14.2 勾股定理的应用 同步练习（含答案）2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

14.2 勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（ ）米．
A．4.8 B．6 C．5.6 D．8
2．《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ 　　）
A．3 B． C．5 D．
4．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（ ）米．（边缘部分的厚度忽略不计）
A．25 B．24 C．26 D．
5．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
6．一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）
A． B． C． D．
8．如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（ ）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
10．如图，一个长方体工艺品的高为，底面是边长为的正方形．一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．《九章算术》是我因古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为 ．
12．如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
13．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ．
14．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时．
15．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米．
16．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．
17．如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ．
18．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长.
19．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
20．如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ．
三、解答题
21．我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米．
(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？
(2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？
22．如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离．
23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．
实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是6，物体到定滑轮的垂直距离是8．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体升高7，求滑块向左滑动的距离．
24．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离；
(2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭．
25．如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A A A A B C C
11． 12．13 13．480 14．40 15．14
16． 17． 18． 19．2.6米 20．8
21．（1）解：由题意得，，，，
由勾股定理得：，
∴教学楼墙面破损处距离地面的高度，
答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为；
（2）解：由题意得，梯子顶端离地面，
∴梯子底部离墙角处为，
∴梯子底部需要向左移动，
答：梯子底部需要向左移动．
22．解：设，则，
在中，，
在中，，
，
∴，
∴，解得，∴．
23．（1）解：由题意得6，．
∴，
∴，
即：绳子的总长度为
（2）解：如图所示：
由题意得，6，8．
∴，
∴，即：滑块向左滑动的距离为
24．（1）解：如图，过点作于点，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，，
所以着火点受洒水影响；
（2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点，
，
在中，，
所以．
因为飞机的速度为，
所以，
20秒秒，
答：着火点能被扑灭．
25．（1）解：在中，，米，米，
，
，
甲房间的宽度米，
故答案为：3.2；
（2），
，
，
．
在△与△中，
，
△△，
米，
，
；
（3）过点作垂线，垂足点，连接．
设，且．
梯子的倾斜角为，
△为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），．
，
．
，
△为等边三角形，
．
△△，
，
米，
即丙房间的宽是1.6米．