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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．（2024河北石家庄·期末）在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河北保定·期末）如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB，AC，BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在( )
A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
3．（2024河北保定·期末）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024河北张家口·期末）如图，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024河北保定·期末）综合实践课上，嘉嘉和琪琪利用尺规作图如下：
嘉嘉：作法：过线段的端点A作任一直线，在直线上选一点D，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于点E，F，以点D为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点G，以点G为圆心，以 ▲ 为半径画弧，与上一步中的弧交于点H，连接并延长，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点P． 琪琪：作法：分别以线段的端点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C．
下列关于两人尺规作图的说法错误的是（ ）
A．嘉嘉的作图中，若，则▲应为
B．嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合
C．琪琪的作图中，O为的中点
D．琪琪的作图中，绕点O顺时针旋转可与重合
6．（2024河北保定·期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024河北保定·期末）如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．垂直平分
8．（2024河北唐山·期末）如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（ ）
甲：作的平分线交于点C．
乙：过点P作，垂足为C．
丙：过点P作于点C，且．
其中，正确的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对
考点二 等腰三角形的性质与判定
1．（2024河北石家庄·期末）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024河北石家庄·期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2024河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE 三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2024河北保定·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，M，N分别为和上的点，将沿折叠，使点B落在上的点P处，沿将剪下，若想获得的为直角三角形，则的大小为多少？对于这个问题，甲给出的答案为；乙给出的答案为；丙给出的答案为，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的答案对
B．甲、丙两人的答案合在一起才完整
C．甲、乙两人的答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
7．（2024河北石家庄·期末）如图，在 中， ，点 为 的中点，边 的垂直平分线交 , , 于点 , , ，连接 , ．
（1）若 ，则 的度数为______；
（2）若 ， ，则线段 的长为______．
8．（2024河北保定·期末）如图，已知：在中，，点D，E分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)若与交于点F，求证：．
9．（2024河北沧州·期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求和的度数；
(2)若点E是的中点，求证：是等腰三角形．
10．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点．
(1)求证：
(2)若，则
11．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期末）如图，在中，是边上的中线，于点E，于点F，且．求证：
(1)；
(2)．
12．（2024河北保定·期末）如图1，在四边形中，为对角线，若和均为等腰三角形，则称该四边形为等距四边形，对角线为等距线．
(1)如图2，在的正方形网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点），请在网格中找出格点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形是等距四边形，并画出相应的图形．（找出两点即可）
(2)如图3，在四边形中，，平分，，点D到的距离为．
①证明：四边形是以为等距线的等距四边形．
②Q为线段上一动点（不与点B，C重合），是否存在四边形是以为等距线的等距四边形，若存在，请写出证明过程，并直接写出四边形的面积；若不存在，请说明理由．
(3)如图4，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接．若四边形是以为等距线的等距四边形，请直接写出的值．
考点三 最短路径问题
1．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024河北沧州·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024河北廊坊·期中）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合．
（1）线段的长是 ；
（2）若点是射线上一动点，则周长的最小值是 ．
5．（2024河北廊坊·期末）如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为 ．
6．（2023河北邢台·期末）如图，点P是内任意一点，且，点M点N分别是射线和射线上的动点，的周长的最小值是，则的度数是 ．
参考答案
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．【答案】D
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．【答案】A
【详解】∵中转仓到A，B，C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处．故选A.
【归纳总结】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3．【答案】C
【分析】根据，设，则，结合得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线性质，等腰三角形性质是解题的关键．
4．【答案】A
【分析】根据中垂线的性质，得到，等边对等角得到即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴；
故此题答案为A．
5．【答案】A
【分析】做垂直平分线以及垂直平分线的性质，根据题意一一判断即可．
【详解】．嘉嘉的作图中，若，则▲应为，原说法错误，故该选项符合题意；
． 嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合，说法正确，故该选项不符合题意；
．琪琪的作图中，是的垂直平分线，∴，即O为的中点，说法正确，故该选项不符合题意；
．琪琪的作图中，是的垂直平分线，∴绕点O顺时针旋转可与重合，说法正确，故该选项不符合题意；
故此题答案为A．
6．【答案】D
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．
利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC CD＝AC AD．
∴S△ABC＝AC BC＝AC AD＝AC AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故此题答案为D．
7．【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵平分，，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．
8．【答案】A
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】甲：作的平分线交于点．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
乙：过点作，垂足为．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
丙：过点作于点，且．
过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意.
故此题答案为A．
考点二 等腰三角形的性质与判定
1．【答案】D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
2．【答案】B
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，由作图过程得到垂直平分，进而得到，根据等角对等边得到，然后根据三角形的内角和定理求得的度数即可．
【详解】解：由作图过程得到垂直平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故此题答案为．
3．【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，设，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
设，
∵是的垂直平分线，
是的外角，
解得：，
故此题答案为B．
4．【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点A为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．
则符合条件的点共有5个，
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
5．【答案】D
【分析】根据AB=AC，∠BAC=108°，易求∠B=∠C=36°，且知道△ABC是等腰三角形，再结合AD、AE三等分∠BAC，又易求∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，进而可求∠DAC=∠BAE=72°，再结合三角形内角和定理可求∠AEB=∠ADC=72°，从而可判断△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形．
【详解】∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠DAC=∠BAE=72°，
∴∠AEB=∠ADC=72°，
∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，
∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
∴一共有6个等腰三角形．
故此题答案为D．
6．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，由折叠的性质得： ，然后分两种情况：当时；当时，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得： ，
当时，，
∴，
∴，故丙给出的答案正确；
当时，，
∴，
∴，
∴，故甲给出的答案正确；
综上所述，甲、丙两人的答案合在一起才完整．
故此题答案为B
7．【答案】 (1) /21度
(2) 13
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得 ， 垂直平分 ，利用垂直平分线的性质即可证明得 ，可知 ，再结合三角形内角和定理得 ，三角形外角的性质得 ，即可解答；
（2）根据 ，即有 ， ，在（1）中已证明 ， ，在 Rt 中，有 ，则有 ，解之即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，点 为 的中点， ，
∴ 平分 ， ，
则 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故此题答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在（1）中已证明 ， ，
∴ ，
∵在Rt 中，有 ，
∴ ，解得： ,
故此题答案为：13．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．
8．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后证出，即可得出结论．
【详解】（1）在和中，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
，
即，
．
9．【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得；
（2）依据E是的中点，即可得到，进而得出．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则，．
（2）解：∵E是的中点，，
∴，，即，
∴，即为等腰三角形．
【关键点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
10．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵于点D，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故此题答案为：．
11．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用进行证明即可；
（2）全等三角形，对应角相等，得到，进而得到，利用三线合一即可得证．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
【关键点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握直角三角形的全等的判定方法，是解题的关键．
12．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②存在，见解析，
(3)或16
【分析】（1）根据等距四边形的定义进行作图即可；
（2）①根据平行线的性质得出,由角平分线的意义求出由三角形内角和定理得,从而得出是等腰三角形；由得再根据三角形内角和定理得,从而得出是等腰三角形；故可得结论；
②当时，四边形是以为等距线的等距四边形；先证明是等腰三角形．再由①知是等腰三角形，从而可得结论；过点A作于点G，求出可得从而可求出四边形的面积；
（3）分和两种情况结合等矩四边形求解即可
【详解】（1）解：如图，，，三点中找出两点即可．
（2）解 : ①证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴四边形是以为等距线的等距四边形；
②存在．当时，四边形是以为等距线的等距四边形，
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
由①知，是等腰三角形，
∴四边形是以为等距线的等距四边形，
∵，
∴，
，
过点A作于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
（3）解：∵是四边形的等距线，
∴是等腰三角形．
如图1，当时，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
过点M作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2，当时，是等腰三角形，．
综上所述，的值为或16．
考点三 最短路径问题
1．【答案】B
【分析】此题考查垂直平分线性质，勾股定理．根据题意连接，利用垂直平分线性质可知，的最小值是即为的值再利用勾股定理即可得到此题答案．
【详解】解：连接，
，
∵垂直平分，
∴，
∵点P为直线上的任一点，
∴的最小值是即为的值，
∵，，，
∴，
故此题答案为B．
2．【答案】B
【分析】此题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，
平分，
，
，
当点与点重合时，的值最小，等于的值，
，的面积为8，
，
，
的最小值为4.
故此题答案为：B．
3．【答案】C
【分析】作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∵点E、点F关于对称，
∴F在上，
∴，
∴，
即最小，且为，
∵，
∴，即点F为中点，
∴，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到取得最小值时点M的位置是解题的关键．
4．【答案】 8 24
【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得，再由进行计算即可得到答案；
（2）设与的交点为点，连接，由折叠的性质可得：，，，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，取最小值，最小值为，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得：，
，
故此题答案为：8；
（2）如图，设与的交点为点，连接，
由折叠的性质可得：，，，
由（1）得：，
的周长，
要是的周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，
的周长，
故此题答案为：24．
5．【答案】18
【分析】根据点B与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，如图所示，
当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为．
故此题答案为：18．
【关键点拨】此题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．【答案】/30度
【分析】分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，由对称的性质得出，得出，证出是等边三角形可得即可解答．
【详解】解：分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，连接，如图所示：
∵点P关于的对称点为D，关于的对称点为C，
∴；，
∴，
∵周长的最小值是，
∴，
∴，即，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴．
故此题答案为：．
【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．（2024河北石家庄·期末）在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．（2024河北保定·期末）如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB，AC，BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在( )
A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】A
【详解】∵中转仓到A，B，C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处．故选A.
【归纳总结】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3．（2024河北保定·期末）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，设，则，结合得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线性质，等腰三角形性质是解题的关键．
4．（2024河北张家口·期末）如图，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中垂线的性质，得到，等边对等角得到即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴；
故此题答案为A．
5．（2024河北保定·期末）综合实践课上，嘉嘉和琪琪利用尺规作图如下：
嘉嘉：作法：过线段的端点A作任一直线，在直线上选一点D，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于点E，F，以点D为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点G，以点G为圆心，以 ▲ 为半径画弧，与上一步中的弧交于点H，连接并延长，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点P． 琪琪：作法：分别以线段的端点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C．
下列关于两人尺规作图的说法错误的是（ ）
A．嘉嘉的作图中，若，则▲应为
B．嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合
C．琪琪的作图中，O为的中点
D．琪琪的作图中，绕点O顺时针旋转可与重合
【答案】A
【分析】做垂直平分线以及垂直平分线的性质，根据题意一一判断即可．
【详解】．嘉嘉的作图中，若，则▲应为，原说法错误，故该选项符合题意；
． 嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合，说法正确，故该选项不符合题意；
．琪琪的作图中，是的垂直平分线，∴，即O为的中点，说法正确，故该选项不符合题意；
．琪琪的作图中，是的垂直平分线，∴绕点O顺时针旋转可与重合，说法正确，故该选项不符合题意；
故此题答案为A．
6．（2024河北保定·期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．
利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC CD＝AC AD．
∴S△ABC＝AC BC＝AC AD＝AC AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故此题答案为D．
7．（2024河北保定·期末）如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．垂直平分
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵平分，，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．
8．（2024河北唐山·期末）如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（ ）
甲：作的平分线交于点C．
乙：过点P作，垂足为C．
丙：过点P作于点C，且．
其中，正确的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对
【答案】A
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】甲：作的平分线交于点．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
乙：过点作，垂足为．
利用判断出，
，，
点在线段的垂直平分线上，符合题意；
丙：过点作于点，且．
过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意.
故此题答案为A．
考点二 等腰三角形的性质与判定
1．（2024河北石家庄·期末）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
2．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，由作图过程得到垂直平分，进而得到，根据等角对等边得到，然后根据三角形的内角和定理求得的度数即可．
【详解】解：由作图过程得到垂直平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故此题答案为．
3．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，设，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
设，
∵是的垂直平分线，
是的外角，
解得：，
故此题答案为B．
4．（2024河北石家庄·期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点A为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．
则符合条件的点共有5个，
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
5．（2024河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE 三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据AB=AC，∠BAC=108°，易求∠B=∠C=36°，且知道△ABC是等腰三角形，再结合AD、AE三等分∠BAC，又易求∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，进而可求∠DAC=∠BAE=72°，再结合三角形内角和定理可求∠AEB=∠ADC=72°，从而可判断△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形．
【详解】∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠DAC=∠BAE=72°，
∴∠AEB=∠ADC=72°，
∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，
∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
∴一共有6个等腰三角形．
故此题答案为D．
6．（2024河北保定·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，M，N分别为和上的点，将沿折叠，使点B落在上的点P处，沿将剪下，若想获得的为直角三角形，则的大小为多少？对于这个问题，甲给出的答案为；乙给出的答案为；丙给出的答案为，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的答案对 B．甲、丙两人的答案合在一起才完整
C．甲、乙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，由折叠的性质得： ，然后分两种情况：当时；当时，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得： ，
当时，，
∴，
∴，故丙给出的答案正确；
当时，，
∴，
∴，
∴，故甲给出的答案正确；
综上所述，甲、丙两人的答案合在一起才完整．
故此题答案为B
7．（2024河北石家庄·期末）如图，在 中， ，点 为 的中点，边 的垂直平分线交 , , 于点 , , ，连接 , ．
（1）若 ，则 的度数为______；
（2）若 ， ，则线段 的长为______．
【答案】 (1) /21度
(2) 13
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得 ， 垂直平分 ，利用垂直平分线的性质即可证明得 ，可知 ，再结合三角形内角和定理得 ，三角形外角的性质得 ，即可解答；
（2）根据 ，即有 ， ，在（1）中已证明 ， ，在 Rt 中，有 ，则有 ，解之即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，点 为 的中点， ，
∴ 平分 ， ，
则 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故此题答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在（1）中已证明 ， ，
∴ ，
∵在Rt 中，有 ，
∴ ，解得： ,
故此题答案为：13．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．
8．（2024河北保定·期末）如图，已知：在中，，点D，E分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)若与交于点F，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后证出，即可得出结论．
【详解】（1）在和中，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
，
即，
．
9．（2024河北沧州·期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求和的度数；
(2)若点E是的中点，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得；
（2）依据E是的中点，即可得到，进而得出．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则，．
（2）解：∵E是的中点，，
∴，，即，
∴，即为等腰三角形．
【关键点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
10．（2024河北石家庄·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点．
(1)求证：
(2)若，则
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵于点D，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故此题答案为：．
11．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期末）如图，在中，是边上的中线，于点E，于点F，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用进行证明即可；
（2）全等三角形，对应角相等，得到，进而得到，利用三线合一即可得证．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
【关键点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握直角三角形的全等的判定方法，是解题的关键．
12．（2024河北保定·期末）如图1，在四边形中，为对角线，若和均为等腰三角形，则称该四边形为等距四边形，对角线为等距线．
(1)如图2，在的正方形网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点），请在网格中找出格点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形是等距四边形，并画出相应的图形．（找出两点即可）
(2)如图3，在四边形中，，平分，，点D到的距离为．
①证明：四边形是以为等距线的等距四边形．
②Q为线段上一动点（不与点B，C重合），是否存在四边形是以为等距线的等距四边形，若存在，请写出证明过程，并直接写出四边形的面积；若不存在，请说明理由．
(3)如图4，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接．若四边形是以为等距线的等距四边形，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②存在，见解析，
(3)或16
【分析】（1）根据等距四边形的定义进行作图即可；
（2）①根据平行线的性质得出,由角平分线的意义求出由三角形内角和定理得,从而得出是等腰三角形；由得再根据三角形内角和定理得,从而得出是等腰三角形；故可得结论；
②当时，四边形是以为等距线的等距四边形；先证明是等腰三角形．再由①知是等腰三角形，从而可得结论；过点A作于点G，求出可得从而可求出四边形的面积；
（3）分和两种情况结合等矩四边形求解即可
【详解】（1）解：如图，，，三点中找出两点即可．
（2）解 : ①证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴四边形是以为等距线的等距四边形；
②存在．当时，四边形是以为等距线的等距四边形，
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
由①知，是等腰三角形，
∴四边形是以为等距线的等距四边形，
∵，
∴，
，
过点A作于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
（3）解：∵是四边形的等距线，
∴是等腰三角形．
如图1，当时，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
过点M作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2，当时，是等腰三角形，．
综上所述，的值为或16．
考点三 最短路径问题
1．（2024河北石家庄石家庄市第四十中学·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】此题考查垂直平分线性质，勾股定理．根据题意连接，利用垂直平分线性质可知，的最小值是即为的值再利用勾股定理即可得到此题答案．
【详解】解：连接，
，
∵垂直平分，
∴，
∵点P为直线上的任一点，
∴的最小值是即为的值，
∵，，，
∴，
故此题答案为B．
2．（2024河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】此题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，
平分，
，
，
当点与点重合时，的值最小，等于的值，
，的面积为8，
，
，
的最小值为4.
故此题答案为：B．
3．（2024河北沧州·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∵点E、点F关于对称，
∴F在上，
∴，
∴，
即最小，且为，
∵，
∴，即点F为中点，
∴，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到取得最小值时点M的位置是解题的关键．
4．（2024河北廊坊·期中）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合．
（1）线段的长是 ；
（2）若点是射线上一动点，则周长的最小值是 ．
【答案】 8 24
【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得，再由进行计算即可得到答案；
（2）设与的交点为点，连接，由折叠的性质可得：，，，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，取最小值，最小值为，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得：，
，
故此题答案为：8；
（2）如图，设与的交点为点，连接，
由折叠的性质可得：，，，
由（1）得：，
的周长，
要是的周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，
的周长，
故此题答案为：24．
5．（2024河北廊坊·期末）如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为 ．
【答案】18
【分析】根据点B与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，如图所示，
当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为．
故此题答案为：18．
【关键点拨】此题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2023河北邢台·期末）如图，点P是内任意一点，且，点M点N分别是射线和射线上的动点，的周长的最小值是，则的度数是 ．
【答案】/30度
【分析】分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，由对称的性质得出，得出，证出是等边三角形可得即可解答．
【详解】解：分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，连接，如图所示：
∵点P关于的对称点为D，关于的对称点为C，
∴；，
∴，
∵周长的最小值是，
∴，
∴，即，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴．
故此题答案为：．
【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
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