∴，
分以下五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
要使，则需，
设运动时间为t，
∵，，
∴，
解得：；
②如图2，P在上，Q在上，
同理可得，
∵，，
∴，解得：，此时点P在上，不符合题意；
③如图3，当P、Q都在上时，
同理可得，
∵，，
∴，解得：；
④当Q到A点停止，P在上时，，，
∴，解得：（舍去）；
⑤P和Q都在上的情况不存在
∵P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，
∴P和Q都在上的情况不存在．
综上所述，点P的运动时间为2或 ．
故此题答案为：2或 ．
【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
15．【答案】2或4/4或2
【分析】先证，再证当线段经过点C时，，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，，
当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
综上可知，t的值为或，
故此题答案为：2或4．
【关键点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
16．【答案】 5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，三角形的面积，通过证明是解题的关键．
先证明得到，则，根据三角形三边的关系可得，即；
由全等三角形的性质得到，再根据同高三角形的面积之比等于底边之比推出，据此可得答案．
【详解】解：①∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是面积的5倍，
故此题答案为：5．
17．【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．作交于点M，交于点N，则四边形，，是长方形，从而，，根据证明得，进而可求出树的高度．
【详解】作交于点M，交于点N，
∵，
∴，
∴四边形，，是长方形，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点四 角平分线的性质
1．【答案】A
【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵是的角平分线，，
∴，
∴点到距离为3，
故此题答案为A．
2．【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定．利用三角形全等的判定证明．
【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等，
则．
故此题答案为D．
3．【答案】A
【分析】连接OA，过点O作于点E，作于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果．
【详解】解：连接OA，过点O作于点E，作于点F，如图
∵BO平分，，，
在和中，
，
∴，
∴OE=OD=2
同理：OF=OD=2
∴OE=OF=OD=2
∵
=
=28
∴
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．
4．【答案】A
5．【答案】D
【详解】解：由作图步骤可得，是的角平分线，则，
又∴，
∴，，故A正确；
∵，∴垂直平分，则，，
故B，C选项正确，
没有条件能得出，
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
由题意可得，是的平分线，
∴，
∴．
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【详解】解：到三角形三边距离相等的点的是角平分线的交点，由基本作图得到选项D作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形三边距离相等的点．
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】此题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键，由垂线段最短可知，当时，有最小值，再利用角平分线的性质，即可得到的最小值．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∵，，平分，
∴，
，
故此题答案为B．
9．【答案】D
【分析】根据角平分线的尺规作图方法可直接判断A作法正确；根据全等三角形的判定与性质可判断B作法正确；根据角平分线的判定与性质可判断C作法正确；根据作图方法无法判断D作法正确．
【详解】解：A选项中，由作图痕迹可知是的平分线，
故A选项作法正确，不符合题意；
B选项中，如图，
由作法可知，点P是垂直平分线的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B选项作法正确，不符合题意；
C选项中，点P为与的平分线的交点，
∴点P到线段的距离都相等，
∴为的平分线，
故C选项作法正确，不符合题意；
D选项中，点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，
无法说明为的平分线，
故D选项作法不正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握各知识点是解答此题的关键．
10．【答案】C
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案.
【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即，
由图①可得：，
∴；故甲作图痕迹正确；
根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确；
故此题答案为C.
11．【答案】D
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解
【详解】小强通过测量得，，得出，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故此题答案为：D
【关键点拨】本题考查角平分线的判定，解题的关键是能够严谨的证明结论．
12．【答案】
【分析】此题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点E，如图所示：
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为：．
13．【答案】3
【分析】作DP⊥AB于P，根据垂线段最短得到此时PD最小，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：作DP⊥AB于P，
则此时PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，
又∠C＝90°，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝3，
故此题答案为：3．
【关键点拨】此题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．【答案】 或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）过D作于G，于H，先由角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定与性质，结合四边形的内角和为求解即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵在等腰三角形中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
故此题答案为：；
（2）过D作于G，于H，则，，
如图，若，，则，
∴，
∵，
∴；
若，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上，符合条件的的度数为或，
故此题答案为：或
【关键点拨】此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质以及四边形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
15．【答案】；；；；C；等角对等边
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明是解题的关键．
由平分，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可证明．
【详解】证明：∵平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
，
，
（等角对等边）．
故此题答案为：；；；；C；等角对等边．
16．【答案】(1)见解析
(2)的面积为6
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解∶ 过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
的面积为6．
【关键点拨】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．【答案】(1)①
(2)① ② ③ ④ ⑤
【分析】（1）根据角平分线的作法得出基本依据；
（2）证明为的角平分线，即证明，可以通过证明．
【详解】（1）解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS．
（2）解：由作图可知，，，
在和中，
，
，
为的角平分线
18．【答案】(1)实践小组判断正确，理由见解析
(2)或
【分析】（1）证明，得，根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题；
（2）分，；，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：实践小组的判断对，
理由如下：
在和中，
，
，
，
是的平分线；
又，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对；
（2）解：，，
四边形为“筝形”，
，或，，
①当，时，如图，
四边形为“筝形”，
，
，
，
，
②当，时，如图，
四边形为“筝形”，
，
，
，
综上，的度数为或，
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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的概念及其性质
1．（2024河北沧州·期末）下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；
②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；
③面积相等的两个图形全等，错误；
④周长相等的两个图形全等，错误．
所以只有2个正确，
故此题答案为B.
【关键点拨】此题考查了全等形的概念，做题时要定义进行验证,能够完全重合的两个图形叫全等形.
2．（2024河北石家庄·期末）如图，，，，则等于（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故此题答案为C．
3．（2024河北廊坊·期末）如图，，，，则的度数是（ ）．
A．35° B．50° C．55° D．95°
【答案】D
【分析】此题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和为，即可求出大小．
【详解】解：∵，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴，
又∵的内角和为，
∴．
故此题答案为：D．
4．（2023河北石家庄·期末）如图所示，两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应角相等，即可得出．
【详解】解：∵两三角形全等，
∴a、c两边的夹角相等，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（2023河北邯郸·期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，再根据三角形内角和定理即可求出∠EAD的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及三角形内角和，掌握全等三角形的性质是解题的关键.
6．（2023河北石家庄·期末）如图，，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．平分
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，再逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
不能推出，故C选项错误；
，，
，
即平分，故本选项不符合题意；
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键．
7．（2024河北·期中）如图，，其中，，则的长是 ．
【答案】7
【分析】全等三角形的性质，得到，即可．
【详解】解：∵，
∴；
故此题答案为：7．
【关键点拨】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
8．（2024河北·期中）如图，已知，，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：．
9．（2024河北廊坊·月考）如图，在中，点，分别在边和上，，且的周长比的周长大6，则的长为 ．
【答案】3
【分析】根据得到，，结合的周长比的周长大6，得到，解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵的周长比的周长大6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
10．（2024河北石家庄·月考）如图，直角三角形 直角三角形 ，已知 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】36
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
11．（2024河北·专题模块）如图,在3×3的正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= °.
【答案】225
12．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期中）如图的正方形网格中，点均为格点，，点在同一直线上，请你写出图中线段或角之间的一个正确结论 ．
【答案】(或或或等，答案不唯一)
【分析】根据全等三角形的性质，，，从而可得，，再利用平角定义可得,即可求得．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，， ．
故此题答案为：(或或或等，答案不唯一)．
【关键点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二 全等三角形的判定
1．（2024河北邢台·期末）与下图全等的三角形是（ ）
B． C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：由全等三角形的判定定理可知只有A选项的三角形可以通过证明与题干三角形全等，其他三个选项中的三角形不能证明与题干三角形全等，
故此题答案为A．
2．（2024河北石家庄石外·开学摸底）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故此题答案为D．
3．（2024河北石家庄·期末）如图，已知，．要使，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的判定、平行的性质；先利用题目已知条件推导出、，再根据选项一一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
可知B、C选项可由题目条件推导出，不可作为添加条件，故B、C选项不符合题意；
若，则，故A选项符合题意；
若，结合、得到“边边角”，不可判定三角形全等，故D选项不符合题意；
故此题答案为：A．
4．（2024河北邢台·期末）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（ ）
A．只有（） B．（）和（）可以 C．（）和（）可以 D．（）、（）、（）都可以
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法进行解答即可，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，．
【详解】解：（）中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
（）中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
（）中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形；
综上分析可知，（）和（）可以，
故此题答案为．
5．（2024河北廊坊·期末）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C选项：如图，
∵，，
∴，
而，
∴剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D选项：如图，
同理可得：，而，
但是不是两个角的夹边相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故此题答案为D
6．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期中）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；
B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；
D. ．根据ASA一定符合要求．
故此题答案为C．
7．（2024河北沧州·期末）如图，一个三角形钢板插在水泥台面中，某同学说：“不用拔出钢板，就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形”，那么他所用到的数学知识是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，已知三角形的两角及其夹边，根据就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形,
故此题答案为D
【关键点拨】此题考查了全等三角形判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．（2024河北石家庄·期末）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定．利用三角形全等的判定证明．
【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等，
则．
故此题答案为D．
9．（2024河北唐山·期末）如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？（ ）
A．重合 B．不重合 C．不一定重合 D．无法判断
【答案】A
【分析】根据全等即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
∴（SSS），
∴将剪下来放到上，它们完全重合，
故此题答案为A．
10．（2024河北石家庄·月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
【详解】解：A.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C.
如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D.
如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故此题答案为C．
11．（2024河北唐山·期末）如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（ ）
甲：作的平分线交于点C．
乙：过点P作，垂足为C．
丙：过点P作于点C，且．
其中，正确的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对
【答案】A
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】甲：作的平分线交于点．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
乙：过点作，垂足为．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
丙：过点作于点，且．
过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意.
故此题答案为A．
12．（2024河北廊坊·一模）如图1，已知，画一个△，使得△．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是
A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C．琪琪第二步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
【答案】C
【详解】解：A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧，正确，不符合题意；B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是，正确，不符合题意；C．琪琪第二步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧，应该是以为圆心，线段的长为半径画弧，故原说法错误，符合题意；D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是，正确，不符合题意.故此题答案为C．
考点三 全等三角形的判定与性质
1．（2024河北廊坊·期末）如图，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先证明得到，然后求得即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
．
故此题答案为B．
2．（2024河北沧州·期末）如图所示，，，若，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，利用证得，可得，再利用可证得和，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
，，
，
，（公共边），
；
，
（对顶角），
，
，，
，
，（公共角），
，
综上所述，图中全等三角形有3对，
故此题答案为C．
3．（2024河北唐山·期末）如图，在中，，，将斜边绕点顺时针旋转至，连接，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】C
【分析】根据题意，过点作于（图示见详解），因为，即可求得，所以得到，则有，由此即可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转到，
∴，，
过点作于，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为．
4．（2024河北廊坊·期末）如图，，，，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据平行线的性质得出，然后证明，得出，，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，故C正确．
故此题答案为C．
5．（2024河北唐山·期末）在和中，，，，已知，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，∴，∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，∴，
∴，即.
综上，的值为或．
故此题答案为C．
【易错警示】解答时要注意分情况进行讨论：①在点D的两侧，在点的两侧；②在点D的两侧，在点的同侧.
6．（2024河北张家口·期末）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（ ）
A．6 B．8 C． D．10
【答案】A
【分析】作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．
【详解】解：作于M，于N，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点B，D到直线的距离之和为6．
故此题答案为A．
7．（2024河北张家口·期末）如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是（ ）
①先确定直线，过点作；
②在上取，两点，使得△；
③过点作；
④作射线口，交于点；
⑤测量☆的长度，即的长
A．△代表 B．□代表
C．☆代表 D．该方案的依据是
【答案】D
【分析】先根据方案补全作图步骤，再说明作图理由即可判断每一个选项的对错．
【详解】①先确定直线，过点作；
②在上取两点，使得；
故选项A正确；
③过点作；
④作射线，交于点；
故选项B正确；
⑤测量的长度，即的长；
故选项C正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴该方案的依据是；
故选项D错误；
故此题答案为D．
8．（2024河北廊坊·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：
方案Ⅰ①如图1，选定点；②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ①如图2，选定点；②连接，，并分别延长到点，，使，；③连接，测量的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．分别证明，得出；证明，得出．
【详解】解：方案Ⅰ：∵，，，
∴，
∴；
方案Ⅱ：
∵，，，
∴，
∴；
综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行．
故此题答案为D．
9．（2024河北廊坊·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故此题答案为D．
10．（2024河北张家口·期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．若，，则的长度为 ．
【答案】4m
【分析】首先证明除，得到，进而可得，即可得到答案．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
11．（2024河北廊坊·期中）如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B 在上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合．若两堵木块墙的高度关系为，则 ．
【答案】24
【分析】利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
12．（2024河北石家庄石外·开学摸底）如图为某单摆装置示意图，摆线长，当摆线位于位置时，过点B作于点D，测得，B到OA的距离，当摆线位于位置时，与恰好垂直，作于点E，则此时 cm.
【答案】7
【分析】先证，得出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2024河北邢台·期中）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的平分线上面-点．连接BD，CD；全等三角形的对数是______
如图2．已知AB=AC，D，E为∠BAC的平分线上面两点．连接BD，CD，BE，CE；全等三角形的对数是___________
如图3．已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；全等三角形的对数是_______________
…
依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 __________
【答案】1；3；6；
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
在△BDE和△CDE中, ，
∴△BDE≌△CDE（SSS），
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
14．（2024河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路线向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路线向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点也停止运动．分别过点P和Q作于点E，于点F，当与全等时，点P的运动时间为 秒．
【答案】2或
【分析】根据全等三角形的性质可得，然后分不同情况求解关于运动时间t的方程即可．
【详解】解：∵与全等
∴，
分以下五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
要使，则需，
设运动时间为t，
∵，，
∴，
解得：；
②如图2，P在上，Q在上，
同理可得，
∵，，
∴，解得：，此时点P在上，不符合题意；
③如图3，当P、Q都在上时，
同理可得，
∵，，
∴，解得：；
④当Q到A点停止，P在上时，，，
∴，解得：（舍去）；
⑤P和Q都在上的情况不存在
∵P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，
∴P和Q都在上的情况不存在．
综上所述，点P的运动时间为2或 ．
故此题答案为：2或 ．
【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
15．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，t的值为 s．
【答案】2或4/4或2
【分析】先证，再证当线段经过点C时，，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，，
当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
综上可知，t的值为或，
故此题答案为：2或4．
【关键点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
16．（2024河北·期中）如图所示，平分的延长线交于点，连接，若，请解决下列问题：
①设，则 （填“”“”“”“”或“”）；
②的面积是面积的 倍．
【答案】 5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，三角形的面积，通过证明是解题的关键．
先证明得到，则，根据三角形三边的关系可得，即；
由全等三角形的性质得到，再根据同高三角形的面积之比等于底边之比推出，据此可得答案．
【详解】解：①∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是面积的5倍，
故此题答案为：5．
17．（2024河北廊坊·期末）问题 如图，小明和爸爸的身高分别是，，即，，二人配合测量树的高度．
操作 小明在距离树的处（）看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸可以前后移动，当时爸爸站着不动，这时小明测得．
问题解决 已知点A，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．作交于点M，交于点N，则四边形，，是长方形，从而，，根据证明得，进而可求出树的高度．
【详解】作交于点M，交于点N，
∵，
∴，
∴四边形，，是长方形，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点四 角平分线的性质
1．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期末）是的角平分线，若，，则点到距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵是的角平分线，，
∴，
∴点到距离为3，
故此题答案为A．
2．（2024河北石家庄·期末）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定．利用三角形全等的判定证明．
【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等，
则．
故此题答案为D．
3．（2024河北沧州·期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28 B．14 C．21 D．7
【答案】A
【分析】连接OA，过点O作于点E，作于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果．
【详解】解：连接OA，过点O作于点E，作于点F，如图
∵BO平分，，，
在和中，
，
∴，
∴OE=OD=2
同理：OF=OD=2
∴OE=OF=OD=2
∵
=
=28
∴
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．
4．（2024河北·专题模块）在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB的两边距离相等的格点是 ( )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
5．（2024河北唐山·期末）如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；
②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；
③连接交于点．
下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由作图步骤可得，是的角平分线，则，
又∴，
∴，，故A正确；
∵，∴垂直平分，则，，
故B，C选项正确，
没有条件能得出，
故此题答案为D．
6．（2024河北沧州·一模）如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
由题意可得，是的平分线，
∴，
∴．
故此题答案为C．
7．（2024河北保定·期中）根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【详解】解：到三角形三边距离相等的点的是角平分线的交点，由基本作图得到选项D作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形三边距离相等的点．
故此题答案为D．
8．（2024河北廊坊·期末）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】此题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键，由垂线段最短可知，当时，有最小值，再利用角平分线的性质，即可得到的最小值．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∵，，平分，
∴，
，
故此题答案为B．
9．（2024河北邢台·期末）对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的尺规作图方法可直接判断A作法正确；根据全等三角形的判定与性质可判断B作法正确；根据角平分线的判定与性质可判断C作法正确；根据作图方法无法判断D作法正确．
【详解】解：A选项中，由作图痕迹可知是的平分线，
故A选项作法正确，不符合题意；
B选项中，如图，
由作法可知，点P是垂直平分线的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B选项作法正确，不符合题意；
C选项中，点P为与的平分线的交点，
∴点P到线段的距离都相等，
∴为的平分线，
故C选项作法正确，不符合题意；
D选项中，点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，
无法说明为的平分线，
故D选项作法不正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握各知识点是解答此题的关键．
10．（2024河北唐山·一模）在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确
【答案】C
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案.
【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即，
由图①可得：，
∴；故甲作图痕迹正确；
根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确；
故此题答案为C.
11．（2024河北廊坊·期中）小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
已知：如图，点P在上，于点D，于点E，且．求证：是的平分线．证明：通过测量可得，．∴．∴是的平分线．
关于这个证明，下面说法正确的是（ ）
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解
【详解】小强通过测量得，，得出，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故此题答案为：D
【关键点拨】本题考查角平分线的判定，解题的关键是能够严谨的证明结论．
12．（2024河北沧州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 .
【答案】
【分析】此题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点E，如图所示：
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为：．
13．（2024河北石家庄·期末）如图，在RtABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
【答案】3
【分析】作DP⊥AB于P，根据垂线段最短得到此时PD最小，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：作DP⊥AB于P，
则此时PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，
又∠C＝90°，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝3，
故此题答案为：3．
【关键点拨】此题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（2024河北邢台·期末）如图，在等腰三角形中，，，为的中点．
（1）连结，则 ；
（2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）过D作于G，于H，先由角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定与性质，结合四边形的内角和为求解即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵在等腰三角形中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
故此题答案为：；
（2）过D作于G，于H，则，，
如图，若，，则，
∴，
∵，
∴；
若，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上，符合条件的的度数为或，
故此题答案为：或
【关键点拨】此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质以及四边形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
15．（2024河北石家庄·期末）填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明．
证明：∵平分，
_____（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
（_____），
，
（_____）．
【答案】；；；；C；等角对等边
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明是解题的关键．
由平分，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可证明．
【详解】证明：∵平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
，
，
（等角对等边）．
故此题答案为：；；；；C；等角对等边．
16．（2024河北廊坊·期中）如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为6
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解∶ 过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
的面积为6．
【关键点拨】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2024河北石家庄·月考）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：．求作：的平分线．作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题：
(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）．
①；②；③；④．
(2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）
证明：由作图可知，
在和中，
④________．
⑤________．
为的角平分线．
【答案】(1)①
(2)① ② ③ ④ ⑤
【分析】（1）根据角平分线的作法得出基本依据；
（2）证明为的角平分线，即证明，可以通过证明．
【详解】（1）解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS．
（2）解：由作图可知，，，
在和中，
，
，
为的角平分线
18．（2024河北保定·一模）【操作应用】实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图1所示，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．连接，求证：平分；
【实践拓展】
(1)实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由；
(2)如图3，在中，，，E，F分别是边上的动点．当四边形为“筝形”时，的度数为______．
【答案】(1)实践小组判断正确，理由见解析
(2)或
【分析】（1）证明，得，根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题；
（2）分，；，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：实践小组的判断对，
理由如下：
在和中，
，
，
，
是的平分线；
又，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对；
（2）解：，，
四边形为“筝形”，
，或，，
①当，时，如图，
四边形为“筝形”，
，
，
，
，
②当，时，如图，
四边形为“筝形”，
，
，
，
综上，的度数为或，
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