中小学教育资源及组卷应用平台
专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（2022河北邯郸·期末）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C．+y D．
2．（2023河北保定·期末）下列各式，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2024河北邢台·期末）已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（ ）
A． B． C．x D．2x
4．（2024河北保定·期末）若分式的值为零，则（ ）
A． B．5 C． D．0
5．（2024河北唐山·期末）约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河北邢台·期末）要使分式的值扩大4倍，、的取值可以如何变化（ ）
A．的值不变，的值扩大4倍 B．的值不变，的值扩大4倍
C．、的值都扩大4倍 D．、的值都扩大2倍
7．（2024河北保定·期末）若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024河北廊坊·期末）已知，则表示的值的点落在数轴上的位置位于（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．（2024河北廊坊·期末）若分式有意义，则的取值范围是
10．（2024河北石家庄·期末）如果分式的值为0，则x的值为 ．
11．（2022河北邯郸·期末）分式与的最简公分母是 ．
考点二 分式的运算
1．（2024河北邢台·期末）已知，则“”表示的运算符号是（）
A． B． C． D．
2．（2024河北保定·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023河北石家庄·期末）将用科学记数法表示成的形式，下列说法正确的是（ ）
A．，都是负整数 B．，都是正整数
C．是负整数，是正整数 D．是正整数，是负整数
4．（2024河北廊坊·期末）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下．则（ ）
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
5．（2024河北石家庄·期末）对于，，有以下两个结论：
①当时，；
②当时，．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
6．（2023河北石家庄·期末）如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023河北邢台·期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．5
8．（2022河北唐山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2022河北承德·期末）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2024河北保定·期末）驴肉火烧为河北省名小吃，驴肉醇香，火烧酥脆．某店销售两种口味的火烧，驴肉火烧7元一个，焖子火烧5元一个．为增加销量，该店推出优惠活动，买一个驴肉火烧赠送一个焖子火烧．若嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧（），则每个火烧的平均价格可表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022河北保定·期末）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
12．（2022河北石家庄·期末）已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024河北唐山·期末）计算：________．
14．（2024河北保定·期末）定义新运算：，若，则的值是 ．
15．（2022河北邯郸·期末）已知：，则A+B＝ ．
16．（2024河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中x=3．
17．（2024河北廊坊·期末）先化简，再求值：，且a的值满足．
18．（2024河北沧州·期末）先化简，再求值：，然后从、2、、3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（2024河北唐山·期末）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
20．（2024河北石家庄·期末）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分：
(1)求代数式A，并将其化简；(2)当时，求x的值．
21．（2024河北邢台·期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：
第一步
第二步
第三步
乙同学：
第一步
第二步
第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第_____ 步开始出现错误；乙同学的解答从第_____ 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程．
22．（2024河北保定·期末）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
(2)请你写出正确的解答过程．
考点三 分式方程
1．（2024河北石家庄·期末）解方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A． B．
C． D．
2．（2024河北廊坊·期末）关于的方程的解为，则( )
A．1 B．3 C．-1 D．-3
3．（2024河北廊坊·期末）a取下列何值时，方程的解是正数（ ）
A．3 B． C． D．或
4．（2024河北保定·期末）如果方程有增根，那么m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无解
5．（2024河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解方程，发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024河北石家庄·期末）八年级学生去距学校的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024河北沧州·期末）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A． B． C． D．
8．（2024江西新余·期末）若一个三角形两边长分别为和，则第三边长可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024江西南昌·期末）若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024河北保定·期末）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人的答案均正确，下列说法正确的是（ ）
A．x，y代表相同的含义 B．x表示实际每天改造道路的长度
C．y表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度
11．（2024江西宜春·期末）利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024江西南昌·期末）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．5条
13．（2024河北沧州·期末）若关于的方程无解，则 ．
14．（2024河北廊坊·期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
15．（2024河北廊坊·期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ．
16．（2024河北保定·期末）数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数．
（1）判断：，， （填“是”或“不是”）一组调和数；
（2）现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为 ．
17．（2024江西景德镇·期末）若a，b，c分别为的三边的长，则 ．
18．（2024江西萍乡·期末）在等腰 中，如果两边长分别为5、10，则第三边的长为__________．
19．（2024江西南昌·期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 ．
20．（2024河北石家庄·期末）解分式方程
(1)；(2)．
21．（2024河北沧州·期末）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程：
小清：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程的解为． 小北：去分母，得：解得：，检验：当时，，∴分式方程无解．
请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程．
22．（2024河北保定·期末）已知．
(1)化简P．
(2)若，求x的值．
23．（2024河北石家庄·期末）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分：
(1)求代数式A，并将其化简；
(2)当时，求x的值．
24．（2024河北保定·期末）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是．
(1)求纸片①上的代数式．
(2)李老师说，他心里想着一个数，能使①与相等，请求出李老师心中的数．
25．（2024河北唐山·期末）如图，已知点，，在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地．
(1)设甲的速度为，完成下表：
路程 速度 时间
甲
乙
(2)求甲、乙的速度．
26．（2024河北石家庄·期末）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
27．（2024江西南昌南外·期末）已知关于 x，y 的方程组的解满足，
(1)求实数 m的取值范围．
(2)若，方程组的解是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
28．（2024河北廊坊·期末）如图，点A，，，分别代表四个地点，是等边三角形，边长为，点为的中点．甲、乙同时从A地出发，甲去往地，乙去往地，乙的速度是甲的1.2倍，结果比甲早到了．
(1)求甲、乙的速度；
(2)若乙到达地后立即按原速去往地，甲到达地后也立即去往地，要与乙同时到达，甲的速度需是原速的多少倍？
29．（2024江西南昌·期末）请你只用无刻度的直尺按要求作图.
（1）如图1，AF、BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，请你作出∠C的平分线.
（2）如图2，AC与BD相交于O，且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平分线.
参考答案
考点一 分式概念及其性质
1．【答案】D
【分析】
根据分式的定义：形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式
【详解】
A.属于整式，不是分式；
B.属于整式，不是分式；
C.属于整式，不是分式；
D.属于分式；
故答案选D
【点睛】
本题主要考查了分式的概念，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母.
2．【答案】B
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有字母，然后对分式的个数进行判断即可；
【详解】解：在，，，，，中，
属于分式的有：，，，共4个，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键.
3．【答案】A
【分析】此题考查了分式无意义的条件．熟练掌握分式的分母为0，则分式无意义是解题的关键．
分别计算各选项的值，然后根据分式无意义的条件判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴A符合要求，B、C、D不符合要求；
故此题答案为A．
4．【答案】A
【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得：|m| 5＝0且m 5≠0，
解得：m＝ 5，
故此题答案为A．
5．【答案】B
【分析】根据分式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故此题答案为B.
6．【答案】C
【分析】此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐项判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
7．【答案】C
【分析】分子分母同时乘或者除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的性质一一判断即可．
【详解】解：． ，分子分母同时减3，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
．，分子分母同时加3，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
．，分子分母同时乘3，符合分式的基本性质，故本选项符合题意；
．，分子分母同时立方，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意.
故此题答案为．
8．【答案】A
【分析】此题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键．代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
【详解】解：，
，
，
落在段①，
故此题答案为A
9．【答案】
【分析】此题考查了分式的有意义的条件．分式有意义，则分母不为0，即可得出答案；解题的关键是掌握分式有意义的条件．
【详解】有意义，即分母不为0，
∴，
∴，
故此题答案为．
10．【答案】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
2x+1＝0且x+2≠0，
∴x＝且x≠－2，
∴x的值为：．
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
11．【答案】m（m+3）（m﹣3）
【分析】
先把两分式化成最简形式得＝；＝，然后确定最简公分母即可．
【详解】
解：化简两分式得：＝，＝
∴最简公分母是m（m+3）（m﹣3）．
【点睛】
本题主要考查了最简公分母，公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．
考点二 分式的运算
1．【答案】C
【分析】此题主要考查了分式的加减乘除运算，熟练掌握分式加减乘除运算法则，是解题的关键．
分别求出中间方框中的符号为“+”、“”、“÷”、“×”时的结果，即可得出答案．
【详解】解：A、不一定等于，
∴当中间方框中的符号为“+”时，等式不一定成立，故A不符合题意；
B．∵不一定等于，
∴当中间方框中的符号为“”时，等式不一定成立，故B不符合题意；
C．∵，等式恒成立，
∴当中间方框中的符号为“÷”时，等式一定成立，故C符合题意；
D．∵不一定等于，
∴当中间方框中的符号为“”时，等式不一定成立，故D不符合题意．
故此题答案为C．
2．【答案】B
【分析】先计算乘方，再计算乘法约分即可．
【详解】解：，
故此题答案为B．
3．【答案】D
【分析】利用科学记数法解答即可得出结论．
【详解】解：，
，，
是正整数，是负整数，
故此题答案为D．
4．【答案】A
【分析】此题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断．
【详解】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：
，
∴甲、乙都错，
故此题答案为：A．
5．【答案】B
【分析】先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．
【详解】解：∵
∴当时，，则，即①不正确；
当，即时，，则，即②正确．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答此题的关键．
6．【答案】D
【详解】∵上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，
∴，
∴
故选D.
7．【答案】C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴
．
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题主要考查了分式的化简求值，正确的对代数式进行变形是解题关键．
8．【答案】C
【分析】
将c= 3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c< 3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【详解】
解：A选项，当c= 3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意；
C选项，
∵c< 3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴，
∴，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
9．【答案】A
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
10．【答案】D
【分析】根据嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧，可得出嘉琪买的焖子火烧需要付钱的个数为，再根据平均价格等于总价除以总个数即可求解．
【详解】解：∵嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧
∴嘉琪买的焖子火烧需要付钱的个数为：．
根据题意有：，
故此题答案为D．
11．【答案】A
【分析】
直接根据题意表示出，的值，进而利用分式的性质的计算求出答案．
【详解】
解：∵=，=，
∴==，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键．
12．【答案】B
【分析】
先求出
对于①当时，可得，所以①正确；
对于②当时，不能确定的正负，所以②错误；
对于③当时，不能确定的正负，所以③错误；
对于④当时，，④正确．
【详解】
，
①当时，，所以，①正确；
②当时，，如果，则
此时，，②错误；
③当时，，如果，则
此时，，③错误；
④当时，
，④正确．
故选B．
【点睛】
本题关键在于熟练掌握分式的运算，并会判断代数式的正负．
13．【答案】
【分析】分别计算负整数指数幂与零次幂，再合并即可．
【详解】解：．
14．【答案】
【分析】根据定义得到，整体代入所求分式即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
15．【答案】3
【分析】
根据分式的加减运算将右边的分式合并之后，运用待定系数法建立关于A，B的方程组求解即可．
【详解】
解：，
，解得：．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
16．【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
17．【答案】，
【分析】根据分式的基本性质及运算法则，有括号先算括号里面的，注意利用因式分解先约分化简，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式＝；
＝；
；
；
∵；
∴；
∴原式．
18．【答案】，当时，原式（答案不唯一）
【分析】根据分式的运算法则对原式进行化简，再将x的值代入即可求值．
【详解】解：
由分式有意义可知，，
当时，原式．
【关键点拨】此题考查了分式的加、减、乘、除混合运算，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
19．【答案】(1)②；③；(2)见详解
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【详解】（1）解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为③．
（2）解：选择甲同学的解法：
原式
；
选择乙同学的解法．
.
．
20．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据被除式=商×除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）．解：由题意得：
（2）解：当时，，
去分母，得，
解这个整式方程，得
经检验，是原分式方程的解，
故当时，．
【关键点拨】此题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．【答案】见解析
【分析】甲第二步通分错误；乙第二步分母丢掉，所以错误；再根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．
【详解】解：甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误；
正确解答过程：
原式
．
【关键点拨】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．【答案】(1)小明，小红
(2)，过程见解析
【分析】（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；
（2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
故小明计算错误；
故小红计算错误；
故这个“接力游戏”中计算错误的同学有 小明，小红；
（2）正确的解答过程如下,
．
考点三 分式方程
1．【答案】A
【分析】此题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】分式方程的两侧同乘得：
．
故此题答案为A．
2．【答案】D
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【详解】解：把x=1代入原方程得:
，
去分母得，8a+12=3a-3，
解得a=-3，
故此题答案为D．
【关键点拨】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
3．【答案】B
【详解】解：，
，
，
∵的解是正数，
∴，且，
∴且，
故此题答案为B．
4．【答案】A
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的的值，代入整式方程求解即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得：，
∵方程有增根，
∴，
∴；
∴，
∴．
故此题答案为A．
5．【答案】A
【分析】设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，，得出，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，，
解得，.
当时，，故A选项正确，符合题意；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项错误.
故此题答案为A．
6．【答案】C
【详解】解：由题意可得，-=，
故此题答案为C．
7．【答案】B
【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．
【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：
故此题答案为B．
【关键点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．此题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．【答案】C
【分析】此题考查三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解即可．
【详解】解：由三角形的三边关系可得：
第三边，
即：第三边，
∴第三边长可以．
故此题答案为C．
9．【答案】D
【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，逐个判断即可．
【详解】解：A、，能摆成三角形，不符合题意；
B、，能摆成三角形，不符合题意；
C、，能摆成三角形，不符合题意；
D、，不能摆成三角形，符合题意．
故此题答案为D．
10．【答案】C
【详解】解：珍珍同学：设原计划每天改造道路的长度为，实际每天改造的长度为；
文文同学：设实际施工天数为，故原计划施工天数为；
x，y代表不相同的含义，故选项A错误；
x表示原计划每天改造道路的长度，故选项B错误；
y表示实际施工天数，故选项C正确；
表示原计划每天改造道路的长度，故选项D错误.
故此题答案为C．
11．【答案】C
【分析】根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可．
【详解】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法错误，不符合题意；
B、作法错误，不符合题意；
C、作法正确，符合题意；
D、作法错误，不符合题意；
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．
12．【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数．
【详解】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条，
可以作为△ABC的高的有AC，CD，BC共3条，
可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条，
故可以作为三角形“高”的线段有5条
故此题答案为D．
13．【答案】1
【分析】先化为整式方程，然后根据方程无解，得，再代入计算即可求出答案．
【详解】解：∵，
化为整式方程，得，
∵原方程无解，则，
∴，
解得：；
故此题答案为：1．
【关键点拨】此题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
14．【答案】且
【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故此题答案为：且．
【关键点拨】此题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0．
15．【答案】
【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）根据甲队先独立施工1周完成总工程的求出甲队单独施工1天完成总工程的分数即可；
（2）将整个工程量看作单位1，用甲队完成的量乙队完全的量列出方程即可．
【详解】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的；
故此题答案为：；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意得：
．
故此题答案为：．
16．【答案】 是 或
【分析】根据新定义分类讨论列式求解即可得到答案．
【详解】（）解：由题意得，
因为，，
所以，
所以，，是一组调和数，
故答案为：是；
（）解：由题意得，
当时，
解得：，
经检验，是原分式方程的解；
当，
解得：，
经检验，是原分式方程的解
17．【答案】2c
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a+c-b>0，a﹣b﹣c<0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得a+c-b>0，a﹣b﹣c<0，
∴
.
18．【答案】10
【分析】根据等腰三角形定义分两种情况，再根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：在等腰 中，
当5为腰长时，三角形三边为 ，不能组成三角形，
当5为底边时，10为腰长，第三边的长为 ，能组成三角形.
19．【答案】三角形具有稳定性
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
20．【答案】(1)；
(2)原方程无解
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，
检验：，
∴是原方程的解.
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，
检验：，
∴是原方程的增根，即原方程无解．
21．【答案】小清与小北的解法都不正确；正确的解法见解析，
【分析】去分母化为整式方程，解方程后检验即可得答案．
【详解】小清与小北的解法都不正确；正确的解法如下：
去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
【关键点拨】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将括号内的进行通分，再根据同分母分式加减法法则计算后，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案；
（2）把代入（1）得分式方程，求解检验即可
【详解】（1）解：
．
（2）解：由题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，
∴x的值为．
23．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据被除式=商×除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）．解：由题意得：
（2）解：当时，，
去分母，得，
解这个整式方程，得
经检验，是原分式方程的解，
故当时，．
【关键点拨】此题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．【答案】(1)；
(2)李老师心中的数为
【分析】（1）由①=②+③，利用分式的加减运算法则求解即可；
（2）根据题意列出分式方程，再化为整式方程，然后求得整式方程的解并检验即可解答．
【详解】（1）解：由题意，
+
=
=
=，
故纸片①上的代数式为．
（2）解：由题意，=，
去分母，得，，
则，
解得，，
经检验，是所列分式方程的解，
故李老师心中的数为．
25．【答案】(1)；
(2)甲的速度为，乙的速度为.
【分析】（1）根据题意列出代数式，填表即可；
（2）根据等量关系：乙走10千米用的时间 甲走6千米用的时间＝20分钟，列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲的速度为，则乙的速度为．
∴乙需要的时间为，
填表如下，
路程 速度 时间
甲
乙
（2）解：根据题意，得．
解得，.
经检验，是原方程的解，
∴甲的速度为，则乙的速度为.
答：甲的速度为，乙的速度为．
26．【答案】(1)甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
(2)完成该条河道清淤施工的总费用是万元．
【分析】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是米，利用工作时间=工作总量：工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；
（2）设乙队施工y天，则甲队施工天，利用工作总量=工作效率工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度分别是米，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
（2）解：设乙队施工y天，则甲队施工天，
根据题意得，
解得：，
∴，
答：完成该条河道清淤施工的总费用是万元．
【关键点拨】此题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
27．【答案】(1)
(2)16
【分析】二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解不等式组的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式组．
（1）运用加减消元法求出x，y，再根据得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
（2）把代入方程组，解方程组得出，再分7为腰和2为腰两种情况讨论求解即可
【详解】（1）解：,
得，，
解得，，
把代入②，得，
解得，，
∵，
∴，
解得，
所以，的取值为：；
（2）解：当时，方程组为，
解得，，
当腰长为7，底边为2时，，能构成三角形，所以，周长为：；
当2为腰，底边为7时，不能构成三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为16
28．【答案】(1)甲的速度为，则乙的速度为;
(2)甲的速度需是原速的2倍
【详解】（1）解：设甲的速度为，则乙的速度为，
根据题意得，
解得，
经检验,是原方程的解，
，
答：甲的速度为，则乙的速度为．
（2）解：设甲的速度为，
根据题意得，
解得，
经检验,是原方程的解，
，
答：甲的速度需是原速的2倍．
29．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【详解】(1)、连接CO并延长交AB与点D，则利用三角形的三条角平分线交于一点即可得出答案；(2)、AD和BC的延长线交于点E，连接EO并延长交AB与点F，根据AC和BD为△ABE的两条角平分线，根据角平分线的性质可以得出答案.
【详解】(1)、如图，CD为所求；(2)、如图，OF为所求
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（2022河北邯郸·期末）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C．+y D．
【答案】D
【分析】
根据分式的定义：形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式
【详解】
A.属于整式，不是分式；
B.属于整式，不是分式；
C.属于整式，不是分式；
D.属于分式；
故答案选D
【点睛】
本题主要考查了分式的概念，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母.
2．（2023河北保定·期末）下列各式，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有字母，然后对分式的个数进行判断即可；
【详解】解：在，，，，，中，
属于分式的有：，，，共4个，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键.
3．（2024河北邢台·期末）已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（ ）
A． B． C．x D．2x
【答案】A
【分析】此题考查了分式无意义的条件．熟练掌握分式的分母为0，则分式无意义是解题的关键．
分别计算各选项的值，然后根据分式无意义的条件判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴A符合要求，B、C、D不符合要求；
故此题答案为A．
4．（2024河北保定·期末）若分式的值为零，则（ ）
A． B．5 C． D．0
【答案】A
【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得：|m| 5＝0且m 5≠0，
解得：m＝ 5，
故此题答案为A．
5．（2024河北唐山·期末）约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故此题答案为B.
6．（2024河北邢台·期末）要使分式的值扩大4倍，、的取值可以如何变化（ ）
A．的值不变，的值扩大4倍 B．的值不变，的值扩大4倍
C．、的值都扩大4倍 D．、的值都扩大2倍
【答案】C
【分析】此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐项判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
7．（2024河北保定·期末）若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分子分母同时乘或者除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的性质一一判断即可．
【详解】解：． ，分子分母同时减3，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
．，分子分母同时加3，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
．，分子分母同时乘3，符合分式的基本性质，故本选项符合题意；
．，分子分母同时立方，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意.
故此题答案为．
8．（2024河北廊坊·期末）已知，则表示的值的点落在数轴上的位置位于（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】A
【分析】此题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键．代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
【详解】解：，
，
，
落在段①，
故此题答案为A
9．（2024河北廊坊·期末）若分式有意义，则的取值范围是
【答案】
【分析】此题考查了分式的有意义的条件．分式有意义，则分母不为0，即可得出答案；解题的关键是掌握分式有意义的条件．
【详解】有意义，即分母不为0，
∴，
∴，
故此题答案为．
10．（2024河北石家庄·期末）如果分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
2x+1＝0且x+2≠0，
∴x＝且x≠－2，
∴x的值为：．
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
11．（2022河北邯郸·期末）分式与的最简公分母是 ．
【答案】m（m+3）（m﹣3）
【分析】
先把两分式化成最简形式得＝；＝，然后确定最简公分母即可．
【详解】
解：化简两分式得：＝，＝
∴最简公分母是m（m+3）（m﹣3）．
【点睛】
本题主要考查了最简公分母，公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．
考点二 分式的运算
1．（2024河北邢台·期末）已知，则“”表示的运算符号是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了分式的加减乘除运算，熟练掌握分式加减乘除运算法则，是解题的关键．
分别求出中间方框中的符号为“+”、“”、“÷”、“×”时的结果，即可得出答案．
【详解】解：A、不一定等于，
∴当中间方框中的符号为“+”时，等式不一定成立，故A不符合题意；
B．∵不一定等于，
∴当中间方框中的符号为“”时，等式不一定成立，故B不符合题意；
C．∵，等式恒成立，
∴当中间方框中的符号为“÷”时，等式一定成立，故C符合题意；
D．∵不一定等于，
∴当中间方框中的符号为“”时，等式不一定成立，故D不符合题意．
故此题答案为C．
2．（2024河北保定·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算乘方，再计算乘法约分即可．
【详解】解：，
故此题答案为B．
3．（2023河北石家庄·期末）将用科学记数法表示成的形式，下列说法正确的是（ ）
A．，都是负整数 B．，都是正整数
C．是负整数，是正整数 D．是正整数，是负整数
【答案】D
【分析】利用科学记数法解答即可得出结论．
【详解】解：，
，，
是正整数，是负整数，
故此题答案为D．
4．（2024河北廊坊·期末）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下．则（ ）
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【答案】A
【分析】此题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断．
【详解】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：
，
∴甲、乙都错，
故此题答案为：A．
5．（2024河北石家庄·期末）对于，，有以下两个结论：
①当时，；
②当时，．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
【答案】B
【分析】先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．
【详解】解：∵
∴当时，，则，即①不正确；
当，即时，，则，即②正确．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答此题的关键．
6．（2023河北石家庄·期末）如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，
∴，
∴
故选D.
7．（2023河北邢台·期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴
．
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题主要考查了分式的化简求值，正确的对代数式进行变形是解题关键．
8．（2022河北唐山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】
将c= 3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c< 3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【详解】
解：A选项，当c= 3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意；
C选项，
∵c< 3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴，
∴，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
9．（2022河北承德·期末）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
10．（2024河北保定·期末）驴肉火烧为河北省名小吃，驴肉醇香，火烧酥脆．某店销售两种口味的火烧，驴肉火烧7元一个，焖子火烧5元一个．为增加销量，该店推出优惠活动，买一个驴肉火烧赠送一个焖子火烧．若嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧（），则每个火烧的平均价格可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧，可得出嘉琪买的焖子火烧需要付钱的个数为，再根据平均价格等于总价除以总个数即可求解．
【详解】解：∵嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧
∴嘉琪买的焖子火烧需要付钱的个数为：．
根据题意有：，
故此题答案为D．
11．（2022河北保定·期末）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
直接根据题意表示出，的值，进而利用分式的性质的计算求出答案．
【详解】
解：∵=，=，
∴==，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键．
12．（2022河北石家庄·期末）已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先求出
对于①当时，可得，所以①正确；
对于②当时，不能确定的正负，所以②错误；
对于③当时，不能确定的正负，所以③错误；
对于④当时，，④正确．
【详解】
，
①当时，，所以，①正确；
②当时，，如果，则
此时，，②错误；
③当时，，如果，则
此时，，③错误；
④当时，
，④正确．
故选B．
【点睛】
本题关键在于熟练掌握分式的运算，并会判断代数式的正负．
13．（2024河北唐山·期末）计算：________．
【答案】
【分析】分别计算负整数指数幂与零次幂，再合并即可．
【详解】解：．
14．（2024河北保定·期末）定义新运算：，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据定义得到，整体代入所求分式即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
15．（2022河北邯郸·期末）已知：，则A+B＝ ．
【答案】3
【分析】
根据分式的加减运算将右边的分式合并之后，运用待定系数法建立关于A，B的方程组求解即可．
【详解】
解：，
，解得：．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
16．（2024河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中x=3．
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
17．（2024河北廊坊·期末）先化简，再求值：，且a的值满足．
【答案】，
【分析】根据分式的基本性质及运算法则，有括号先算括号里面的，注意利用因式分解先约分化简，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式＝；
＝；
；
；
∵；
∴；
∴原式．
18．（2024河北沧州·期末）先化简，再求值：，然后从、2、、3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，当时，原式（答案不唯一）
【分析】根据分式的运算法则对原式进行化简，再将x的值代入即可求值．
【详解】解：
由分式有意义可知，，
当时，原式．
【关键点拨】此题考查了分式的加、减、乘、除混合运算，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
19．（2024河北唐山·期末）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②；③；(2)见详解
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【详解】（1）解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为③．
（2）解：选择甲同学的解法：
原式
；
选择乙同学的解法．
.
．
20．（2024河北石家庄·期末）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分：
(1)求代数式A，并将其化简；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据被除式=商×除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）．解：由题意得：
（2）解：当时，，
去分母，得，
解这个整式方程，得
经检验，是原分式方程的解，
故当时，．
【关键点拨】此题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（2024河北邢台·期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：
第一步
第二步
第三步
乙同学：
第一步
第二步
第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第_____ 步开始出现错误；乙同学的解答从第_____ 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程．
【答案】见解析
【分析】甲第二步通分错误；乙第二步分母丢掉，所以错误；再根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．
【详解】解：甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误；
正确解答过程：
原式
．
【关键点拨】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（2024河北保定·期末）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)小明，小红
(2)，过程见解析
【分析】（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；
（2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
故小明计算错误；
故小红计算错误；
故这个“接力游戏”中计算错误的同学有 小明，小红；
（2）正确的解答过程如下,
．
考点三 分式方程
1．（2024河北石家庄·期末）解方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】分式方程的两侧同乘得：
．
故此题答案为A．
2．（2024河北廊坊·期末）关于的方程的解为，则( )
A．1 B．3 C．-1 D．-3
【答案】D
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【详解】解：把x=1代入原方程得:
，
去分母得，8a+12=3a-3，
解得a=-3，
故此题答案为D．
【关键点拨】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
3．（2024河北廊坊·期末）a取下列何值时，方程的解是正数（ ）
A．3 B． C． D．或
【答案】B
【详解】解：，
，
，
∵的解是正数，
∴，且，
∴且，
故此题答案为B．
4．（2024河北保定·期末）如果方程有增根，那么m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无解
【答案】A
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的的值，代入整式方程求解即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得：，
∵方程有增根，
∴，
∴；
∴，
∴．
故此题答案为A．
5．（2024河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解方程，发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，，得出，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，，
解得，.
当时，，故A选项正确，符合题意；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项错误.
故此题答案为A．
6．（2024河北石家庄·期末）八年级学生去距学校的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，-=，
故此题答案为C．
7．（2024河北沧州·期末）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．
【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：
故此题答案为B．
【关键点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．此题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．（2024江西新余·期末）若一个三角形两边长分别为和，则第三边长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解即可．
【详解】解：由三角形的三边关系可得：
第三边，
即：第三边，
∴第三边长可以．
故此题答案为C．
9．（2024江西南昌·期末）若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，逐个判断即可．
【详解】解：A、，能摆成三角形，不符合题意；
B、，能摆成三角形，不符合题意；
C、，能摆成三角形，不符合题意；
D、，不能摆成三角形，符合题意．
故此题答案为D．
10．（2024河北保定·期末）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人的答案均正确，下列说法正确的是（ ）
A．x，y代表相同的含义 B．x表示实际每天改造道路的长度
C．y表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度
【答案】C
【详解】解：珍珍同学：设原计划每天改造道路的长度为，实际每天改造的长度为；
文文同学：设实际施工天数为，故原计划施工天数为；
x，y代表不相同的含义，故选项A错误；
x表示原计划每天改造道路的长度，故选项B错误；
y表示实际施工天数，故选项C正确；
表示原计划每天改造道路的长度，故选项D错误.
故此题答案为C．
11．（2024江西宜春·期末）利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可．
【详解】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法错误，不符合题意；
B、作法错误，不符合题意；
C、作法正确，符合题意；
D、作法错误，不符合题意；
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．
12．（2024江西南昌·期末）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．5条
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数．
【详解】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条，
可以作为△ABC的高的有AC，CD，BC共3条，
可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条，
故可以作为三角形“高”的线段有5条
故此题答案为D．
13．（2024河北沧州·期末）若关于的方程无解，则 ．
【答案】1
【分析】先化为整式方程，然后根据方程无解，得，再代入计算即可求出答案．
【详解】解：∵，
化为整式方程，得，
∵原方程无解，则，
∴，
解得：；
故此题答案为：1．
【关键点拨】此题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
14．（2024河北廊坊·期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故此题答案为：且．
【关键点拨】此题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0．
15．（2024河北廊坊·期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ．
【答案】
【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）根据甲队先独立施工1周完成总工程的求出甲队单独施工1天完成总工程的分数即可；
（2）将整个工程量看作单位1，用甲队完成的量乙队完全的量列出方程即可．
【详解】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的；
故此题答案为：；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意得：
．
故此题答案为：．
16．（2024河北保定·期末）数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数．
（1）判断：，， （填“是”或“不是”）一组调和数；
（2）现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为 ．
【答案】 是 或
【分析】根据新定义分类讨论列式求解即可得到答案．
【详解】（）解：由题意得，
因为，，
所以，
所以，，是一组调和数，
故答案为：是；
（）解：由题意得，
当时，
解得：，
经检验，是原分式方程的解；
当，
解得：，
经检验，是原分式方程的解
17．（2024江西景德镇·期末）若a，b，c分别为的三边的长，则 ．
【答案】2c
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a+c-b>0，a﹣b﹣c<0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得a+c-b>0，a﹣b﹣c<0，
∴
.
18．（2024江西萍乡·期末）在等腰 中，如果两边长分别为5、10，则第三边的长为__________．
【答案】10
【分析】根据等腰三角形定义分两种情况，再根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：在等腰 中，
当5为腰长时，三角形三边为 ，不能组成三角形，
当5为底边时，10为腰长，第三边的长为 ，能组成三角形.
19．（2024江西南昌·期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
20．（2024河北石家庄·期末）解分式方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)原方程无解
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，
检验：，
∴是原方程的解.
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，
检验：，
∴是原方程的增根，即原方程无解．
21．（2024河北沧州·期末）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程：
小清：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程的解为． 小北：去分母，得：解得：，检验：当时，，∴分式方程无解．
请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程．
【答案】小清与小北的解法都不正确；正确的解法见解析，
【分析】去分母化为整式方程，解方程后检验即可得答案．
【详解】小清与小北的解法都不正确；正确的解法如下：
去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
【关键点拨】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
22．（2024河北保定·期末）已知．
(1)化简P．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将括号内的进行通分，再根据同分母分式加减法法则计算后，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案；
（2）把代入（1）得分式方程，求解检验即可
【详解】（1）解：
．
（2）解：由题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，
∴x的值为．
23．（2024河北石家庄·期末）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分：
(1)求代数式A，并将其化简；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据被除式=商×除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）．解：由题意得：
（2）解：当时，，
去分母，得，
解这个整式方程，得
经检验，是原分式方程的解，
故当时，．
【关键点拨】此题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2024河北保定·期末）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是．
(1)求纸片①上的代数式．
(2)李老师说，他心里想着一个数，能使①与相等，请求出李老师心中的数．
【答案】(1)；
(2)李老师心中的数为
【分析】（1）由①=②+③，利用分式的加减运算法则求解即可；
（2）根据题意列出分式方程，再化为整式方程，然后求得整式方程的解并检验即可解答．
【详解】（1）解：由题意，
+
=
=
=，
故纸片①上的代数式为．
（2）解：由题意，=，
去分母，得，，
则，
解得，，
经检验，是所列分式方程的解，
故李老师心中的数为．
25．（2024河北唐山·期末）如图，已知点，，在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地．
(1)设甲的速度为，完成下表：
路程 速度 时间
甲
乙
(2)求甲、乙的速度．
【答案】(1)；
(2)甲的速度为，乙的速度为.
【分析】（1）根据题意列出代数式，填表即可；
（2）根据等量关系：乙走10千米用的时间 甲走6千米用的时间＝20分钟，列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲的速度为，则乙的速度为．
∴乙需要的时间为，
填表如下，
路程 速度 时间
甲
乙
（2）解：根据题意，得．
解得，.
经检验，是原方程的解，
∴甲的速度为，则乙的速度为.
答：甲的速度为，乙的速度为．
26．（2024河北石家庄·期末）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
【答案】(1)甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
(2)完成该条河道清淤施工的总费用是万元．
【分析】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是米，利用工作时间=工作总量：工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；
（2）设乙队施工y天，则甲队施工天，利用工作总量=工作效率工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度分别是米，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
（2）解：设乙队施工y天，则甲队施工天，
根据题意得，
解得：，
∴，
答：完成该条河道清淤施工的总费用是万元．
【关键点拨】此题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
27．（2024河北廊坊·期末）如图，点A，，，分别代表四个地点，是等边三角形，边长为，点为的中点．甲、乙同时从A地出发，甲去往地，乙去往地，乙的速度是甲的1.2倍，结果比甲早到了．
(1)求甲、乙的速度；
(2)若乙到达地后立即按原速去往地，甲到达地后也立即去往地，要与乙同时到达，甲的速度需是原速的多少倍？
【答案】(1)甲的速度为，则乙的速度为;
(2)甲的速度需是原速的2倍
【详解】（1）解：设甲的速度为，则乙的速度为，
根据题意得，
解得，
经检验,是原方程的解，
，
答：甲的速度为，则乙的速度为．
（2）解：设甲的速度为，
根据题意得，
解得，
经检验,是原方程的解，
，
答：甲的速度需是原速的2倍．
28．（2024江西南昌南外·期末）已知关于 x，y 的方程组的解满足，
(1)求实数 m的取值范围．
(2)若，方程组的解是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
【答案】(1)
(2)16
【分析】二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解不等式组的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式组．
（1）运用加减消元法求出x，y，再根据得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
（2）把代入方程组，解方程组得出，再分7为腰和2为腰两种情况讨论求解即可
【详解】（1）解：,
得，，
解得，，
把代入②，得，
解得，，
∵，
∴，
解得，
所以，的取值为：；
（2）解：当时，方程组为，
解得，，
当腰长为7，底边为2时，，能构成三角形，所以，周长为：；
当2为腰，底边为7时，不能构成三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为16
29．（2024江西南昌·期末）请你只用无刻度的直尺按要求作图.
（1）如图1，AF、BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，请你作出∠C的平分线.
（2）如图2，AC与BD相交于O，且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平分线.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【详解】(1)、连接CO并延长交AB与点D，则利用三角形的三条角平分线交于一点即可得出答案；(2)、AD和BC的延长线交于点E，连接EO并延长交AB与点F，根据AC和BD为△ABE的两条角平分线，根据角平分线的性质可以得出答案.
【详解】(1)、如图，CD为所求；(2)、如图，OF为所求
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
