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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法
1．（2024河北唐山·期末）若（2x-1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
2．（2024河北张家口·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024河北保定·期末）琳琳和楠楠在因式分解关于x的多项式时，琳琳获取的其中一个正确的因式为，楠楠获取的另一个正确因式为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2024河北唐山·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
5．（2024河北张家口·期末）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河北保定·期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
7．（2024河北沧州·期末）设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( )
A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定
8．（2024河北邢台·期末）若，则m、n之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024河北石家庄·期末）已知，若，则（ ）
A．4047 B．4048 C． D．
10．（2024河北石家庄·期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
11．（2024河北唐山·期末）计算：________．
12．（2024河北石家庄·期末）计算（﹣2）100×的结果是 ．
13．（2024河北沧州·期末）已知甲、乙、丙均为含的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为 ．
14．（2024河北张家口·期末）若，则代数式的值为 ．
15．（2024河北石家庄·期末）比较大小：
16．（2024河北张家口·期末）仔细观察下列等式：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
请你写出第8个等式： ．
17．（2024河北石家庄·期末）计算
(1)．
(2)．
18．（2024河北廊坊·期末）对于任意式子，定义．
(1)求的值；
(2)先化简式子，再求当时，的值．
19．（2024河北沧州·期末）如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化．
(1)求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示）
(2)求出当，时的绿化面积．
20．（2024河北廊坊·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们将日历中任意四个如图所示的位置的数用方框框住，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
(1)请完成填空：________________．
(2)设此框最左上角的数为n，请用含n的等式表示以上规律，并利用整式的运算对以上的规律加以证明．
21．（2024河北石家庄·期末）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？
他通过类比小学除法的运算法则：
被除数=除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式=除式×商+余式．请根据以上材料，解决下列问题：
(1)请你帮小明求出多项式A；
(2)小明继续探索，已知关于x的多项式除以的商为，余式为x，请你根据以上法则，求出m，n的值．
考点二 乘法公式
1．（2024河北石家庄·期末）下列不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河北石家庄·期末）对于等式，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（ ）
甲：无论和取何值，等式都不成立；
乙：只有当且时，等式才能成立；
丙：当或时，等式成立.
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．只有丙正确 D．三人说法均不正确
3．（2024河北唐山·期末）若，则的值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
4．（2024河北保定·期末）如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形的面积为（ ）
A． B．11 C．22 D．43
5．（2024河北保定·期末）已知多项式是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6 B．36 C．6或－6 D．36或－36
6．（2024河北廊坊·期末）若，则a+b的值为（ ）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
7．（2023河北邯郸·期末）将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023河北张家口张一中·期末）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．（2024河北廊坊·期末）若是完全平方式，则 ．
10．（2024河北唐山·期末）已知代数式：
(1)化简这个代数式；
(2)若，求原代数式的值．
11．（2024河北张家口·期末）先化简，再求值：，其中．
12．（2023河北石家庄·期末）先化简再求值：已知，其中根据表中小明的解法解答下列问题
(1)以下解法中第______ 处出现了错误；
(2)请你写出此题的正确解答过程；并求出当时的值．
13．（2024河北石家庄·期末）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题：
(1)用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1∶ ；
方法2∶ ；
(2)运用你发现的结论，解决问题；
已知，，求 的值．
14．（2024河北沧州·期末）活动课上，某同学用下面图1中三种纸片若干张，拼出了如图2的大正方形．
(1)请用两种方法分别表示图2大正方形的面积；
(2)观察图2，请你写出代数式：、、之间的等量关系；
(3)根据（2）中等量关系解决问题：
①若，，求的值；
②若，则______；
考点三 因式分解
1．（2024河北石家庄·期末）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河北保定·期末）下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ）
① ②
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解 ②是乘法运算 D．①是乘法运算 ②是因式分解
3．（2024河北唐山·期末）多项式的公因式是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2024河北石家庄·期末）如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024河北保定·期末）若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．5 C．9 D．16
6．（2024河北唐山·期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
7．（2024河北石家庄·期末）对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024河北廊坊·期末）若为任意整数，则的值不一定能（ ）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
9．（2024河北保定·期末）因式分解： ．
10．（2024河北保定·期末）已知实数满足，，则的值为 ．
11．（2024河北石家庄·期末）分解因式：
(1)
(2)
12．（2024河北唐山·期末）一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目：
①；②；
③；④．
(1)嘉嘉做错的或不完整的题目是 (填序号)；
(2)把你选出（1）题中题目的正确答案写在下面．
13．（2024河北唐山·期末）已知为任意整数，设，比小．
(1)__________；（用含k的代数式表示）
(2)求证：总能被3整除．
14．（2024河北廊坊·期末）现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．
(1)请用含的式子分别表示，；
(2)比较与的大小，并说明理由．
15．（2024河北保定·期末）数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）．
材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解，
即，这种分解因式的方式叫做分组分解法．
卡片：
(1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________．
(2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解．
(3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由．
16．（2024河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：（先分成两组）． 乙：（先分成两组）．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)分解因式：；
(2)若，，求式子的值；
(3)尝试运用上述思路分解因式：．
17．（2024河北保定·期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似的，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法.根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为．
（1）分解因式： ；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① ；② ；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：；
（4）拓展：已知，代数式的值为 ．
参考答案
考点一 整式的乘法
1．【答案】C
【分析】根据零次幂的运算法则可知底数不为0，据此即可求得x的取值范围．
【详解】（2x-1）0有意义，则，
即．
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】根据整式乘法，完全平方公式、合并同类项，积的乘方逐一判断，即可解答．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】根据题意得到，得到，代入代数式即可得到答案.
【详解】解：根据题意可知，，
∴
∴
故此题答案为C
4．【答案】C
【分析】根据多项式乘多项式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
解得，，
∴，
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故此题答案为B．
6．【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答此题的关键．
7．【答案】B
【分析】由于M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，可以通过比较M与N的差得出结果．
【详解】解：∵M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，
N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，
M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5，
∴M>N．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】此题考查幂的概念理解，幂的乘方运算．根据题意，得到，再根据，进行化简后，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
故此题答案为D．
9．【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵,
∴,
∴,
故此题答案为D.
10．【答案】C
【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】大长方形的面积为，
C类卡片的面积是，
∴需要C类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张．
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法、长方形的面积公式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
11．【答案】
【分析】分别计算负整数指数幂与零次幂，再合并即可．
【详解】解：．
12．【答案】2
【分析】原式利用乘方的定义变形为，再根据积的乘方计算可得．
【详解】解：
13．【答案】
【分析】根据题意得到甲为，乙为，丙为，进而求解即可．
【详解】解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，
甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相乘的积为
14．【答案】
【分析】首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可．
【详解】∵
∴
．
15．【答案】＜
【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9，指数为4的形式，然后再比较大小．
【详解】，；
∵8＜9，∴，∴＜．
故此题答案为＜．
【关键点拨】此题考查了比较乘方的大小．解答此题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形式．
16．【答案】
【分析】根据题意可得第n个等式：，据此规律求解即可．
【详解】第1个：，即；
第2个：，即；
第3个：，即；
第4个：，即；
．．．．．．，
依此类推可知第n个等式：，
∴第8个等式：，即
17．【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是：
（1）先根据积的乘方法则计算，然后根据同底数幂相乘、除法则计算，最后合并同类项即可；
（2）先根据有理数的乘方法则、绝对值的意义、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义计算，然后计算乘法、最后计算加法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】(1)
(2)，13
【分析】此题主要考查了有理数混合运算以及整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据新定义的运算求解即可；
（2）首先根据新定义运算进行运算化简，然后将代求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
当时，
原式
．
19．【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将与的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：依题意得：
平方米．
答：绿化面积是平方米；
（2）当，时，原式（平方米）．
答：绿化面积是29平方米．
20．【答案】(1)3，11
(2)7
【分析】此题主要考查列代数式及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据所给的图示与例子进行求解即可；
（2）列出相应的式子，再整理即可．
【详解】（1）解：由图可知：，
故此题答案为：3，11；
（2）解：设最左边的数为n，则四个数分别为：
n
则；
．
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可；
（2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：
∴
∴
考点二 乘法公式
1．【答案】C
【分析】根据平方差公式直接判断即可得到答案．
【详解】解：能用平方差公式，故A不符合题意；
能用平方差公式，故B不符合题意；
是完全平方公式，故C符合题意；
能用平方差公式，故D不符合题意；
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查平方差公式应用：，解题的关键是否满足两数和与差的特征．
2．【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特征，当或时，成立，即可作出判断.
【详解】解：当或时，成立，故甲、乙的说法错误，丙的说法正确；
故此题答案为C.
3．【答案】B
【详解】解：，
，
故此题答案为B．
4．【答案】A
【分析】设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出 ，求解即可．
【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28可得，
，，
即，，
由①得，，
③-②得 ，
所以，
即长方形的面积为，
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．
5．【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】∵多项式是完全平方式，且，
∴，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
6．【答案】A
【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴a+b=±5，
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据进行变形即可．
【详解】解：
即
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
8．【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【详解】原等式变形得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
9．【答案】或
【详解】解：
∴
∴，
解得，或
10．【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式、平方差公式展开，再去括号，最后由整式加减运算法则合并同类项即可得到答案；
（2）利用完全平方差公式变形得到，代入（1）中的化简结果即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，即，
原式．
11．【答案】，
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
12．【答案】(1)
(2)，1
【分析】（1）根据完全平方公式判断即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴解法中第处出现了错误．
（2）解：
，
当时，
原式
．
13．【答案】(1)，
(2)24
【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，可得，代入计算即可．
【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，
即，
故答案为：，．
（2）解：在（1）两种方法表示面积相等可得，，
∴当，时，
．
14．【答案】(1)方法1：；方法2：
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据大正方形的面积或各部分面积之和进行计算即可得到答案；
（2）①由题知：，，又由（2）得
代入即可得到答案；
②设，则，，，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：图2大正方形的面积：方法1：，方法2：；
（2）观察图2，由正方形面积相等可得，；
（3）①由题知：，，又由（2）得：
∴；
②设，
，，
∵，
∴，
即．
【关键点拨】此题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的几何应用，完全平方公式的变形的应用，熟记完全平方公式及其变形是解此题的关键．
考点三 因式分解
1．【答案】C
【分析】因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答．
【详解】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意；
B、不是多项式，故本选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】根据乘法运算以及因式分解的定义即可得到答案．
【详解】解：依题意可得，①是因式分解 ②是乘法运算，
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】找出多项式的公因式即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可．
【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为，
∴，，
∴，
∴的值为．
故此题答案为C．
5．【答案】B
【详解】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故此题答案为B．
6．【答案】D
【分析】根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案．
【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解，
②，能用平方差公式进行因式分解，
③，能用平方差公式进行因式分解，
④不能用平方差公式进行因式分解，
故此题答案为D．
7．【答案】B
【详解】∵，
∴=a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故此题答案为B.
8．【答案】C
【分析】此题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．将原式分解因式为，然后进行判断即可．
【详解】解：
，
∴的值一定能被2、4、8整除，不一定能被6整除．
故此题答案为C．
9．【答案】x(x-2)
【分析】直接利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
10．【答案】
【分析】将原式提公因式变形为，再将，整体代入计算，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
将，代入上式，
可得，
∴的值为
11．【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．【答案】(1)②④；(2)见解析
【详解】（1）解：①，正确；
②，故②解题不完整；
③，正确；
④，故④错误；
综上分析可知，嘉嘉做错的或不完整的题目是②④；
（2）解：②；
④．
13．【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）由比小，可得，将代入，可得答案；
（2）先计算，再根据结果判断即可．
【详解】（1）解：∵比小，∴；
（2）解：∵比小，∴，∴，
即总能被3整除．
14．【答案】(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】此题主要考查了列代数式，因式分解的应用：
（1）根据图1中每个图形的边的长度列式求解即可；
（2）利用作差法得到，再由，得到，则，即．
【详解】（1）解；由题意得，，
；
（2）解：，理由如下：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．【答案】(1)
(2)
(3)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题中的分组分解法即可求解；
（2）先将式子分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）先将式子化简得到，进而得到，即 可 判 断．
【详解】（1）解：
（2）由题意得：
（3）为等边三角形，
理由：由题意可得：
，
，
，
，，
，
为等边三角形．
16．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题目中分组分解法进行分解即可；
（2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入；
（3）结合公式法和分组分解法进行因式分解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
又，，
原式．
（3）解：
．
17．【答案】（1）；
（2）①，②，思考：；（3）；
（4）.
【详解】解：（1）.
（2）①根据题意，立体图形的体积边长为的正方形的体积边长为的正方形的体积，即；
②根据题意，立体图形的体积图的三个立体图形的体积之和，
即.
思考：，
；
（3）；
（4）,
由于，
,
原式．
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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法
1．（2024河北唐山·期末）若（2x-1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
【答案】C
【分析】根据零次幂的运算法则可知底数不为0，据此即可求得x的取值范围．
【详解】（2x-1）0有意义，则，
即．
故此题答案为C．
2．（2024河北张家口·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据整式乘法，完全平方公式、合并同类项，积的乘方逐一判断，即可解答．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故此题答案为D．
3．（2024河北保定·期末）琳琳和楠楠在因式分解关于x的多项式时，琳琳获取的其中一个正确的因式为，楠楠获取的另一个正确因式为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，得到，代入代数式即可得到答案.
【详解】解：根据题意可知，，
∴
∴
故此题答案为C
4．（2024河北唐山·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】C
【分析】根据多项式乘多项式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
解得，，
∴，
故此题答案为C．
5．（2024河北张家口·期末）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故此题答案为B．
6．（2024河北保定·期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答此题的关键．
7．（2024河北沧州·期末）设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( )
A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定
【答案】B
【分析】由于M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，可以通过比较M与N的差得出结果．
【详解】解：∵M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，
N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，
M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5，
∴M>N．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
8．（2024河北邢台·期末）若，则m、n之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查幂的概念理解，幂的乘方运算．根据题意，得到，再根据，进行化简后，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
故此题答案为D．
9．（2024河北石家庄·期末）已知，若，则（ ）
A．4047 B．4048 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵,
∴,
∴,
故此题答案为D.
10．（2024河北石家庄·期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
【答案】C
【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】大长方形的面积为，
C类卡片的面积是，
∴需要C类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张．
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法、长方形的面积公式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
11．（2024河北唐山·期末）计算：________．
【答案】
【分析】分别计算负整数指数幂与零次幂，再合并即可．
【详解】解：．
12．（2024河北石家庄·期末）计算（﹣2）100×的结果是 ．
【答案】2
【分析】原式利用乘方的定义变形为，再根据积的乘方计算可得．
【详解】解：
13．（2024河北沧州·期末）已知甲、乙、丙均为含的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到甲为，乙为，丙为，进而求解即可．
【详解】解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，
甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相乘的积为
14．（2024河北张家口·期末）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可．
【详解】∵
∴
．
15．（2024河北石家庄·期末）比较大小：
【答案】＜
【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9，指数为4的形式，然后再比较大小．
【详解】，；
∵8＜9，∴，∴＜．
故此题答案为＜．
【关键点拨】此题考查了比较乘方的大小．解答此题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形式．
16．（2024河北张家口·期末）仔细观察下列等式：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
请你写出第8个等式： ．
【答案】
【分析】根据题意可得第n个等式：，据此规律求解即可．
【详解】第1个：，即；
第2个：，即；
第3个：，即；
第4个：，即；
．．．．．．，
依此类推可知第n个等式：，
∴第8个等式：，即
17．（2024河北石家庄·期末）计算
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是：
（1）先根据积的乘方法则计算，然后根据同底数幂相乘、除法则计算，最后合并同类项即可；
（2）先根据有理数的乘方法则、绝对值的意义、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义计算，然后计算乘法、最后计算加法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024河北廊坊·期末）对于任意式子，定义．
(1)求的值；
(2)先化简式子，再求当时，的值．
【答案】(1)
(2)，13
【分析】此题主要考查了有理数混合运算以及整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据新定义的运算求解即可；
（2）首先根据新定义运算进行运算化简，然后将代求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
当时，
原式
．
19．（2024河北沧州·期末）如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化．
(1)求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示）
(2)求出当，时的绿化面积．
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将与的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：依题意得：
平方米．
答：绿化面积是平方米；
（2）当，时，原式（平方米）．
答：绿化面积是29平方米．
20．（2024河北廊坊·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们将日历中任意四个如图所示的位置的数用方框框住，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
(1)请完成填空：________________．
(2)设此框最左上角的数为n，请用含n的等式表示以上规律，并利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】(1)3，11
(2)7
【分析】此题主要考查列代数式及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据所给的图示与例子进行求解即可；
（2）列出相应的式子，再整理即可．
【详解】（1）解：由图可知：，
故此题答案为：3，11；
（2）解：设最左边的数为n，则四个数分别为：
n
则；
．
21．（2024河北石家庄·期末）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？
他通过类比小学除法的运算法则：
被除数=除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式=除式×商+余式．请根据以上材料，解决下列问题：
(1)请你帮小明求出多项式A；
(2)小明继续探索，已知关于x的多项式除以的商为，余式为x，请你根据以上法则，求出m，n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可；
（2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：
∴
∴
考点二 乘法公式
1．（2024河北石家庄·期末）下列不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式直接判断即可得到答案．
【详解】解：能用平方差公式，故A不符合题意；
能用平方差公式，故B不符合题意；
是完全平方公式，故C符合题意；
能用平方差公式，故D不符合题意；
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查平方差公式应用：，解题的关键是否满足两数和与差的特征．
2．（2024河北石家庄·期末）对于等式，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（ ）
甲：无论和取何值，等式都不成立；
乙：只有当且时，等式才能成立；
丙：当或时，等式成立.
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人说法均不正确
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特征，当或时，成立，即可作出判断.
【详解】解：当或时，成立，故甲、乙的说法错误，丙的说法正确；
故此题答案为C.
3．（2024河北唐山·期末）若，则的值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】B
【详解】解：，
，
故此题答案为B．
4．（2024河北保定·期末）如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形的面积为（ ）
A． B．11 C．22 D．43
【答案】A
【分析】设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出 ，求解即可．
【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28可得，
，，
即，，
由①得，，
③-②得 ，
所以，
即长方形的面积为，
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．
5．（2024河北保定·期末）已知多项式是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6 B．36 C．6或－6 D．36或－36
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】∵多项式是完全平方式，且，
∴，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
6．（2024河北廊坊·期末）若，则a+b的值为（ ）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
【答案】A
【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴a+b=±5，
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键．
7．（2023河北邯郸·期末）将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据进行变形即可．
【详解】解：
即
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
8．（2023河北张家口张一中·期末）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【详解】原等式变形得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
9．（2024河北廊坊·期末）若是完全平方式，则 ．
【答案】或
【详解】解：
∴
∴，
解得，或
10．（2024河北唐山·期末）已知代数式：
(1)化简这个代数式；
(2)若，求原代数式的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式、平方差公式展开，再去括号，最后由整式加减运算法则合并同类项即可得到答案；
（2）利用完全平方差公式变形得到，代入（1）中的化简结果即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，即，
原式．
11．（2024河北张家口·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
12．（2023河北石家庄·期末）先化简再求值：已知，其中根据表中小明的解法解答下列问题
(1)以下解法中第______ 处出现了错误；
(2)请你写出此题的正确解答过程；并求出当时的值．
【答案】(1)
(2)，1
【分析】（1）根据完全平方公式判断即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴解法中第处出现了错误．
（2）解：
，
当时，
原式
．
13．（2024河北石家庄·期末）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题：
(1)用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1∶ ；
方法2∶ ；
(2)运用你发现的结论，解决问题；
已知，，求 的值．
【答案】(1)，
(2)24
【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，可得，代入计算即可．
【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，
即，
故答案为：，．
（2）解：在（1）两种方法表示面积相等可得，，
∴当，时，
．
14．（2024河北沧州·期末）活动课上，某同学用下面图1中三种纸片若干张，拼出了如图2的大正方形．
(1)请用两种方法分别表示图2大正方形的面积；
(2)观察图2，请你写出代数式：、、之间的等量关系；
(3)根据（2）中等量关系解决问题：
①若，，求的值；
②若，则______；
【答案】(1)方法1：；方法2：
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据大正方形的面积或各部分面积之和进行计算即可得到答案；
（2）①由题知：，，又由（2）得
代入即可得到答案；
②设，则，，，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：图2大正方形的面积：方法1：，方法2：；
（2）观察图2，由正方形面积相等可得，；
（3）①由题知：，，又由（2）得：
∴；
②设，
，，
∵，
∴，
即．
【关键点拨】此题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的几何应用，完全平方公式的变形的应用，熟记完全平方公式及其变形是解此题的关键．
考点三 因式分解
1．（2024河北石家庄·期末）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答．
【详解】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意；
B、不是多项式，故本选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．（2024河北保定·期末）下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ）
① ②
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解 ②是乘法运算 D．①是乘法运算 ②是因式分解
【答案】C
【分析】根据乘法运算以及因式分解的定义即可得到答案．
【详解】解：依题意可得，①是因式分解 ②是乘法运算，
故此题答案为C．
3．（2024河北唐山·期末）多项式的公因式是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】找出多项式的公因式即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故此题答案为C．
4．（2024河北石家庄·期末）如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可．
【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为，
∴，，
∴，
∴的值为．
故此题答案为C．
5．（2024河北保定·期末）若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．5 C．9 D．16
【答案】B
【详解】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故此题答案为B．
6．（2024河北唐山·期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案．
【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解，
②，能用平方差公式进行因式分解，
③，能用平方差公式进行因式分解，
④不能用平方差公式进行因式分解，
故此题答案为D．
7．（2024河北石家庄·期末）对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，
∴=a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故此题答案为B.
8．（2024河北廊坊·期末）若为任意整数，则的值不一定能（ ）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．将原式分解因式为，然后进行判断即可．
【详解】解：
，
∴的值一定能被2、4、8整除，不一定能被6整除．
故此题答案为C．
9．（2024河北保定·期末）因式分解： ．
【答案】x(x-2)
【分析】直接利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
10．（2024河北保定·期末）已知实数满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】将原式提公因式变形为，再将，整体代入计算，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
将，代入上式，
可得，
∴的值为
11．（2024河北石家庄·期末）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（2024河北唐山·期末）一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目：
①；②；
③；④．
(1)嘉嘉做错的或不完整的题目是 (填序号)；
(2)把你选出（1）题中题目的正确答案写在下面．
【答案】(1)②④；(2)见解析
【详解】（1）解：①，正确；
②，故②解题不完整；
③，正确；
④，故④错误；
综上分析可知，嘉嘉做错的或不完整的题目是②④；
（2）解：②；
④．
13．（2024河北唐山·期末）已知为任意整数，设，比小．
(1)__________；（用含k的代数式表示）
(2)求证：总能被3整除．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）由比小，可得，将代入，可得答案；
（2）先计算，再根据结果判断即可．
【详解】（1）解：∵比小，∴；
（2）解：∵比小，∴，∴，
即总能被3整除．
14．（2024河北廊坊·期末）现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．
(1)请用含的式子分别表示，；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】此题主要考查了列代数式，因式分解的应用：
（1）根据图1中每个图形的边的长度列式求解即可；
（2）利用作差法得到，再由，得到，则，即．
【详解】（1）解；由题意得，，
；
（2）解：，理由如下：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（2024河北保定·期末）数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）．
材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解，
即，这种分解因式的方式叫做分组分解法．
卡片：
(1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________．
(2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解．
(3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题中的分组分解法即可求解；
（2）先将式子分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）先将式子化简得到，进而得到，即 可 判 断．
【详解】（1）解：
（2）由题意得：
（3）为等边三角形，
理由：由题意可得：
，
，
，
，，
，
为等边三角形．
16．（2024河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：（先分成两组）． 乙：（先分成两组）．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)分解因式：；
(2)若，，求式子的值；
(3)尝试运用上述思路分解因式：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题目中分组分解法进行分解即可；
（2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入；
（3）结合公式法和分组分解法进行因式分解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
又，，
原式．
（3）解：
．
17．（2024河北保定·期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似的，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法.根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为．
（1）分解因式： ；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① ；② ；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：；
（4）拓展：已知，代数式的值为 ．
【答案】（1）；
（2）①，②，思考：；（3）；
（4）.
【详解】解：（1）.
（2）①根据题意，立体图形的体积边长为的正方形的体积边长为的正方形的体积，即；
②根据题意，立体图形的体积图的三个立体图形的体积之和，
即.
思考：，
；
（3）；
（4）,
由于，
,
原式．
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